第八章 晶體結(jié)構(gòu)幾何理論

第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論第8章

晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論主要教學(xué)內(nèi)容十四種空間格子*晶胞*空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)*晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱要素*空間群#等效點(diǎn)系#School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.1 十四種布拉維空間格子School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

空間格子是表示晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)重復(fù)規(guī)律的立體幾何圖形。

空間格子要素

結(jié)點(diǎn)、行列、面網(wǎng)、單位平行六面體。

單位平行六面體是空間格子的最小組成單位。

無數(shù)個(gè)平行并置的單位平行六面體構(gòu)成空間格子。School

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Engineering空間格子及要素第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

劃分原則①

所選取的單位平行六面體應(yīng)能夠反應(yīng)格子構(gòu)造中結(jié)點(diǎn)分布的固有對(duì)稱性。②

在滿足①的前提下，棱與棱之間的直角最多。③

在滿足①②的前提下，體積最小。36535672四方(4mm)平面點(diǎn)陣斜方(mm2)平面點(diǎn)陣第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論14214二維平面點(diǎn)陣中平行四邊形的劃分YX晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論在三維空間做同樣分析，可以從空間格子中劃分

出一個(gè)最小的重復(fù)單位—單位平行六面體，它由

六個(gè)兩兩平行且相等的平面組成。這樣劃分出來的單位平行六面體，其對(duì)稱性與相應(yīng)空間格子相同。無數(shù)個(gè)平行并置的單位平行六面體就構(gòu)成整個(gè)空

間格子。晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論沿Y軸第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering單位平行六面體YZ沿Z軸X沿X軸第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑵單位平行六面體參數(shù)cβaSchool

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Engineeringbαγα：c

∧

bβ：c

∧

aγ：a

∧

b單位平行六面體的棱長a，b，c和棱的交角α、

β、γ稱為單位平行六面體參數(shù)。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論①

等軸晶系a=b=cα=β=γ=90°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀cabαSchool

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Engineeringγβ立方格子第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論②

四方晶系cabβ αSchool

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Engineeringγ四方格子a=b≠c；α=β=γ=90°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論③

斜方晶系a≠b≠cα=β=γ=90°cabβ αSchool

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Engineeringγ斜方格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論④

單斜晶系

a≠b≠cα=γ=90°β

≠

90°cabαSchool

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Engineeringγβ單斜格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑤

三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠90°γcβaSchool

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Engineeringbα三斜格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑥

六方晶系a=b≠c，α=β=90°；γ=120°γSchool

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Engineeringcabβ

α六方格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑦

三方晶系a=b=c；α=β=γ≠90°

≠

60°

≠109°28′16″cγSchool

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Engineeringabαβ菱面體格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論三方菱面體格子

α=90°時(shí)，可劃分成立方原始格子。

α=109°28′16″時(shí)，可劃分成立方體心格子。

α=60°時(shí)，可劃分成立方面心格子。School

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Engineering90°109°28′16″60°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑷

單位平行六面體中的結(jié)點(diǎn)分布原始格子PC心格子底心格子體心格子I面心格子FA心格子School

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EngineeringB心格子第8章⑷

十四種布拉維空間格子School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

綜合考慮單位平行六面體的形狀和結(jié)點(diǎn)分布，空

間格子共有14種。稱為14種布拉維空間格子。第8章 晶體構(gòu)的幾何理論結(jié)原始格子（P）

底心格子（C）

體心格子（I） 面心格子（F）三斜 C=P I=P F=P單斜 I=C F=C斜方nSchoolof

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Engineerig第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論Schoolof

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Engineering四方三方六方等軸C=PF=I與本晶系對(duì)稱不符不符合六方對(duì)稱與本晶系對(duì)稱不符I=R與本晶系對(duì)稱不符F=R與本晶系對(duì)稱不符第8章⑷

十四種布拉維空間格子School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

單位平行六面體有七種形狀和四種結(jié)點(diǎn)分布方

式，空間格子僅有14種，為什么？有些格子類型與所在晶系的對(duì)稱不符。有些格子類型與空間格子的條件不符。有些格子類型可以被改劃為其它格子。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論三斜面心→三斜原始格子空間格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論三斜I＝三斜P三斜C＝三斜P空間格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論單斜底心→單斜原始單斜體心→單斜底心School

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Engineering空間格子轉(zhuǎn)化第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論單斜B心格子轉(zhuǎn)變?yōu)閱涡痹几褡涌臻g格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論ence

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Engineering單斜面心格子轉(zhuǎn)變?yōu)閱涡钡仔母褡訂涡斌w心格子轉(zhuǎn)變?yōu)閱涡钡仔母褡覵chool

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MaterialsSci第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論四方底心→四方原始格子空間格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論四方面心格子轉(zhuǎn)變?yōu)轶w心格子空間格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論三方體心轉(zhuǎn)變?yōu)槿皆几褡涌臻g格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論菱面體面心格子重組為原始格子空間格子轉(zhuǎn)化School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.2 晶胞School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論晶體結(jié)構(gòu)中，與單位平行六面體對(duì)應(yīng)的基本單位稱

為晶胞。質(zhì)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)（相當(dāng)點(diǎn)）School

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Engineering8.2 晶胞立方面心格子NaCl晶胞質(zhì)點(diǎn)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

原胞

是晶格的最小重復(fù)單元，在二維時(shí)為平行四邊形，在三維時(shí)為平行六面體。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論晶胞參數(shù)：a、b、c和α、β、γ。晶胞是能反映晶體結(jié)構(gòu)特征(對(duì)稱性和質(zhì)點(diǎn)分布)的最小構(gòu)造單位。無數(shù)晶胞在三維空間平行并置，就構(gòu)成整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)。School

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Engineering8.2 晶胞第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論ab?

在一個(gè)晶胞中，對(duì)稱要素和質(zhì)點(diǎn)反映了整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)中對(duì)稱要素和質(zhì)點(diǎn)的種類及分布規(guī)律。?

對(duì)一個(gè)晶胞進(jìn)行分析，就可以知道整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)中對(duì)稱要素和質(zhì)點(diǎn)分布規(guī)律。School

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Engineering8.2 晶胞第8章單位晶胞中分子數(shù)(Z)的計(jì)算School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論NaCl的單位晶胞如圖所示：晶胞中NaCl的分子數(shù)：Na：

8

×

(1/8)

+6

×（1/2）=4Cl：12

×

(1/4)

+1=

4Z=4第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)*晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱要素*School

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Engineering主要教學(xué)內(nèi)容第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.3 空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論①

空間格子中坐標(biāo)系的建立?

坐標(biāo)軸

單位平行六面體三條棱的方向。?

坐標(biāo)原點(diǎn)

單位平行六面體的角頂。?

坐標(biāo)軸度量單位單位平行六面體的棱長a、b、c

。bacXYZ8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論0,0,01/2,1/2,01,0,0,0,1,0,②

空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)

用x,

y,

z

(u,

v,

w)表示空間格子中任意一點(diǎn)在

三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)。一般采用分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，

用單位平行六面體的棱

長a、b、c作為坐標(biāo)軸

度量單位時(shí)的坐標(biāo)系數(shù)。X此時(shí)，將一個(gè)軸單位的

長度定為1。School

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Engineering0,0,10,0,1/2YZabc8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論XYZ8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)③

行列（晶向）符號(hào)(Crystal

directions)School

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Engineering表示行列方向的符號(hào)，[x

y

z]

若行列經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

把該行列上距原點(diǎn)最近的

結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x,

y,

z放在“[

]”內(nèi)，[x

y

z]即為該行列的行列符號(hào)。[111]第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論[001][100][010][011][110][101][

201]8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)④

面網(wǎng)符號(hào)

面網(wǎng)符號(hào)與晶面符號(hào)在形式上基本相同，用

(h

k

l)表示面網(wǎng)與各結(jié)晶軸的關(guān)系。不同的是，

晶面符號(hào)表示的是晶體外形上某一晶面的方位，

而面網(wǎng)符號(hào)代表一組互相平行且面網(wǎng)間距相等的一組面網(wǎng)。晶面符號(hào)中晶面指數(shù)是最簡(jiǎn)單的整數(shù)，

沒有公約數(shù)，但面網(wǎng)符號(hào)可以有公約數(shù)。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論(111)School

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Engineering(110)(210)(020)(010)8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)④

面網(wǎng)符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

面網(wǎng)符號(hào)?

面網(wǎng)符號(hào)中存在以下關(guān)系：dnhnknl＝1/ndhkl

；

d030＝1/3d010例1：金剛石（diamond）CuKα＝1.5046nm，a＝3.536?，F(xiàn)d3m，測(cè)得d440＝0.63?，則d220＝1.26?，d110＝2.52?，例2：合成銳鈦礦（TiO2）測(cè)得d008＝1.1871?，則d004＝2.3742?；d303＝1.1714?，則d101＝3.5142?。School

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Engineering8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

面網(wǎng)符號(hào)?

當(dāng)點(diǎn)陣參數(shù)a,

b,

c,α,

β,

γ已知時(shí)，dhkl值可以用下列公式算出：dhkl＝V

[h2b2c2sin2α+k2a2c2sin2β+l2a2b2sin2γ+2hkabc2(cosαcosβ-osγ)+2kla2bc(cosβcosγ-cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2School

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Engineering8.3空間格子中點(diǎn)的坐標(biāo)、行列及面網(wǎng)符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.4 晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱要素School

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Engineering第8章8.4

晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱要素School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

晶體結(jié)構(gòu)中對(duì)稱要素包括兩部分宏觀對(duì)稱要素對(duì)稱軸、對(duì)稱面、旋轉(zhuǎn)反伸軸、對(duì)稱中心微觀對(duì)稱要素平移軸、螺旋軸、滑移面。

區(qū)別：微觀對(duì)稱要素包含平移操作。晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論第8章⑴平移軸

(translation

axis)概念晶體結(jié)構(gòu)中一直線方向，沿此直線平移一定距離以后，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都與相同質(zhì)點(diǎn)重合，整個(gè)結(jié)構(gòu)亦自相重合。?

對(duì)稱操作：平移?

平移軸移距使相同質(zhì)點(diǎn)重復(fù)的最小平移距離。School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

晶體結(jié)構(gòu)的空間格子中，任何一個(gè)行列都

是一個(gè)平移軸；移距等于行列上的結(jié)點(diǎn)間距。ba移距=(a+b)/2移距=a空間格子中的(001)面網(wǎng)移距=b第8章⑴平移軸

(translation

axis)School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論平移群?

由于空間格子中有無限多個(gè)不同方向的行列，因

此也就有無限多種平移軸，所以一般不用平移軸

描述晶體的微觀對(duì)稱。為了使平移軸有一個(gè)明確

的概念，通常采用平移群來表征。?

能夠反映晶體結(jié)構(gòu)特征的三個(gè)代表性平移軸組合稱為平移群，共有14種，即14種空間格子。

14種布拉維格子又稱為14種平移群。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論概念是晶體結(jié)構(gòu)中的一假想直線，繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度(α)并沿此直線平

移一定距離(t)之后，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都

與相同質(zhì)點(diǎn)重合，整個(gè)結(jié)構(gòu)亦自相

重合。對(duì)稱操作：繞軸旋轉(zhuǎn)+沿軸平移⑵

螺旋軸(Screw

Axes

)21繞軸旋轉(zhuǎn)180°沿軸平移T/2School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論nsn：軸次，n=1，2，3，4，6

(n=360°/α)s：小于n的自然數(shù)

按照n和s的不同，螺旋軸共有11種：21；(Two-fold

Screw

Axes

)

31、32；

41、42、43；

61、62、63、64、65。

晶體中不可能出現(xiàn)5次和高于6次的螺旋軸。School

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Engineering螺旋軸的國際符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論概念：使結(jié)構(gòu)復(fù)原的最小平

移距離。右旋操作t

=

(s/n)·T左旋操作t

=

[(n–s)/n]·TT：螺旋軸方向的結(jié)點(diǎn)間距。32T1/3T2/3T

螺旋軸的移距(

t

)School

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Engineering右旋32右旋和左旋的移距左旋第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

螺旋軸的類型

0<s<n/2：右旋螺旋軸－

31,41,61,62

n/2<s<n

：左旋螺旋軸－32

,43,64,65

s=n/2：中性螺旋軸－21,

42,

63

螺旋軸的國際符號(hào)ns是以右旋的移距為準(zhǔn)。

移距相同時(shí)，左旋螺旋軸和右旋螺旋軸旋向相反。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

螺旋軸的作圖符號(hào)2131、3241、42、4361、62、63、64、65

當(dāng)移距為零時(shí)，螺旋軸就變?yōu)楹?jiǎn)單的對(duì)稱軸，所

以對(duì)稱軸可以看成是移距為零的螺旋軸。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論1/2

螺旋軸及投影圖示221?代表平移的距離為T/2。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論1/32/31/32/331323School

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螺旋軸及投影圖示第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論41431/41/23/41/41/23/44

螺旋軸及投影圖示School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論421/2

42在旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)在同時(shí)動(dòng)作。

質(zhì)點(diǎn)繞42旋轉(zhuǎn)360°沿螺旋軸方向平移兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間距。

42為雙軌螺旋軸。1/242School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論61651/61/32/35/61/21/61/31/22/35/66

螺旋軸及投影圖示School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

螺旋軸及投影圖示62School

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62在旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)在同時(shí)動(dòng)作。

質(zhì)點(diǎn)繞62旋轉(zhuǎn)360°沿螺旋軸方向平移兩

個(gè)結(jié)點(diǎn)間距。

62為雙軌螺旋軸。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

螺旋軸及投影圖示64School

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64在旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)在同時(shí)

動(dòng)作。

質(zhì)點(diǎn)繞64旋轉(zhuǎn)360°沿螺旋軸方向平移兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間距。

64為雙軌螺旋軸。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論63School

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Engineering6363

63在旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)有三個(gè)點(diǎn)在同時(shí)動(dòng)作。

質(zhì)點(diǎn)繞63旋轉(zhuǎn)360°沿螺旋軸方向平移三個(gè)結(jié)點(diǎn)間距。

63為三軌螺旋軸。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論ab（001）面上的質(zhì)點(diǎn)分布YxNaCl晶體結(jié)構(gòu)中的螺旋軸42School

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Engineering21第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論ba41和43螺旋軸43T/4414143cSchool

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Engineering金剛石晶體結(jié)構(gòu)中的螺旋軸第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

晶體結(jié)構(gòu)中的假想平面，當(dāng)對(duì)此平面反映，并沿此平面滑移一定距離之后，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)皆與相同質(zhì)點(diǎn)重合。整個(gè)結(jié)構(gòu)亦自相重合。

操作：對(duì)此平面反映+沿此平面滑移⑶

滑移面-像移面(glide-reflections)1/21/21/21/2bcnYSchool

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EngineeringX?代表滑移的

距離為T/2。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

滑移面的種類School

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Engineering滑移面滑移方向滑移距離axa/2byb/2czc/2nx+yx+zy+z(a+b)/2;(a+c)/2;(b+c)/2dx+yx+zy+z(a+b)/4;(a+c)/4;(b+c)/4第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

滑移面的圖示符號(hào)b1/2School

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Engineering1/2ca,b,c在圖面內(nèi)滑移離開圖面滑移nd第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論b1/21/2cn1/2d1/43/41/2∥(100)面網(wǎng)的滑移面bb/2cnb+c/2dXYZc/2b+c/4School

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Engineeringa1/2第8章∥(010)面網(wǎng)的滑移面晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論X1/2c1/2nYZacnda/2c/2(a+c)/2(a+c)/41/43/41/2dSchool

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論∥(001)面網(wǎng)的滑移面XYZaSchool

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Engineeringbn(a+b)/2d(a+b)/4a/2b/2第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論aterialsScience

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Engineering滑移面(glide

plane)School

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M

a、b、c、n、d第8章

NaCl晶體結(jié)構(gòu)中的滑移面晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論xabY（001）面網(wǎng)上的質(zhì)點(diǎn)分布abNaCl結(jié)構(gòu)mSchool

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論軸向滑移面aaccbSchool

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論School

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Engineering金剛石型滑移面對(duì)角線滑移面dcabnabc第8章8.4

晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱要素School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論晶體結(jié)構(gòu)中的所有對(duì)稱要素:?

平移群--14種?

螺旋軸--11種?

滑移面--5種第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論空間群概念國際符號(hào)和圣弗里斯符號(hào)等效點(diǎn)系概念表示方法與晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系School

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Engineering主要教學(xué)內(nèi)容第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.5 空間群School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論abYSchool

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Engineering晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱

要素，是在三維空間按格

子構(gòu)造規(guī)律排列，每種對(duì)

稱要素都有無窮多個(gè)。

而且互相平行。x⑴

空間群的概念

晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中全部對(duì)稱要素的組合，稱為空間群。8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論abab

有些對(duì)稱要素相交，交

點(diǎn)（線）也在三維空間按

格子構(gòu)造規(guī)律（平行）排

列，也有無窮多。

空間群共有230種。

晶體結(jié)構(gòu)中的空間群相

當(dāng)于宏觀晶體的點(diǎn)群。YSchool

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Engineeringx8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論ab?

晶胞是晶體結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元，能夠反映出晶體

結(jié)構(gòu)中對(duì)稱要素和質(zhì)點(diǎn)的種類及分布規(guī)律。?

對(duì)一個(gè)晶胞進(jìn)行分析，就可以知道整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)中對(duì)稱要素和質(zhì)點(diǎn)分布規(guī)律。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論外部

結(jié)構(gòu)中1 12：3：4：6：m：461 12、213、31、324、41、42、436、

61、62、63、64、65m、a、b、c、n、d4614種空間格子（平移群）組合成230種空間群組合成32種點(diǎn)群晶體宏

觀和微觀

結(jié)構(gòu)中的

對(duì)稱要素

及其組合School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論點(diǎn)群：4

(L4)空間格子類型內(nèi)部對(duì)稱要素原始格子P體心格子I4 41

42

43空間群P4，P41，P42，P43

I4，I41×8.5

空間群(space

group)School

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Engineering第8章空間群和點(diǎn)群的區(qū)別與聯(lián)系晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

點(diǎn)群：mm2

空間格子類型：P、C、I、F

對(duì)稱面/滑移面：m、a、b、c、n、d

對(duì)稱軸/滑移面：

2、21；

空間群(22種)Pmm2,

Pmc21,

Pcc2,

Pma2,

Pca21

,

Pnc2Pmn21

,

Pba2,

Pna21,

Pnn2;Cmm2,

Cmc21,

Ccc2;Amm2,

Abm2,

Ama2,

Aba2;Imm2,

Iba2,

Ima2Fmm2,

Fdd2School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

每一種點(diǎn)群都對(duì)應(yīng)著若干種空間群；?

空間群的數(shù)目遠(yuǎn)超過點(diǎn)群數(shù)目，共有230種。School

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Engineering8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

空間群的國際符號(hào)由兩個(gè)部分組成：

前一部分大寫英文字母為格子類型，用P，C，I，F(xiàn)表示。

后一部分與所屬對(duì)稱型(點(diǎn)群)的國際符號(hào)基本相同，只是某

個(gè)或某些方位被替換為微觀對(duì)稱要素。

優(yōu)點(diǎn)：可直接看出格子類型和各方向存在哪些對(duì)稱要素。

缺點(diǎn)：同一空間群由于不同的定向以及其他因素可以寫成

不同的國際符號(hào)。

空間群的國際符號(hào)P

42/mbc四方原始格子屬于4/mmm點(diǎn)群I

ma2斜方體心格子屬于mm2點(diǎn)群School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論1 2 3Pnma

(#62)格子類型School

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Engineering

空間群的國際符號(hào)晶系三個(gè)位所表示的方向(依次列出)123123等軸ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]單斜b[010]三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論各方向代表性對(duì)稱要素的選擇原則和順序School

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Engineering?

晶系及空間格子類型的確定：根據(jù)有無高次軸及高次軸的方向和數(shù)目，無高次軸時(shí)根據(jù)2次軸及面對(duì)稱要素的數(shù)目確定晶系；根據(jù)晶胞參數(shù)特點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)分布規(guī)律確定空間格子類型。?

對(duì)于面對(duì)稱要素，先選對(duì)稱面m，無對(duì)稱面時(shí)，則依次選用d、n滑移面或a、b、c滑移面，若兩者都有時(shí)盡量選前

者。?

