第八章 彎曲與扭曲

第八章彈性體的應力和應變§8.1彈性體的拉伸和壓縮§8.1.1外力·內(nèi)力與應力§8.1.2直桿的線應變§8.1.3胡克定律§8.1.4拉伸和壓縮的形變勢能

前面，我們討論的對象是從質(zhì)點到剛體，都是理想模型，質(zhì)點不考慮物體的形狀、大小，剛體有形狀大小但無形變。實際上，任何物體在力的作用下，都會發(fā)生或多或少形狀大小的變（叫做形變），有些物理現(xiàn)象，從本質(zhì)上就是由形變引起的，如聲音在彈性媒質(zhì)中的傳播就和媒質(zhì)內(nèi)發(fā)生的形變密切相關，而在工程技術的許多實際問題中，形變常常起著重要的作用。彈性形變——在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，當外力撤除后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復原狀的形變.彈性體——彈性形變的物體，是一種理想模型。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當作彈性體處理。彈性的形變有拉伸壓縮、剪切、扭轉和彎曲.拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變.作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。桿的受力簡圖為FF拉伸FF壓縮§8.1彈性體的拉伸和壓縮§8.1.1外力·內(nèi)力與應力工程中經(jīng)常遇到承受軸向拉伸或壓縮的直桿，例如：由汽缸、活塞、連桿所組成的機構中，帶動活塞運動的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。

工程實例如何確定軸向拉伸（壓縮）的內(nèi)力和內(nèi)力圖？截面法qqFNFNABAB外力

內(nèi)力不計桿自身重量應力Fn是內(nèi)力在外法線方向的投影,S是橫截面積單位：帕,N/m2

1、縱向變形（軸向變形）

基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

桿件在軸線方向的伸長縱向應變引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),適用于拉(壓)桿。

式中：E稱為彈性模量(modulusofelasticity)（楊氏模量），由實驗測定，其量綱為ML-1T-2，單位為Pa；ES——

桿的拉伸(壓縮)剛度。公式的適用條件

1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律

2）在計算桿件的伸長時，l長度內(nèi)其FN、A、l均應為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應進行分段計算或積分計算?！麊屋S應力狀態(tài)下的胡克定律

低碳鋼(Q235)：

橫向也會發(fā)生變形橫向應變通過試驗發(fā)現(xiàn)，當材料在彈性范圍內(nèi)時，拉壓桿的縱向應變和橫向應變存在如下的比例關系泊松比泊松比m、彈性模量E都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實驗測得。2、橫向變形（僅形變較小時成立）胡克定律E是彈性模量(楊氏模量),是描寫材料本身彈性的物理量.FlOCDBOABPP

是塑性應變.斷裂點彈性極限骨馬牛豬人拉伸彈性模量股骨25.525.014.917.6脛骨23.824.517.218.4肱骨17.818.314.617.5橈骨22.825.915.818.9壓縮彈性模量股骨9.4±0.478.74.9脛骨8.55.1肱骨9.05.0橈骨8.45.3表8.3密質(zhì)骨的彈性模量/GPa三、部分常用材料的主要力學性能常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿）材料名稱牌號

許用應力/MPa低碳鋼低合金鋼灰口鑄鐵混凝土混凝土紅松（順紋）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310軸向拉伸軸向壓縮

等直桿受軸向拉伸或壓縮時，在離開外力作用處較遠的橫截面上的正應力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時，截面突變處局部區(qū)域的應力將急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應力集中。

溫度變化較大時，溫度應力的數(shù)值便非常可觀。為了避免過高的溫度應力，在管道中有時增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫，這樣就可以削弱對膨脹的約束，降低溫度應力§8.1.4拉伸和壓縮的形變勢能設形變量，直桿形變前=0；發(fā)生形變l,=l彈性力是保守力.彈性力所做的功等于彈性體彈性勢能的減少.胡克定律外力做功設未形變時勢能為零，則彈性勢能彈性勢能密度[例題]本段標題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內(nèi)存在拉伸壓縮應力.如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容器的橫斷面。壁厚為d且圓柱的半徑為R.氣體壓強為p，求壁內(nèi)沿圓周切向的應力.不計容器自重且不計大氣壓.Rd2pRdd[解]受力如圖所示令l為圓柱形容器的長度按平衡條件得即器壁沿圓周切向受拉應力.則，§8.2彈性體的剪切形變§8.2.1剪切形變·切應力與切應變§8.2.2剪切形變的胡克定律剪切的概念受力特征：作用在構件兩側面上的橫向外力的合力大小相等，方向相反，作用線相距很近。變形特征：兩力間的橫截面發(fā)生錯動。這種變形形式叫做剪切。鉚釘連接銷軸連接工程實例工程實例剪切形變·切應力與切應變剪切形變——物體受到力偶作用使物體兩個平行截面間發(fā)生相對平行移動.ABCD切應力S是截面ABCD的面積，物體受到力偶發(fā)生剪切變形切應力具有與正應力相同的量綱和單位.1.切應力剪切應力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應力相等.abc力偶矩2.剪切應力互等

和’分別表示上下底面和左右側面的切應力3.剪切應變描述abcdb

c

剪切形變特征:切應變

:平行截面間相對滑移與截面垂直距離之比.即形變小時，又稱切變角.§8.2.2剪切形變的胡克定律即G稱切變模量，由材料彈性決定.G反映材料抵抗剪切形變的能力，單位與彈性模量相同.剪切形變的胡克定律——若形變在一定限度內(nèi)，切應力與切應變成正比.彈性模量E、切變模量G和泊松系數(shù)

之間的關系為1.剪切形變的胡克定律2.E、G和

之間關系的定性說明設桿所受外界拉力一定.

一定時，E與G成正比.E一定時，

大G小，

小G大單位體積剪切形變的彈性勢能為§8.3彎曲和扭轉§8.3.1梁的彎曲§8.3.2桿的扭轉13.1工程中的彎曲變形問題

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴重影響機床的加工精度。一、梁的變形二、工程實例實例一：起重機大梁實例二、機床搖臂2.火車輪軸二、純彎曲時的正應力

(1)

幾何關系━━變形與應變觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；§8.3.1梁的彎曲梁的彎曲和桿的扭轉都可以看成是由拉伸壓縮和剪切形變兩種基本形變的組合.AA

BCC′B′M1M2AA′BC′B′C矩形橫截面梁，不計自重,如圖MAA′bh彎曲形變特點:彎曲后，靠近上緣各層發(fā)生壓縮形變；靠近下緣各層，發(fā)生拉伸形變.處于中間的的CC′層(中性層)既不伸長也不壓縮.中性層曲率M是加于梁的力偶矩，E為材料的楊氏模量，b為梁寬度，h為梁的高度.——1、合理布置支座提高彎曲強度和剛度的措施——2、合理布置載荷FL/65FL/36安裝齒輪靠近軸承一側；——3、集中力分散F二、梁的合理截面1、合理設計截面抗彎截面系數(shù)WZ越大、橫截面面積A越小，截面越合理。來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性合理截面合理截面伽利略1638年《關于兩種新科學的對話和證明》“空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，所以在技術上得到廣泛應用。在自然界就更為普遍了，這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力?！昂侠斫孛婧侠斫孛嬉笊舷挛ｋU點同時達到各自的許用應力。對于塑性材料宜設計成關于中性軸對稱的截面對于脆性材料宜設計成關于中性軸不對稱的截面且使中性軸靠近受拉一側。2、合理放置截面豎放比橫放更合理。為降低重量，可在中性軸附近開孔。扭轉實例1汽車傳動軸實例2汽車方向盤軸§8.3.2桿的扭轉圓柱體受到作用在與其軸線垂直的兩個平面上大小相等方向相反的兩個力偶矩，發(fā)生扭轉形變.MM

是扭轉角,rl

AA

扭轉形