第八章 晶體結構幾何理論

第8章 晶體結構的幾何理論第8章

晶體結構的幾何理論School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論主要教學內容十四種空間格子*晶胞*空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號*晶體內部結構的對稱要素*空間群#等效點系#School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論8.1 十四種布拉維空間格子School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論

空間格子是表示晶體結構中質點重復規(guī)律的立體幾何圖形。

空間格子要素

結點、行列、面網(wǎng)、單位平行六面體。

單位平行六面體是空間格子的最小組成單位。

無數(shù)個平行并置的單位平行六面體構成空間格子。School

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Engineering空間格子及要素第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結構的幾何理論?

劃分原則①

所選取的單位平行六面體應能夠反應格子構造中結點分布的固有對稱性。②

在滿足①的前提下，棱與棱之間的直角最多。③

在滿足①②的前提下，體積最小。36535672四方(4mm)平面點陣斜方(mm2)平面點陣第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結構的幾何理論14214二維平面點陣中平行四邊形的劃分YX晶體結構的幾何理論第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結構的幾何理論第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering晶體結構的幾何理論在三維空間做同樣分析，可以從空間格子中劃分

出一個最小的重復單位—單位平行六面體，它由

六個兩兩平行且相等的平面組成。這樣劃分出來的單位平行六面體，其對稱性與相應空間格子相同。無數(shù)個平行并置的單位平行六面體就構成整個空

間格子。晶體結構的幾何理論沿Y軸第8章⑴

單位平行六面體的劃分School

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Engineering單位平行六面體YZ沿Z軸X沿X軸第8章 晶體結構的幾何理論⑵單位平行六面體參數(shù)cβaSchool

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Engineeringbαγα：c

∧

bβ：c

∧

aγ：a

∧

b單位平行六面體的棱長a，b，c和棱的交角α、

β、γ稱為單位平行六面體參數(shù)。第8章 晶體結構的幾何理論①

等軸晶系a=b=cα=β=γ=90°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀cabαSchool

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Engineeringγβ立方格子第8章 晶體結構的幾何理論②

四方晶系cabβ αSchool

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Engineeringγ四方格子a=b≠c；α=β=γ=90°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論③

斜方晶系a≠b≠cα=β=γ=90°cabβ αSchool

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Engineeringγ斜方格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論④

單斜晶系

a≠b≠cα=γ=90°β

≠

90°cabαSchool

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Engineeringγβ單斜格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論⑤

三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠90°γcβaSchool

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Engineeringbα三斜格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論⑥

六方晶系a=b≠c，α=β=90°；γ=120°γSchool

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Engineeringcabβ

α六方格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論⑦

三方晶系a=b=c；α=β=γ≠90°

≠

60°

≠109°28′16″cγSchool

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Engineeringabαβ菱面體格子⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論三方菱面體格子

α=90°時，可劃分成立方原始格子。

α=109°28′16″時，可劃分成立方體心格子。

α=60°時，可劃分成立方面心格子。School

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Engineering90°109°28′16″60°⑶

各晶系單位平行六面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論⑷

單位平行六面體中的結點分布原始格子PC心格子底心格子體心格子I面心格子FA心格子School

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EngineeringB心格子第8章⑷

十四種布拉維空間格子School

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Engineering晶體結構的幾何理論?

綜合考慮單位平行六面體的形狀和結點分布，空

間格子共有14種。稱為14種布拉維空間格子。第8章 晶體構的幾何理論結原始格子（P）

底心格子（C）

體心格子（I） 面心格子（F）三斜 C=P I=P F=P單斜 I=C F=C斜方nSchoolof

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Engineerig第8章 晶體結構的幾何理論Schoolof

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Engineering四方三方六方等軸C=PF=I與本晶系對稱不符不符合六方對稱與本晶系對稱不符I=R與本晶系對稱不符F=R與本晶系對稱不符第8章⑷

十四種布拉維空間格子School

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Engineering晶體結構的幾何理論?