對(duì)于軸對(duì)稱要素，如果某一方向存在不同軸次的軸對(duì)稱要素時(shí)，選最高軸次；如果最高軸次有不同類型，則按對(duì)稱

軸、螺旋軸、旋轉(zhuǎn)反伸軸的順序選其一。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論? 空間群的圣佛利斯符號(hào)表示方法很簡(jiǎn)單，即在其

對(duì)稱型(點(diǎn)群)的圣佛利斯符號(hào)的右上角加上序號(hào)

即可。如對(duì)稱型L4的圣佛利斯符號(hào)為C4，與它對(duì)應(yīng)的六個(gè)空間群的圣佛利斯符號(hào)分別為C41、

C42、C43、

C44、

C45、

C46。

優(yōu)點(diǎn)：每一種圣佛利斯符號(hào)只與一種空間群對(duì)應(yīng)。

缺點(diǎn)：不能直觀看出格子類型和各方向存在哪些對(duì)稱要素。School

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Engineering空間群的圣佛利斯符號(hào)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論空間群的國際符號(hào)和圣佛利斯符號(hào)?

所以，在表示空間群時(shí)，鑒于兩種符號(hào)各自的特點(diǎn)，一般采用兩種符號(hào)并用。例如：?

金紅石：D4h

——P42/mnm14它的點(diǎn)群是什么？格子類型是什么？在什么方向有什么對(duì)稱要素？?

金剛石：Oh7——Fd3m?

閃鋅礦：Td2——F43mSchool

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論空間群的國際符號(hào)舉例cbaaSchool

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Engineeringbc金紅石第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論空間群的國際符號(hào)舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論YxNaCl的對(duì)稱要素在(001)面上的投影空間群的投影圖示使用作圖符號(hào)，把晶體結(jié)構(gòu)中一個(gè)晶胞范圍內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)和對(duì)稱要素分別投影到(001)面上。NaCl晶胞School

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Engineering230種空間群的投影圖具體見《晶體學(xué)國際表A1卷》International

Tables

for

Crystallography第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.6 等效點(diǎn)系School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8.6

等效點(diǎn)系(equivalent point)School

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Engineering⑴

等效點(diǎn)系的概念由空間群中對(duì)稱要素聯(lián)系起來的一組幾何點(diǎn)的總

和稱為等效點(diǎn)系。即空間格子中借對(duì)稱要素聯(lián)系

起來的一組幾何點(diǎn)。第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論點(diǎn)群中對(duì)稱要素聯(lián)系的一組晶面同一種單形的晶面必能對(duì)稱重復(fù)單形中晶面位置晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)稱要素組合空間群空間群中對(duì)稱要素聯(lián)系的一組幾何點(diǎn)同一套等效點(diǎn)系中的點(diǎn)必能對(duì)稱重復(fù)等效點(diǎn)系中等效點(diǎn)位置一種單形一套等效點(diǎn)系晶面符號(hào)等效點(diǎn)坐標(biāo)晶體外形對(duì)稱要素組合School

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Engineering點(diǎn)群一種點(diǎn)群對(duì)應(yīng)最多7種單形一種空間群對(duì)應(yīng)若干套等效點(diǎn)系8.6

等效點(diǎn)系(equivalent point)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論魏考夫（Wyckoff

）符號(hào)

一種空間群對(duì)應(yīng)若干套等效點(diǎn)系，在一個(gè)晶胞范圍內(nèi)，用a

,b

,c

,d

,e

,f

,g

……

對(duì)原始點(diǎn)位置不同的等效點(diǎn)系進(jìn)行編號(hào)，稱為等效點(diǎn)系的魏考

夫符號(hào)。?

點(diǎn)位置上的對(duì)稱性?

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：在一個(gè)晶胞范圍內(nèi)等效點(diǎn)的數(shù)目?

等效點(diǎn)的坐標(biāo)School

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Engineering⑵

等效點(diǎn)系的表示方法第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論YX⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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EngineeringPmm2在(001)面上的投影藍(lán)色區(qū)域?yàn)?個(gè)晶胞的范圍第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例位置①Wyckoff

符號(hào)：a

點(diǎn)位置：mm2

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：0，0，zSchool

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置②Wyckoff

符號(hào)：b

點(diǎn)位置：mm2

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：0，1/2，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置③Wyckoff

符號(hào)：c

點(diǎn)位置：mm2

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：1/2，

0，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置④Wyckoff

符號(hào)：d

點(diǎn)位置：mm2

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：1/2，

1/2，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置⑤Wyckoff

符號(hào)：e

點(diǎn)位置：m

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：2

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：x，0，z；-x，0，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置⑥Wyckoff

符號(hào)：f

點(diǎn)位置：m

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：2

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：

x，1/2，z；-x，1/2，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置⑦Wyckoff

符號(hào)：g

點(diǎn)位置：m

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：2

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：0，y，z；0，-y，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論位置⑧Wyckoff

