第十一章-曲線積分及曲面積分習(xí)-1

教學(xué)要求典型例題第十一章曲線積分與曲面積分1.理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.2.會(huì)計(jì)算兩類曲線積分.一、教學(xué)要求3.掌握格林(Green)公式,會(huì)使用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.4.了解兩類曲面積分的概念及高斯Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式,并會(huì)計(jì)算兩類曲面積分.1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終(一)曲線積分的計(jì)算法(1)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(2)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(3)利用斯托克斯公式;(4)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式*.2.基本技巧1.基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面(二)曲線面積分的計(jì)算法P,Q,R以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下,考慮通過(guò)投影化為二重積分處理.2.基本技巧(1)利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化3.典型例題P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),用高斯公式.

解用參數(shù)方程,則L:P246總習(xí)題十一3(1)例1計(jì)算其中L為圓周x2+y2=ax.

(0t2).020xya

t

=2a2.二、典型例題

解2利用極坐標(biāo)方程L:

=acos,

P246總習(xí)題十一3(1)例1計(jì)算其中L為圓周x2+y2=ax.

0xyacos=a2=2a2.a

例2

計(jì)算其中為曲線解因的方程中的x,y,z的地位完全對(duì)稱,利用輪換對(duì)稱性,有L關(guān)于xOz軸平面對(duì)稱,

y是L上關(guān)于y的奇函數(shù)0或a解1xy0L例3計(jì)算其中L是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,a為半徑的上半圓周.x=acos,y=asin(0

),Γ的參數(shù)式方程為:0[a2

cos2

?asin

)(?asin

)+(a2

sin2

?acos

)acos]dB(a,0)解2L+ABxy0DABL例3計(jì)算其中L是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,a為半徑的上半圓周.A(a,0)(x2y)dx+(y

2x)dyaax2

dx解3由(x2y)y=1知曲線積分與路徑無(wú)關(guān),(x2y)dx+(y

2x)dyBAaax2

dx利用格林公式.添加輔助線AB如圖,PQ=(y2x)y,所以例4計(jì)算曲線積分,其中且取正向.Oxy當(dāng)x2+y20時(shí)

,解L在D內(nèi)作圓周l:x2+y2=1,取逆時(shí)針?lè)较?l=2.由格林公式,有D=021D1例4計(jì)算曲線積分,其中且取正向.Oxy令x=2cos

,解Ly=sin,此定積分計(jì)算很復(fù)雜.02,21L閉曲線所圍成的區(qū)域D內(nèi)包含奇點(diǎn)O(0,0),不能直接用格林公式.構(gòu)造適當(dāng)?shù)拈]曲線l挖去奇點(diǎn).要求l上曲線積分易算.解z=cos+sin,x=cos,(:02

),則02[cos

(cos

+sin)+cos

cos取L的參數(shù)方程:

y=sin,02(sin

+cos)]d2011年數(shù)一例5設(shè)L是柱面x2+y2=1與平面z=x+y的交線,從z軸正方向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?則曲線積分=________.(sin

)0(sin

)]d=

.解P246總習(xí)題十一3(6)例6計(jì)算其中由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得,從z軸正方向看沿逆時(shí)針?lè)较?在上有x2+2y2=1,故(0t2

).x=cost02例7

計(jì)算曲面積分其中,解:x2+y2+z2=R2

取外側(cè).=4.利用高斯公式,有解2dxdyx2+y2R2

d=4.zdxdyx2+y2R2

利用對(duì)稱性,有解由高斯公式有P246總習(xí)題十一4(3)例8計(jì)算曲面積分其中

為半球面的上側(cè).補(bǔ)1={(x,y,z)|z=0,

x2+y2R2

},取下側(cè),+1構(gòu)成封閉曲面,記所圍區(qū)域?yàn)?1xdydz+ydzdx+zdxdy3dxdydzxdydz+ydzdx+zdxdy=2

R3

.例9計(jì)算曲面積分其中為錐面z=(0zh)的外側(cè).解作的輔助面1={(x,y,z)|z=h(h>0),

x2+y2h2

},取上側(cè),+1構(gòu)成封閉曲面,記所圍區(qū)域?yàn)?利用高斯公式,有(y2z)dydz+(z2x)dzdx+(x2y)dxdy0dxdydzx2+y2h2

0(x2y)dxdyh002

d2P246總習(xí)題十一4(2)(x2y)dxdyx2+y2h2

x2dxdy解例10計(jì)算曲面積分其中為錐面z=被平面z=1,z=2所截部分的外側(cè).12作的輔助面1:

z=2,

x2+y24,取上側(cè),2:z=1,

x2+y2

1,取下側(cè),+1+2構(gòu)成封閉曲面,記所圍區(qū)域?yàn)?利用高斯公式,有ydydzxdzdx+z2dxdy+1+21+22zdxdydz4dxdydxdyzdzx2+y24

dxdy12x2+y21

dxdyzz2dz15解2例10計(jì)算曲面積分其中為錐面z=被平面z=1,z=2所截部分的外側(cè).(yzx+z2]dxdyxzy=

(x2+y2)dxdy1x2+y24

題設(shè)中的側(cè)與(zx,zy,1)相反取“”號(hào).其中C曲線是從z軸正向看,C的方向是為順時(shí)針的.解例11

計(jì)算曲線積分Cz=2cos+sin,x=cos,(:20),則02[(2cos)(sin)+(2+2cos

sin)cos[1+2(sin

+cos)4cos2]d取C的參數(shù)方程=2

.

y=sin,02+(cos

sin

)(sin+cos)]d=2

1997年數(shù)一解例12計(jì)算曲面積分其中S是由曲面x2+y2=R2與兩平面z=R,z=R(R>0)所圍成立體表面的外側(cè).1996數(shù)1xy

z0RRS1S2S3+x2+y2r2x2+y2r2平面S1:z=R(上側(cè)),

S2:z=R(下側(cè)),S3:

x2+y2=R2(外側(cè)).

解xy

z0

rrS1S2S3=8r2例12計(jì)算曲面積分其中S是由曲面x2+y2=R2與兩平面z=R,z=R(R>0)所圍成立體表面的外側(cè).其中是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解

利用對(duì)稱性.原式的頂部

取上側(cè)的底部

取下側(cè)例13

計(jì)算=3a3.1Σ2解例14計(jì)算其中為球面x2+y2+z2=a2被平面直線x+y+z=0所截的圓周.

于是因的方程中的x,y,z的地位完全對(duì)稱,所以解P246總習(xí)題十一3(5)例15計(jì)算曲線積分其中L為上半圓周(xa)2+y2=a2(y0),沿逆時(shí)針?lè)较?xy0LAD(exsiny2y)dx+(excosy2)dy利用格林公式.0dx(excosyexcosy+2)dxdy=a2.

dxdy注: