第六章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計

第六章

無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計本章目錄數(shù)字濾波器的技術(shù)指標與設(shè)計方法

用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器

(脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法)

IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計

IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實現(xiàn)

2理想的數(shù)字濾波器是非因果的，因而是物理上不可實現(xiàn)的。濾波器的設(shè)計就是用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近理想濾波器的性能。IIR數(shù)字濾波器的兩類設(shè)計方法：借助于模擬濾波器的設(shè)計方法；直接在頻域或者時域中進行設(shè)計。6.1引言3數(shù)字濾波器的技術(shù)要求

數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

6.2數(shù)字濾波器的技術(shù)指標與設(shè)計方法4傳輸函數(shù)幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；

相頻特性

φ(ω)

反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況

6.2.1數(shù)字濾波器的技術(shù)要求5理想濾波器是非因果的，物理上不可實現(xiàn)。為了物理上可實現(xiàn)，在通帶與阻帶之間應(yīng)設(shè)置一定寬度的過渡帶，并且在通帶和阻帶都允許一定的誤差容限，即通帶不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕對衰減到零。6低通濾波器通帶阻帶

7通帶內(nèi)允許的最大衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減3dB通帶截止頻率當幅度下降到時，即下降為0.707,，對應(yīng)的頻率

歸一化86.2.2數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的設(shè)計問題就是尋找一組系數(shù)ai和bi，使得其性能在某種意義上逼近所要求的特性。數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟:給出所需要的濾波器的技術(shù)指標；設(shè)計一個H(z)使其逼近所需要的技術(shù)指標；用數(shù)字硬件或在計算機上編寫算法實現(xiàn)所設(shè)計的H(z)。

9IIR的設(shè)計方法—借用模擬濾波器先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器。很方便，這是因為模擬濾波器的設(shè)計方法已經(jīng)很成熟，它不僅有完整的設(shè)計公式，還有完善的圖表供查閱。設(shè)計步驟將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬原型濾波器；按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。

10IIR的設(shè)計方法—直接設(shè)計直接在頻域或者時域中進行設(shè)計這是一種最優(yōu)化設(shè)計法。由于要解聯(lián)立方程，因此需要計算機輔助進行設(shè)計。116.3用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器模擬濾波器的設(shè)計脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計方法126.3.1模擬濾波器的設(shè)計

常用的模擬濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性切比雪夫（Chebyshew）濾波器幅頻特性在通帶或者阻帶內(nèi)有波動，可以提高選擇性；橢圓（Ellipse）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都有紋波貝塞爾（Bessel）濾波器等通帶內(nèi)有較好的線性相位特性

13巴特沃斯型濾波器幅度特性14切比雪夫型濾波器幅度特性

15橢圓濾波器幅度特性16貝塞爾濾波器幅度特性17理想模擬濾波器幅頻特性

18幅度平方函數(shù)模擬低通濾波器的設(shè)計指標通帶截止頻率通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶最小衰減19模擬濾波器的設(shè)計步驟

由給定的、、和求出由得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

Ha(s)的極點（或零點）與Ha(-s)的極點（或零點）具有象限對稱性。為了保證設(shè)計的濾波器穩(wěn)定，將|Ha(s)|2的左半平面的極點賦給Ha(s)。20巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：N為濾波器階數(shù)Ωc為3dB截止頻率21巴特沃斯低通濾波器幅度特性與階數(shù)關(guān)系22巴特沃斯低通濾波器的特點幅度特性隨著Ω增加單調(diào)下降，下降的速度與階數(shù)N有關(guān)。隨著N增大，幅度下降的速度越快，過渡帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于1，在阻帶內(nèi)迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形頻率特性。不管N的取值是多少，都經(jīng)過點。

23幅度平方函數(shù)的極點分布幅度平方函數(shù)有2N個極點這2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是/Nrad。這些極點以虛軸為對稱軸，而且不會落在虛軸上。當N是奇數(shù)時，實軸上有兩個極點；當N是偶數(shù)時，實軸沒有極點。

返回24三階巴特沃斯濾波器極點分布圖25Ha(s)的表達式為了保證所設(shè)計的濾波器是穩(wěn)定的，將s平面左半平面的N個極點分配給Ha(s)，而將右半平面的N個極點分配給Ha(-s)

26頻率歸一化將所有的頻率對Ωc歸一化，歸一化頻率：歸一化的幅度平方函數(shù)為：27模擬巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計步驟

由給定的設(shè)計指標Ωp、αp、Ωs和αs確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率Ωc。返回28求濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構(gòu)成Ha(s)。幅度平方函數(shù)極點為：將s平面左半平面的N個極點分配給Ha(s)