符號(hào)：h

點(diǎn)位置：m

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：2

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：1/2，y，z；1/2，-y，z⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例位置⑨Wyckoff

符號(hào)：i

點(diǎn)位置：一般位置

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：4

等效點(diǎn)的坐標(biāo)：x，y，z；x，-y，z；-x，y，z;

-x，-y，z；School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論P(yáng)mm2的9個(gè)不同原始點(diǎn)位置iefga bdchSchool

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特殊等效點(diǎn)系：等效點(diǎn)在某個(gè)或某些對(duì)稱要素之上。

一般等效點(diǎn)系：等效點(diǎn)全部在對(duì)稱要素之外。⑶

等效點(diǎn)系的表示方法舉例第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

三者不能混為一談，相當(dāng)點(diǎn)一定是同種質(zhì)點(diǎn)和等

效點(diǎn)，但同種質(zhì)點(diǎn)不一定是同一套空間格子（其

上結(jié)點(diǎn)為相當(dāng)點(diǎn)，具體的晶體結(jié)構(gòu)可以看成是由

多套空間格子組成）上的相當(dāng)點(diǎn)；等效點(diǎn)是由一

原始點(diǎn)經(jīng)空間群中所有對(duì)稱要素操作所推導(dǎo)出來

的規(guī)則點(diǎn)系，它一定是同種質(zhì)點(diǎn)，但不一定是相

當(dāng)點(diǎn)，和晶體的對(duì)稱性有關(guān)。School

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Engineering同種質(zhì)點(diǎn)、相當(dāng)點(diǎn)和等效點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系：第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論⑷等效點(diǎn)系與晶體結(jié)構(gòu)

在晶體結(jié)構(gòu)中，質(zhì)點(diǎn)分布在等效點(diǎn)的位置上。

不同的質(zhì)點(diǎn)，不能占據(jù)同一套等效位置。

同一種質(zhì)點(diǎn)，占據(jù)一套或幾套等效位置。School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論晶體結(jié)構(gòu)分析的主要內(nèi)容School

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晶體結(jié)構(gòu)分析是分析一個(gè)晶胞中質(zhì)點(diǎn)的分布規(guī)律和對(duì)稱特征，一般包括以下內(nèi)容：

晶系

晶胞參數(shù)

質(zhì)點(diǎn)在晶胞中的位置和分布規(guī)律

空間群的國際符號(hào)

晶胞中的分子數(shù)

晶胞中等效點(diǎn)系的數(shù)目和重復(fù)點(diǎn)數(shù)

原子或離子的坐標(biāo)

原子或離子的配位數(shù)以及配位多面體的形狀第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

晶系：等軸晶系

晶胞參數(shù)：a=0.5628nm

質(zhì)點(diǎn)在晶胞中的位置和分布規(guī)律Cl-占據(jù)晶胞的角頂和每一個(gè)面的中心，Na+

占據(jù)晶胞每一條棱的中點(diǎn)。

空間群：Fm3m

分子數(shù)：Z=4NaCl的晶體結(jié)構(gòu)School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

等效點(diǎn)系的數(shù)目和重復(fù)點(diǎn)數(shù)

Cl-

占據(jù)1套等效位置，

重復(fù)點(diǎn)數(shù)：4

Na+

占據(jù)1套等效位置，重復(fù)點(diǎn)數(shù)：4School

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EngineeringNaCl的晶體結(jié)構(gòu)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

Cl-坐標(biāo)：0,0,0;1/2,1/2,0;1/2,

0,

1/2;0,1/2,1/2.School

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Na+坐標(biāo)：1/2,

1/2,

1/2;0,0,1/2;0,

1/2,

0;1/2,

0,

0NaCl的晶體結(jié)構(gòu)第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論CsCl的晶體結(jié)構(gòu)晶系：等軸晶系晶胞參數(shù)：a=0.5628nm質(zhì)點(diǎn)在晶胞中的位置和分布規(guī)律Cl-位于晶胞的角頂；Cs+

位于晶胞中心?？臻g群：Pm3m分子數(shù)：Z=1School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

等效點(diǎn)系的數(shù)目和重復(fù)點(diǎn)數(shù)

Cl-

占據(jù)1套等效位置，重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1Cl-

坐標(biāo)：0,

0,

0

Cs+占據(jù)1套等效位置，重復(fù)點(diǎn)數(shù)：1Cs+

坐標(biāo)：1/2,

1/2,

1/2School

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EngineeringCsCl的晶體結(jié)構(gòu)第8章補(bǔ)充一：等效點(diǎn)系的重要性School

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Engineering晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論?