單位平行六面體有七種形狀和四種結點分布方

式，空間格子僅有14種，為什么？有些格子類型與所在晶系的對稱不符。有些格子類型與空間格子的條件不符。有些格子類型可以被改劃為其它格子。第8章 晶體結構的幾何理論三斜面心→三斜原始格子空間格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論三斜I＝三斜P三斜C＝三斜P空間格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論單斜底心→單斜原始單斜體心→單斜底心School

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Engineering空間格子轉化第8章 晶體結構的幾何理論單斜B心格子轉變?yōu)閱涡痹几褡涌臻g格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論ence

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Engineering單斜面心格子轉變?yōu)閱涡钡仔母褡訂涡斌w心格子轉變?yōu)閱涡钡仔母褡覵chool

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MaterialsSci第8章 晶體結構的幾何理論四方底心→四方原始格子空間格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論四方面心格子轉變?yōu)轶w心格子空間格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論三方體心轉變?yōu)槿皆几褡涌臻g格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論菱面體面心格子重組為原始格子空間格子轉化School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論8.2 晶胞School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論晶體結構中，與單位平行六面體對應的基本單位稱

為晶胞。質點結點（相當點）School

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Engineering8.2 晶胞立方面心格子NaCl晶胞質點第8章 晶體結構的幾何理論

原胞

是晶格的最小重復單元，在二維時為平行四邊形，在三維時為平行六面體。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論晶胞參數(shù)：a、b、c和α、β、γ。晶胞是能反映晶體結構特征(對稱性和質點分布)的最小構造單位。無數(shù)晶胞在三維空間平行并置，就構成整個晶體結構。School

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Engineering8.2 晶胞第8章 晶體結構的幾何理論ab?

在一個晶胞中，對稱要素和質點反映了整個晶體結構中對稱要素和質點的種類及分布規(guī)律。?

對一個晶胞進行分析，就可以知道整個晶體結構中對稱要素和質點分布規(guī)律。School

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Engineering8.2 晶胞第8章單位晶胞中分子數(shù)(Z)的計算School

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Engineering晶體結構的幾何理論NaCl的單位晶胞如圖所示：晶胞中NaCl的分子數(shù)：Na：

8

×

(1/8)

+6

×（1/2）=4Cl：12

×

(1/4)

+1=

4Z=4第8章 晶體結構的幾何理論空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號*晶體內部結構的對稱要素*School

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Engineering主要教學內容第8章 晶體結構的幾何理論8.3 空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論①

空間格子中坐標系的建立?

坐標軸

單位平行六面體三條棱的方向。?

坐標原點

單位平行六面體的角頂。?

坐標軸度量單位單位平行六面體的棱長a、b、c

。bacXYZ8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論0,0,01/2,1/2,01,0,0,0,1,0,②

空間格子中點的坐標

用x,

y,

z

(u,

v,

w)表示空間格子中任意一點在

三個坐標軸上的坐標。一般采用分數(shù)坐標，

用單位平行六面體的棱

長a、b、c作為坐標軸

度量單位時的坐標系數(shù)。X此時，將一個軸單位的

長度定為1。School

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Engineering0,0,10,0,1/2YZabc8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號第8章 晶體結構的幾何理論XYZ8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號③

行列（晶向）符號(Crystal

directions)School

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Engineering表示行列方向的符號，[x

y

z]

若行列經(jīng)過坐標原點，

把該行列上距原點最近的

結點坐標x,

y,

z放在“[

]”內，[x

y

z]即為該行列的行列符號。[111]第8章 晶體結構的幾何理論[001][100][010][011][110][101][

201]8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號④

面網(wǎng)符號

面網(wǎng)符號與晶面符號在形式上基本相同，用

(h

k

l)表示面網(wǎng)與各結晶軸的關系。不同的是，

晶面符號表示的是晶體外形上某一晶面的方位，

而面網(wǎng)符號代表一組互相平行且面網(wǎng)間距相等的一組面網(wǎng)。晶面符號中晶面指數(shù)是最簡單的整數(shù)，

沒有公約數(shù)，但面網(wǎng)符號可以有公約數(shù)。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論(111)School

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Engineering(110)(210)(020)(010)8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號④

面網(wǎng)符號第8章 晶體結構的幾何理論

面網(wǎng)符號?

面網(wǎng)符號中存在以下關系：dnhnknl＝1/ndhkl

；

d030＝1/3d010例1：金剛石（diamond）CuKα＝1.5046nm，a＝3.536?，F(xiàn)d3m，測得d440＝0.63?，則d220＝1.26?，d110＝2.52?，例2：合成銳鈦礦（TiO2）測得d008＝1.1871?，則d004＝2.3742?；d303＝1.1714?，則d101＝3.5142?。School

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Engineering8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號第8章 晶體結構的幾何理論

面網(wǎng)符號?

當點陣參數(shù)a,

b,

c,α,

β,

γ已知時，dhkl值可以用下列公式算出：dhkl＝V

[h2b2c2sin2α+k2a2c2sin2β+l2a2b2sin2γ+2hkabc2(cosαcosβ-osγ)+2kla2bc(cosβcosγ-cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2School

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Engineering8.3空間格子中點的坐標、行列及面網(wǎng)符號第8章 晶體結構的幾何理論8.4 晶體內部結構的對稱要素School

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Engineering第8章8.4

晶體內部結構的對稱要素School

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Engineering晶體結構的幾何理論

晶體結構中對稱要素包括兩部分宏觀對稱要素對稱軸、對稱面、旋轉反伸軸、對稱中心微觀對稱要素平移軸、螺旋軸、滑移面。

區(qū)別：微觀對稱要素包含平移操作。晶體結構的幾何理論第8章⑴平移軸

(translation

axis)概念晶體結構中一直線方向，沿此直線平移一定距離以后，每一個質點都與相同質點重合，整個結構亦自相重合。?

對稱操作：平移?

平移軸移距使相同質點重復的最小平移距離。School

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Engineering晶體結構的幾何理論

晶體結構的空間格子中，任何一個行列都

是一個平移軸；移距等于行列上的結點間距。ba移距=(a+b)/2移距=a空間格子中的(001)面網(wǎng)移距=b第8章⑴平移軸

(translation

axis)School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論平移群?

由于空間格子中有無限多個不同方向的行列，因

此也就有無限多種平移軸，所以一般不用平移軸

描述晶體的微觀對稱。為了使平移軸有一個明確

的概念，通常采用平移群來表征。?

能夠反映晶體結構特征的三個代表性平移軸組合稱為平移群，共有14種，即14種空間格子。

14種布拉維格子又稱為14種平移群。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論概念是晶體結構中的一假想直線，繞此直線旋轉一定角度(α)并沿此直線平

移一定距離(t)之后，每一個質點都

與相同質點重合，整個結構亦自相

重合。對稱操作：繞軸旋轉+沿軸平移⑵

螺旋軸(Screw

Axes

)21繞軸旋轉180°沿軸平移T/2School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論nsn：軸次，n=1，2，3，4，6

(n=360°/α)s：小于n的自然數(shù)

按照n和s的不同，螺旋軸共有11種：21；(Two-fold

Screw

Axes

)

31、32；

41、42、43；

61、62、63、64、65。

晶體中不可能出現(xiàn)5次和高于6次的螺旋軸。School

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Engineering螺旋軸的國際符號第8章 晶體結構的幾何理論概念：使結構復原的最小平

移距離。右旋操作t

=

(s/n)·T左旋操作t

=

[(n–s)/n]·TT：螺旋軸方向的結點間距。32T1/3T2/3T

螺旋軸的移距(

t

)School

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Engineering右旋32右旋和左旋的移距左旋第8章 晶體結構的幾何理論

螺旋軸的類型

0<s<n/2：右旋螺旋軸－

31,41,61,62

n/2<s<n

：左旋螺旋軸－32

,43,64,65

s=n/2：中性螺旋軸－21,

42,

63

螺旋軸的國際符號ns是以右旋的移距為準。

移距相同時，左旋螺旋軸和右旋螺旋軸旋向相反。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論

螺旋軸的作圖符號2131、3241、42、4361、62、63、64、65

當移距為零時，螺旋軸就變?yōu)楹唵蔚膶ΨQ軸，所

以對稱軸可以看成是移距為零的螺旋軸。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論1/2

螺旋軸及投影圖示221?代表平移的距離為T/2。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論1/32/31/32/331323School

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Engineering

螺旋軸及投影圖示第8章 晶體結構的幾何理論41431/41/23/41/41/23/44

螺旋軸及投影圖示School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論421/2

42在旋轉和平移時有兩個點在同時動作。

質點繞42旋轉360°沿螺旋軸方向平移兩個結點間距。

42為雙軌螺旋軸。1/242School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論61651/61/32/35/61/21/61/31/22/35/66