下頁舉例29例6-1導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc＝2rad/s。解幅度平方函數(shù)是令Ω2=-s2即s=jΩ，則有各極點滿足式（5-10）k=1,2,…,630而按要求，前面三個sk（k=1,2,3）就是Ha(s)的極點。所給出的六個sk為:由s1,s2,s3三個極點構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為31例6-2設(shè)計一個滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器：(1)通帶截止頻率：Ωp=0.2π；通帶最大衰減：ap=7dB。(2)阻帶截止頻率：Ωs=0.3π；阻帶最小衰減：as=16dB。解為了準確在Ωp滿足指標要求，可式子得32為了準確在ΩS滿足指標要求，可得現(xiàn)在在上面兩個數(shù)之間可任選Ωc值?，F(xiàn)選Ωc=0.5，這樣就必須設(shè)計一個N=3和Ωc=0.5的巴特沃思濾波器，模擬濾波器Ha(s)的設(shè)計類似于上例6-1；也可以查表（P157）（p=s/Ωc）最后可得33切比雪夫濾波器的設(shè)計方法切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型濾波器；在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型濾波器。34切比雪夫多項式

N

為切比雪夫多項式的階數(shù)切比雪夫多項式的遞推公式35不同N值的切比雪夫多項式的曲線

切比雪夫多項式的零點在區(qū)間內(nèi)；當時，曲線具有等紋波特性；當時，曲線按雙曲余弦函數(shù)單調(diào)上升。

36切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)

ε是小于1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內(nèi)紋波大小的一個參數(shù)，ε愈大，紋波也愈大。Ωp稱為有效通帶截止頻率。頻率通常對Ωp歸一化，

37切比雪夫濾波器的幅頻特性去4138在通帶內(nèi)，在1和之間起伏變化；在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；當N為奇數(shù)時，濾波器在處的幅度響應(yīng)為1；當N為偶數(shù)時，濾波器在處的幅度響應(yīng)為。當時，

39ε的確定設(shè)允許的通帶紋波為δ，那么

40階數(shù)N的確定41切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)的極點

其中42極點分布2N個等角度間隔（間隔為/N）分布在為長半軸，為短半軸的橢圓上的點。

43切比雪夫濾波器的傳輸函數(shù)

系數(shù)A由s=0時濾波器幅度響應(yīng)的值確定:當N為奇數(shù)時，當N為偶數(shù)時，

44切比雪夫低通濾波器的設(shè)計步驟

由給定的設(shè)計指標確定切比雪夫濾波器的參數(shù)ε、N和Ωp45求濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構(gòu)成Ha(s)。466.3.2脈沖響應(yīng)不變法從模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器就是按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將s平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)換成z平面上的H(z)。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法47脈沖響應(yīng)不變法使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)與相應(yīng)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)的取樣值完全一樣

4849s平面到z平面的映射關(guān)系

SZ穩(wěn)定左半平面單位園內(nèi)虛軸單位園50s平面到z平面的映射關(guān)系

s平面上每一條寬為2/T的橫帶重復(fù)地映射到整個z平面上每一橫條的左半部分映射到z平面的單位圓以內(nèi)右半部分映射到z平面的單位圓以外s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上虛軸上每一段長為的線段2/T都映射到z平面單位圓上一周。51例6.3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試利用脈沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解將Ha(s)展開成部分分式得用代換得到52取T=1，得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為53優(yōu)缺點從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。54脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。由P44可見混疊55混疊原因566.3.3雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法將整個s平面壓縮變換到s1平面/T之間的一條橫帶里;然后再用將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面到z平面是一一映射的關(guān)系，從而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。57雙線性變換法的映射關(guān)系

即:58非線性頻率壓縮

雙線性變換的映射關(guān)系59z平面的ω與s平面的Ω之間呈非線性關(guān)系。這種非線性關(guān)系導(dǎo)致雙線性變換法的頻率標度的非線性失真，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真地模仿模擬濾波器的頻響。60例6.4已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為采用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)T=2s解將式(6.38)代入Ha(s)可得61優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（5-45）所示，重寫如下：上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖6-13所示。62由圖6-13看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。63圖6-13雙線性變換法的頻率變換關(guān)系64需要特別強調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器；若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器;若為帶通、帶阻濾波器也是如此。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好;而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。65例6-5設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.25π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。解數(shù)字低通濾波器的截止頻率為ωc=0.25π，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是Ωc，就有模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為66將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。67例6-6用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為解首先，確定數(shù)字域截止頻率ωc=2πfcT=0.5π。第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式（6-46），確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率68第三步，將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)69應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個中間變換階段。圖6-16給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在Ωc=∞處的三階傳輸零點通過映射形成的。70圖6-16用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響716.3.4數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計方法

數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計方法

模擬原型低通濾波器模擬（高通、帶通或帶阻）濾波器數(shù)字（高通、帶通或帶阻）濾波器頻率變換脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法模擬原型低通濾波器數(shù)字低通濾波器數(shù)字（高通、帶通或帶阻）濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法頻率變換ToP8272模擬低通到模擬高通的變換