當(dāng)一晶體的宏觀對(duì)稱、物理性質(zhì)及化學(xué)成分等已

知，且已確定了其晶胞參數(shù)、空間群而需解析晶

體結(jié)構(gòu)（即確定該晶體中各種質(zhì)點(diǎn)的占位情況）

或?yàn)榱四撤N目的需深入討論晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的占

位情況時(shí)，就必須應(yīng)用等效點(diǎn)系的理論和知識(shí)。

等效點(diǎn)系的理論，從幾何方面解決了晶體結(jié)構(gòu)中

質(zhì)點(diǎn)在空間分布的規(guī)律性問題。舉例：方解石第8章補(bǔ)充一：等效點(diǎn)系的重要性晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

方解石--CaCO3space

group

=R3c

Z

=6，在單胞內(nèi)含有30個(gè)原子

Ca占據(jù)6a位置0,

0,0；

C占據(jù)6b位置0,

0,?

O占據(jù)18e位置x,0,?

（x

=0.275）

其他27個(gè)原子的位置??

空間群的對(duì)稱性和等效點(diǎn)系使得原本復(fù)雜的晶體結(jié)構(gòu)描述起來如此簡(jiǎn)單!!School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論補(bǔ)充二.晶體結(jié)構(gòu)描述、查詢及繪圖School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論主要教學(xué)內(nèi)容

晶體結(jié)構(gòu)描述*

晶體結(jié)構(gòu)查詢*

晶體結(jié)構(gòu)繪圖*School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論1.晶體結(jié)構(gòu)描述School

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Engineering1）晶體的對(duì)稱性：

空間群：晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部全部對(duì)稱要素的組合?？臻g格子類型＋內(nèi)部對(duì)稱要素(宏觀+微觀) 如: Fm3m230個(gè)種空間群

，see《晶體學(xué)國際表》International

TablesforCrystallography2)

晶胞參數(shù)或晶格常數(shù)晶胞：反映晶體結(jié)構(gòu)特征的最小結(jié)構(gòu)單元如:NaCl a=b=c,α=β=γ=90°;

a＝5.6400?3)單胞分子數(shù)“Z”和理論化學(xué)式：“Z”是單晶胞內(nèi)所含分子數(shù)，理論化學(xué)式為最簡(jiǎn)化的化學(xué)式，如：NaCl,

MgAl2O4

實(shí)際化學(xué)式：按化學(xué)成分分析結(jié)果計(jì)算出的化學(xué)式，如Mg0.99Al2.01O4第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論4)

原子坐標(biāo)(分?jǐn)?shù)坐標(biāo)）：按等效點(diǎn)系描述126School

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Engineering等效點(diǎn)系：晶體結(jié)構(gòu)中的一個(gè)原始點(diǎn)經(jīng)過全部對(duì)稱要素的作用，所推導(dǎo)出來的一系列點(diǎn)的集合。1.晶體結(jié)構(gòu)描述如：NaCl：Na：4a0,0,

0Cl：4b?,

?,

?第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論如在空間群Fm3m中：4a: 0,

0,

0127School

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Engineering1.晶體結(jié)構(gòu)描述第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論4b: 1/2

,

1/2,1/21.晶體結(jié)構(gòu)描述128School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論8c: 1/4,1/4,

1/4129School

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Engineering1.晶體結(jié)構(gòu)描述第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論24d:0,

1/4,1/41.晶體結(jié)構(gòu)描述130School

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Engineering第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論192l:131School

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Engineeringx,

y,z1.晶體結(jié)構(gòu)描述第8章 晶體結(jié)構(gòu)的幾何理論

a,b,c……

為每個(gè)空間群中等效點(diǎn)系由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的編號(hào)，稱Wyckoff符號(hào)。

前面的數(shù)字代表單位晶胞中質(zhì)點(diǎn)的重復(fù)點(diǎn)數(shù)。

因此對(duì)NaC