第五章-二次曲線一般理論

§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線教學(xué)目標(biāo)：⑴理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念；⑵掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法；⑶能根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。教學(xué)重點(diǎn)：二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類?！?.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線1.二次曲線的漸近方向

定義5.2.1

滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向。事實(shí)上，為漸近方向事實(shí)上，為漸近方向可見，對(duì)橢圓，∵對(duì)雙曲線∴它有二不同實(shí)漸近方向；∴它有二相同的實(shí)漸近方向；，∵，∵∴它沒有實(shí)漸近方向；對(duì)拋物線對(duì)雙曲線∴它也有二不同實(shí)漸近方向；，∵

定義5.2.2

沒有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的,有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的,有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的。即:⑴橢圓型:I2>0；⑵拋物型:I2＝0；⑶雙曲型:I2<02.二次曲線的中心與漸近線

定義5.2.3

如果點(diǎn)C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱中心)，那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心。

定理5.2.1

點(diǎn)C(x0

,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)如果I2＝0，分兩種情況：

定義5.2.4

有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線,沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線,有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線,無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線。二次曲線分類：

漸近線求法：求出中心，再求出漸近方向即可得到漸近線的參數(shù)方程。

定義5.2.5

通過二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線。

可見：橢圓型二次曲線沒有實(shí)漸近線;雙曲型二次曲線有二不同實(shí)漸近線;而對(duì)拋物型二次曲線,若其為無心的,則其沒有漸近線,若其為線性的,則由于其漸近方向?yàn)?，而這正是中心直線的方向，∴它的漸近線即為中心直線。

定理5.2.2

二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分。則l與曲線不相交，§5.3二次曲線的直徑1.二次曲線的直徑

在§5.1中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時(shí)，這條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)(兩個(gè)不同實(shí)的，兩重合實(shí)的或一對(duì)共軛虛的),這兩點(diǎn)決定了二次曲線的一條弦.現(xiàn)在我們來研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.

求二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.即，解而是平行于方向的弦的中點(diǎn)，設(shè)是二次曲線的一個(gè)非漸近方向，那么過的弦的方程為它與二次曲線的兩交點(diǎn)(即弦的兩端點(diǎn))由下列二次方程(1)從而有(5.3-1)兩根與所決定,因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以有這就是說平行于方向的弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程即(5.3-2)或上列方程的一次項(xiàng)系數(shù)不能全為零，這時(shí)因?yàn)槿魟t一條直線.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一個(gè)二元一次方程，它是反過來，這與是非漸近方向的假設(shè)矛盾，(5.3-1)定理5.3.1

二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線.如果點(diǎn)滿足方程(5.3-1)(5.3-1)那么方程(1)中將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，(1)點(diǎn)就是具有方向的弦的中點(diǎn)，因此方程(5.3-1)為一族平行于某一非漸近方向的弦的中點(diǎn)軌跡方程.得到了結(jié)論－－定理！下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念定義5.3.1

二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.有多少條直徑?（5.3-4）推論

如果二次曲線的一族平行弦的方向?yàn)?，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是中心與非中心二次曲線的直徑1.中心二次曲線中心滿足:(2)(3)直徑方程:所以,直徑過中心.所有直徑都過中心1.非中心二次曲線非中心二次曲線滿足(2)(3)又分兩種情形或無心曲線：直徑平行漸近方向因直徑方程:方向矢量容易驗(yàn)證是漸近方向;因?yàn)榇藭r(shí)：線心曲線：直徑就是其中心直線可以化為因?yàn)橹睆椒匠袒蚨ɡ?.3.2

中心二次曲線的直徑通過曲線中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向,線心二次曲線的直徑只有一條,就是曲線的中心直線.

因此當(dāng)，即二次曲線為中心曲線時(shí),它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線束，這個(gè)直線束的中心就是二次曲線的中心；

當(dāng)，即二次曲線為無心曲線時(shí)，直徑屬于一個(gè)平行線束；例1求橢圓或雙曲線的直徑.解(5.3-1)顯然，直徑通過曲線的中心根據(jù)(5.3-1),共軛于非漸近方向的直徑方程是例2解求拋物線的直徑.所以共軛于非漸近方向的直徑為即所以拋物線的直徑平行于它的漸近方向(5.3-1)解直徑方程為即例3