設(shè)λ為低通濾波器歸一化頻率，p=jλ，η為高通濾波器歸一化頻率，q=jη，73模擬低通到模擬高通的頻率變換關(guān)系：模擬低通到模擬高通的系統(tǒng)函數(shù)映射關(guān)系為：模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

74模擬低通到模擬帶通的變換

Ωsl：下阻帶上限頻率Ω1：通帶下限Ω3：通帶上限Ωsh：上阻帶下限頻率B=Ω3-Ω1:帶通濾波器的帶寬，并以此作為參考頻率對軸Ω作歸一化處理75通帶中心頻率歸一化中心頻率

76模擬低通到模擬帶通的頻率變換關(guān)系

η和λ的對應(yīng)關(guān)系：

77模擬低通到模擬帶通的頻率變換關(guān)系

模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

78模擬低通到模擬帶阻的變換

Ω1：通帶下限Ω3：通帶上限Ωsl：阻帶下限Ωsh：阻帶上限B=Ω3-Ω1:阻帶帶寬，并以此作為參考頻率對軸Ω作歸一化處理

79通帶中心頻率歸一化中心頻率80η和λ的對應(yīng)關(guān)系：

81模擬低通到模擬帶阻的頻率變換關(guān)系

模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:

82由模擬低通原型濾波器設(shè)計數(shù)字帶通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計步驟：將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標。利用頻率變換關(guān)系將模擬濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。設(shè)計模擬低通濾波器。將模擬低通濾波器通過頻率變換法，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。

83例6.7設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶下限頻率，阻帶上限頻率為，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于15dB。解數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標為模擬高通濾波器的技術(shù)指標，取T=184對p歸一化，模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計歸一化模擬低通濾波器85取N=2，歸一化模擬低通濾波器為去歸一化，將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通86用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通876.4IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計頻率最小均方誤差設(shè)計時域直接設(shè)計

886.4.1頻率最小均方誤差設(shè)計理想濾波器的頻率響應(yīng)：Hd(ejω)設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)：H(ejω)

頻率最小均方誤差設(shè)計方法就是尋找濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)，使最小89設(shè)濾波器的頻率響應(yīng)為：那么

共有（4N+1）個待定系數(shù)設(shè)90取E對每一個參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令這些導(dǎo)數(shù)為零，得到4N+1個方程Top899192對極點的修正在設(shè)計過程中，對系數(shù)函數(shù)零極點位置未給任何約束，零極點可能在單位圓內(nèi)，也可能在單位圓外。由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，零極點均以共軛成對的形式存在。如果極點在單位圓外，那么濾波器不是因果穩(wěn)定的，因此需要對這些單位圓外的極點進行修正。93如果將極點z1和它的共軛極點均以其倒數(shù)和代替后，幅度特性的形狀不變化，僅是幅度的增益變化了。設(shè)z1為極點極點位置重新分配后，濾波器就變成因果穩(wěn)定的。

946.4.2IIR數(shù)字濾波器的時域直接設(shè)計設(shè)希望設(shè)計的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，時域設(shè)計法是設(shè)計一個IIR數(shù)字濾波器，使它的單位脈沖響應(yīng)h(n)逼近hd(n).時域直接設(shè)計法是尋找M+N-1個系數(shù)ai、bi，使得在范圍內(nèi)，使h(n)逼近hd(n)。設(shè)濾波器是因果性的，其系統(tǒng)函數(shù)為95求解上述方程，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)令Z同冪次系數(shù)相等，則Top9396波形形成濾波器

設(shè)x(n)為給定的輸入信號，yd(n)為希望的輸出信號，x(n)和yd(n)長度分別為M和N，實際的濾波器輸出為y(n)97取E對h(n)的偏導(dǎo)為0求解上式得H(z)的系數(shù)h(n)，然后求出ai和bi得到986.5IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換

996.5.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計Matlab函數(shù)butter和cheby1可以確定Butterworth和ChebyshevI型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為100函數(shù)butter的調(diào)用格式

函數(shù)butter的調(diào)用格式為>>[b,a]=butter(n,Wc,)%設(shè)計數(shù)字Butterworth濾波器>>[b,a]=butter(n,Wc,'ftype')%設(shè)計模擬Butterworth濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Wc為截止頻率。101函數(shù)cheby1的調(diào)用格式

函數(shù)cheby1的調(diào)用格式為>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)%設(shè)計數(shù)字Chebyshev濾波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,'ftype')%設(shè)計模擬Chebyshev濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Rp為通帶內(nèi)的紋波系數(shù)，Wc為截止頻率。102例：設(shè)計butterworth低通濾波器

例6.8設(shè)計一模擬butterworth低通濾波器，通帶截止頻率300Hz