螺旋軸及投影圖示School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論

螺旋軸及投影圖示62School

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Engineering

62在旋轉和平移時有兩個點在同時動作。

質點繞62旋轉360°沿螺旋軸方向平移兩

個結點間距。

62為雙軌螺旋軸。第8章 晶體結構的幾何理論

螺旋軸及投影圖示64School

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Engineering

64在旋轉和平移時有兩個點在同時

動作。

質點繞64旋轉360°沿螺旋軸方向平移兩個結點間距。

64為雙軌螺旋軸。第8章 晶體結構的幾何理論63School

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Engineering6363

63在旋轉和平移時有三個點在同時動作。

質點繞63旋轉360°沿螺旋軸方向平移三個結點間距。

63為三軌螺旋軸。第8章 晶體結構的幾何理論ab（001）面上的質點分布YxNaCl晶體結構中的螺旋軸42School

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Engineering21第8章 晶體結構的幾何理論ba41和43螺旋軸43T/4414143cSchool

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Engineering金剛石晶體結構中的螺旋軸第8章 晶體結構的幾何理論

晶體結構中的假想平面，當對此平面反映，并沿此平面滑移一定距離之后，每一個質點皆與相同質點重合。整個結構亦自相重合。

操作：對此平面反映+沿此平面滑移⑶

滑移面-像移面(glide-reflections)1/21/21/21/2bcnYSchool

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EngineeringX?代表滑移的

距離為T/2。第8章 晶體結構的幾何理論

滑移面的種類School

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Engineering滑移面滑移方向滑移距離axa/2byb/2czc/2nx+yx+zy+z(a+b)/2;(a+c)/2;(b+c)/2dx+yx+zy+z(a+b)/4;(a+c)/4;(b+c)/4第8章 晶體結構的幾何理論

滑移面的圖示符號b1/2School

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Engineering1/2ca,b,c在圖面內滑移離開圖面滑移nd第8章 晶體結構的幾何理論b1/21/2cn1/2d1/43/41/2∥(100)面網(wǎng)的滑移面bb/2cnb+c/2dXYZc/2b+c/4School

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Engineeringa1/2第8章∥(010)面網(wǎng)的滑移面晶體結構的幾何理論X1/2c1/2nYZacnda/2c/2(a+c)/2(a+c)/41/43/41/2dSchool

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論∥(001)面網(wǎng)的滑移面XYZaSchool

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Engineeringbn(a+b)/2d(a+b)/4a/2b/2第8章 晶體結構的幾何理論aterialsScience

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Engineering滑移面(glide

plane)School

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M

a、b、c、n、d第8章

NaCl晶體結構中的滑移面晶體結構的幾何理論xabY（001）面網(wǎng)上的質點分布abNaCl結構mSchool

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論軸向滑移面aaccbSchool

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論School

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Engineering金剛石型滑移面對角線滑移面dcabnabc第8章8.4

晶體內部結構的對稱要素School

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Engineering晶體結構的幾何理論晶體結構中的所有對稱要素:?

平移群--14種?

螺旋軸--11種?

滑移面--5種第8章 晶體結構的幾何理論空間群概念國際符號和圣弗里斯符號等效點系概念表示方法與晶體結構中質點的關系School

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Engineering主要教學內容第8章 晶體結構的幾何理論8.5 空間群School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論abYSchool

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Engineering晶體內部結構中的對稱

要素，是在三維空間按格

子構造規(guī)律排列，每種對

稱要素都有無窮多個。

而且互相平行。x⑴

空間群的概念

晶體內部結構中全部對稱要素的組合，稱為空間群。8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結構的幾何理論abab

有些對稱要素相交，交

點（線）也在三維空間按

格子構造規(guī)律（平行）排

列，也有無窮多。

空間群共有230種。

晶體結構中的空間群相

當于宏觀晶體的點群。YSchool

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Engineeringx8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結構的幾何理論ab?

晶胞是晶體結構的最小重復單元，能夠反映出晶體

結構中對稱要素和質點的種類及分布規(guī)律。?