求二次曲線的共軛于非漸近方向的直徑.因?yàn)橐阎€的漸近方向?yàn)樗詫?duì)于非漸近方向一定有2.共軛方向與共軛直徑所以有其中(4)我們把二次曲線的與非漸近方向共軛的直徑方向叫做非漸近方向的共軛方向，因此曲線的共軛于非漸近方向的直徑為因此有所以另外又有，因此得以下結(jié)論因?yàn)闉榉菨u近方向，這就是說，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.(5.3-5)非漸近方向當(dāng)即二次曲線為中心曲線時(shí)，；當(dāng)即二次曲線為非中心曲線時(shí)，從(5.3-5)式看出，兩個(gè)方向與是對(duì)稱的，因此對(duì)中心曲線來說，非漸近方向的共軛方向?yàn)?，而的共軛方向就?/p>

由(4)得二次曲線的非漸近方向與它的共軛方向之間的關(guān)系(4)

中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑.定義5.3.2設(shè)代入(5.3-5)，得(5.3-6)這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式.(5.3-5)即(5.3-7)有著關(guān)系例如橢圓的一對(duì)共軛直徑的斜率與而雙曲線的一對(duì)共軛直徑的斜率與有著關(guān)系(5.3-8)在(5.3-5)中，如果設(shè)那么有因此如果對(duì)二次曲線的共軛方向從(5.3-5)作代數(shù)的推廣,那么漸近方向可以看成與自己共軛的方向，從而漸近線也就可以看成與自己共軛的直徑.(5.3-5)顯然此時(shí)為二次曲線的漸近方向.二次曲線的垂線于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向.§5.4二次曲線的主直徑與主方向定義5.4.1

顯然，主直徑是二次曲線的對(duì)稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫做曲線的頂點(diǎn).現(xiàn)在我們來求二次曲線(1)的主方向與主直徑.，那么(2)或(3)（4）1.如果二次曲線(1)為中心曲線那么與二次曲線(1)的非漸近方向共軛的直徑為設(shè)直徑的方向?yàn)楦鶕?jù)主方向的定義，成為主方向的條件是它垂直與它的共軛方向在直角坐標(biāo)系下有，即因此成為中心二次曲線(1)的主方向的條件是(5.4-1)或把它改寫成這是一個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組，而不能全為零，所以成立，其中(5.4-3)即那么它的任何直徑的方向是它的惟一的漸近方向而垂直于它的方向顯然為2.如果二次曲線(1)為非中心二次曲線因此對(duì)于中心二次曲線來說，只要由(5.4-3)解出，再代入(5.4-1)就能得到它的主方向.(5.4-２)所以非中心二次曲線(1)的主方向：漸近主方向（5）非漸近主方向（6）正是非中心二次曲線的漸近主方向(5)與非漸近主方向(6).注意到此時(shí)方程(5.4-3)的兩根為把它代入(5.4-1)所得到的主方向(5.4-1)因此，一個(gè)方向成為二次曲線(1)的主方向的條件是(5.4-1)成立，這里的是方程(5.4-2)或(5.4-3)的根.

定義5.4.2

方程(5.4-2)或(5.4-3)叫做二次曲線(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根.總結(jié):1)從二次曲線(1)的特征方程(5.4-3)求出特征根

,把它代入(5.4-1).我們就得到相應(yīng)的主方向.

2)如果主方向?yàn)榉菨u近方向，那么根據(jù)(5.4-1)就能得到共軛于它的主直徑.(5.4-3)(5.4-２)證如果二次曲線的特征根全為零,那么得因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式所以二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù).定理5.4.2二次曲線的特征根不能全為零.證即與從而得這與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特征根不能全為零.定理5.4.1二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù).由二次曲線(1)的特征根確定的主方向，當(dāng)時(shí)，為二次曲線的非漸近方向；當(dāng)時(shí)，為二次曲線的漸近主方向.定理5.4.3證因?yàn)樗杂?5.4-1)得又因?yàn)椴蝗珵榱悖援?dāng)時(shí)，為二次曲線(1)的非漸近主方向;當(dāng)時(shí)，為二次曲線(1)的漸近主方向.定理5.4.4中心二次曲線至少有兩條主直徑，非中心二次曲線只有一條主直徑.證由二次曲線(1)的特征方程(5.4-3)解得兩特征根為

10

當(dāng)二次曲線(1)為中心曲線時(shí)，.如果特征方程的判別式那么這時(shí)的中心曲線為圓(包括點(diǎn)圓和虛圓)，它的特征根為一對(duì)二重根.把它代入(5.4-1)或(5.4-1`)，則得到兩個(gè)恒等式，它被任何方向所滿足，所以任何實(shí)數(shù)方向都是圓的