對一個晶胞進行分析，就可以知道整個晶體結構中對稱要素和質點分布規(guī)律。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論外部

結構中1 12：3：4：6：m：461 12、213、31、324、41、42、436、

61、62、63、64、65m、a、b、c、n、d4614種空間格子（平移群）組合成230種空間群組合成32種點群晶體宏

觀和微觀

結構中的

對稱要素

及其組合School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論點群：4

(L4)空間格子類型內部對稱要素原始格子P體心格子I4 41

42

43空間群P4，P41，P42，P43

I4，I41×8.5

空間群(space

group)School

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Engineering第8章空間群和點群的區(qū)別與聯(lián)系晶體結構的幾何理論

點群：mm2

空間格子類型：P、C、I、F

對稱面/滑移面：m、a、b、c、n、d

對稱軸/滑移面：

2、21；

空間群(22種)Pmm2,

Pmc21,

Pcc2,

Pma2,

Pca21

,

Pnc2Pmn21

,

Pba2,

Pna21,

Pnn2;Cmm2,

Cmc21,

Ccc2;Amm2,

Abm2,

Ama2,

Aba2;Imm2,

Iba2,

Ima2Fmm2,

Fdd2School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論?

每一種點群都對應著若干種空間群；?

空間群的數(shù)目遠超過點群數(shù)目，共有230種。School

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Engineering8.5

空間群(space

group)第8章 晶體結構的幾何理論

空間群的國際符號由兩個部分組成：

前一部分大寫英文字母為格子類型，用P，C，I，F(xiàn)表示。

后一部分與所屬對稱型(點群)的國際符號基本相同，只是某

個或某些方位被替換為微觀對稱要素。

優(yōu)點：可直接看出格子類型和各方向存在哪些對稱要素。

缺點：同一空間群由于不同的定向以及其他因素可以寫成

不同的國際符號。

空間群的國際符號P

42/mbc四方原始格子屬于4/mmm點群I

ma2斜方體心格子屬于mm2點群School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論1 2 3Pnma

(#62)格子類型School

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Engineering

空間群的國際符號晶系三個位所表示的方向(依次列出)123123等軸ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]單斜b[010]三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]第8章 晶體結構的幾何理論各方向代表性對稱要素的選擇原則和順序School

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Engineering?

晶系及空間格子類型的確定：根據(jù)有無高次軸及高次軸的方向和數(shù)目，無高次軸時根據(jù)2次軸及面對稱要素的數(shù)目確定晶系；根據(jù)晶胞參數(shù)特點和質點分布規(guī)律確定空間格子類型。?

對于面對稱要素，先選對稱面m，無對稱面時，則依次選用d、n滑移面或a、b、c滑移面，若兩者都有時盡量選前

者。?

對于軸對稱要素，如果某一方向存在不同軸次的軸對稱要素時，選最高軸次；如果最高軸次有不同類型，則按對稱

軸、螺旋軸、旋轉反伸軸的順序選其一。第8章 晶體結構的幾何理論? 空間群的圣佛利斯符號表示方法很簡單，即在其

對稱型(點群)的圣佛利斯符號的右上角加上序號

即可。如對稱型L4的圣佛利斯符號為C4，與它對應的六個空間群的圣佛利斯符號分別為C41、

C42、C43、

C44、

C45、

C46。

優(yōu)點：每一種圣佛利斯符號只與一種空間群對應。

缺點：不能直觀看出格子類型和各方向存在哪些對稱要素。School

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Engineering空間群的圣佛利斯符號第8章 晶體結構的幾何理論空間群的國際符號和圣佛利斯符號?

所以，在表示空間群時，鑒于兩種符號各自的特點，一般采用兩種符號并用。例如：?

金紅石：D4h

——P42/mnm14它的點群是什么？格子類型是什么？在什么方向有什么對稱要素？?

金剛石：Oh7——Fd3m?

閃鋅礦：Td2——F43mSchool

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論空間群的國際符號舉例cbaaSchool

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Engineeringbc金紅石第8章 晶體結構的幾何理論空間群的國際符號舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論YxNaCl的對稱要素在(001)面上的投影空間群的投影圖示使用作圖符號，把晶體結構中一個晶胞范圍內的質點和對稱要素分別投影到(001)面上。NaCl晶胞School

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Engineering230種空間群的投影圖具體見《晶體學國際表A1卷》International

Tables

for

Crystallography第8章 晶體結構的幾何理論8.6 等效點系School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論8.6

等效點系(equivalent point)School

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Engineering⑴

等效點系的概念由空間群中對稱要素聯(lián)系起來的一組幾何點的總

和稱為等效點系。即空間格子中借對稱要素聯(lián)系

起來的一組幾何點。第8章 晶體結構的幾何理論點群中對稱要素聯(lián)系的一組晶面同一種單形的晶面必能對稱重復單形中晶面位置晶體內部結構對稱要素組合空間群空間群中對稱要素聯(lián)系的一組幾何點同一套等效點系中的點必能對稱重復等效點系中等效點位置一種單形一套等效點系晶面符號等效點坐標晶體外形對稱要素組合School

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Engineering點群一種點群對應最多7種單形一種空間群對應若干套等效點系8.6

等效點系(equivalent point)第8章 晶體結構的幾何理論魏考夫（Wyckoff

）符號

一種空間群對應若干套等效點系，在一個晶胞范圍內，用a

,b

,c

,d

,e

,f

,g

……

對原始點位置不同的等效點系進行編號，稱為等效點系的魏考

夫符號。?

點位置上的對稱性?

重復點數(shù)：在一個晶胞范圍內等效點的數(shù)目?

等效點的坐標School

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Engineering⑵

等效點系的表示方法第8章 晶體結構的幾何理論YX⑶

等效點系的表示方法舉例School

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EngineeringPmm2在(001)面上的投影藍色區(qū)域為1個晶胞的范圍第8章 晶體結構的幾何理論⑶

等效點系的表示方法舉例位置①Wyckoff

符號：a

點位置：mm2

重復點數(shù)：1

等效點的坐標：0，0，zSchool

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置②Wyckoff

符號：b

點位置：mm2

重復點數(shù)：1

等效點的坐標：0，1/2，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置③Wyckoff

符號：c

點位置：mm2

重復點數(shù)：1

等效點的坐標：1/2，

0，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置④Wyckoff

符號：d

點位置：mm2

重復點數(shù)：1

等效點的坐標：1/2，

1/2，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置⑤Wyckoff

符號：e

點位置：m

重復點數(shù)：2

等效點的坐標：x，0，z；-x，0，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置⑥Wyckoff

符號：f

點位置：m

重復點數(shù)：2

等效點的坐標：

x，1/2，z；-x，1/2，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置⑦Wyckoff

符號：g

點位置：m

重復點數(shù)：2

等效點的坐標：0，y，z；0，-y，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論位置⑧Wyckoff

符號：h

點位置：m

重復點數(shù)：2

等效點的坐標：1/2，y，z；1/2，-y，z⑶

等效點系的表示方法舉例School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論⑶

等效點系的表示方法舉例位置⑨Wyckoff

符號：i

點位置：一般位置

重復點數(shù)：4

等效點的坐標：x，y，z；x，-y，z；-x，y，z;

-x，-y，z；School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論Pmm2的9個不同原始點位置iefga bdchSchool

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Engineering

特殊等效點系：等效點在某個或某些對稱要素之上。

一般等效點系：等效點全部在對稱要素之外。⑶

等效點系的表示方法舉例第8章 晶體結構的幾何理論?

三者不能混為一談，相當點一定是同種質點和等

效點，但同種質點不一定是同一套空間格子（其

上結點為相當點，具體的晶體結構可以看成是由

多套空間格子組成）上的相當點；等效點是由一

原始點經(jīng)空間群中所有對稱要素操作所推導出來

的規(guī)則點系，它一定是同種質點，但不一定是相

當點，和晶體的對稱性有關。School

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Engineering同種質點、相當點和等效點之間的區(qū)別與聯(lián)系：第8章 晶體結構的幾何理論⑷等效點系與晶體結構

在晶體結構中，質點分布在等效點的位置上。

不同的質點，不能占據(jù)同一套等效位置。

同一種質點，占據(jù)一套或幾套等效位置。School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論晶體結構分析的主要內容School

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Engineering

晶體結構分析是分析一個晶胞中質點的分布規(guī)律和對稱特征，一般包括以下內容：

晶系

晶胞參數(shù)

質點在晶胞中的位置和分布規(guī)律

空間群的國際符號

晶胞中的分子數(shù)

晶胞中等效點系的數(shù)目和重復點數(shù)

原子或離子的坐標

原子或離子的配位數(shù)以及配位多面體的形狀第8章 晶體結構的幾何理論

晶系：等軸晶系

晶胞參數(shù)：a=0.5628nm

質點在晶胞中的位置和分布規(guī)律Cl-占據(jù)晶胞的角頂和每一個面的中心，Na+

占據(jù)晶胞每一條棱的中點。

空間群：Fm3m

分子數(shù)：Z=4NaCl的晶體結構School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論

等效點系的數(shù)目和重復點數(shù)

Cl-

占據(jù)1套等效位置，

重復點數(shù)：4

Na+

占據(jù)1套等效位置，重復點數(shù)：4School

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EngineeringNaCl的晶體結構第8章 晶體結構的幾何理論

Cl-坐標：0,0,0;1/2,1/2,0;1/2,

0,

1/2;0,1/2,1/2.School

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Engineering

Na+坐標：1/2,

1/2,

1/2;0,0,1/2;0,

1/2,

0;1/2,

0,

0NaCl的晶體結構第8章 晶體結構的幾何理論CsCl的晶體結構晶系：等軸晶系晶胞參數(shù)：a=0.5628nm質點在晶胞中的位置和分布規(guī)律Cl-位于晶胞的角頂；Cs+

位于晶胞中心?？臻g群：Pm3m分子數(shù)：Z=1School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論

等效點系的數(shù)目和重復點數(shù)

Cl-

占據(jù)1套等效位置，重復點數(shù)：1Cl-

坐標：0,

0,

0

Cs+占據(jù)1套等效位置，重復點數(shù)：1Cs+

坐標：1/2,

1/2,

1/2School

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EngineeringCsCl的晶體結構第8章補充一：等效點系的重要性School

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Engineering晶體結構的幾何理論?

當一晶體的宏觀對稱、物理性質及化學成分等已

知，且已確定了其晶胞參數(shù)、空間群而需解析晶

體結構（即確定該晶體中各種質點的占位情況）

或為了某種目的需深入討論晶體結構中質點的占

位情況時，就必須應用等效點系的理論和知識。

等效點系的理論，從幾何方面解決了晶體結構中

質點在空間分布的規(guī)律性問題。舉例：方解石第8章補充一：等效點系的重要性晶體結構的幾何理論

方解石--CaCO3space

group

=R3c

Z

=6，在單胞內含有30個原子

Ca占據(jù)6a位置0,

0,0；

C占據(jù)6b位置0,

0,?

O占據(jù)18e位置x,0,?

（x

=0.275）

其他27個原子的位置??

空間群的對稱性和等效點系使得原本復雜的晶體結構描述起來如此簡單!!School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論補充二.晶體結構描述、查詢及繪圖School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論主要教學內容

晶體結構描述*

晶體結構查詢*

晶體結構繪圖*School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論1.晶體結構描述School

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Engineering1）晶體的對稱性：

空間群：晶體結構內部全部對稱要素的組合?？臻g格子類型＋內部對稱要素(宏觀+微觀) 如: Fm3m230個種空間群

，see《晶體學國際表》International

TablesforCrystallography2)

晶胞參數(shù)或晶格常數(shù)晶胞：反映晶體結構特征的最小結構單元如:NaCl a=b=c,α=β=γ=90°;

a＝5.6400?3)單胞分子數(shù)“Z”和理論化學式：“Z”是單晶胞內所含分子數(shù)，理論化學式為最簡化的化學式，如：NaCl,

MgAl2O4

實際化學式：按化學成分分析結果計算出的化學式，如Mg0.99Al2.01O4第8章 晶體結構的幾何理論4)

原子坐標(分數(shù)坐標）：按等效點系描述126School

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Engineering等效點系：晶體結構中的一個原始點經(jīng)過全部對稱要素的作用，所推導出來的一系列點的集合。1.晶體結構描述如：NaCl：Na：4a0,0,

0Cl：4b?,

?,

?第8章 晶體結構的幾何理論如在空間群Fm3m中：4a: 0,

0,

0127School

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Engineering1.晶體結構描述第8章 晶體結構的幾何理論4b: 1/2

,

1/2,1/21.晶體結構描述128School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論8c: 1/4,1/4,

1/4129School

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Engineering1.晶體結構描述第8章 晶體結構的幾何理論24d:0,

1/4,1/41.晶體結構描述130School

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Engineering第8章 晶體結構的幾何理論192l:131School

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Engineeringx,

y,z1.晶體結構描述第8章 晶體結構的幾何理論

a,b,c……

為每個空間群中等效點系由簡單到復雜的編號，稱Wyckoff符號。

前面的數(shù)字代表單位晶胞中質點的重復點數(shù)。

因此對NaC