第15章 利率選擇權(quán)

利率選擇權(quán)第十五章

1交易所推出之利率選擇權(quán)以現(xiàn)貨為標(biāo)的物的商品則稱之為「利率選擇權(quán)」，此類商品乃由CBOE於1989年率先推出，以美國(guó)政府短、中、長(zhǎng)期公債之殖利率為標(biāo)的物，分為最近標(biāo)售之十三週國(guó)庫券利率選擇權(quán)(IRX)、五年期公債利率選擇權(quán)(FVX)、十年期公債利率選擇權(quán)(TNX)及三十年期公債利率選擇權(quán)(TYX)等。2以利率期貨為標(biāo)的物，稱之為「利率期貨選擇權(quán)」。CBOT在1982年首先推出「長(zhǎng)期政府公債期貨選擇權(quán)合約」，之後又陸續(xù)推出以10年期、5年期等中期政府公債期貨為標(biāo)的物的合約，而CME所推出的歐洲美元期貨選擇權(quán)亦是知名的商品之一。由於標(biāo)的物本身之交易量較大，以及便於避險(xiǎn)操作等等的因素，一直以來「利率期貨選擇權(quán)」較受到市場(chǎng)投資人的青睞，其交易量大於「利率選擇權(quán)」的交易量。

3「利率選擇權(quán)」合約中，因?yàn)槠錁?biāo)的物乃為政府債券的貼現(xiàn)率或有效利率，因此在履約價(jià)格及權(quán)利金的報(bào)價(jià)上，亦是以利率的方式來表示。「利率期貨選擇權(quán)」的履約價(jià)格及權(quán)利金報(bào)價(jià)乃是以期貨契約面額的百分比來表示。4OTC市場(chǎng)之利率選擇權(quán)簡(jiǎn)單型利率選擇權(quán)(PlainVanillaInterestRateOptions)

利率上限及利率下限(InterestRateCaps;InterestRateFloors)

利率上下限(InterestRateCollars)

利率交換選擇權(quán)(Swaptions)

5簡(jiǎn)單型利率選擇權(quán)

利率買權(quán)於標(biāo)的利率到期日的報(bào)酬型態(tài)可以表達(dá)成：上式中T為標(biāo)的利率之到期期限，例如標(biāo)的利率若為三個(gè)月LIBOR，則T等於90天。6【例15-1】

某公司買進(jìn)一名目本金為1,000萬美元，到期期限一個(gè)月，標(biāo)的利率為90天期之LIBOR，履約利率為3%之利率買權(quán)，則一個(gè)月後若90天期之LIBOR上升為4%，那麼該公司於標(biāo)的利率到期日(距今天120天)可以獲利多少金額？

【解】利用上式，我們可以求得該公司於120天後可以獲利$10,000,000×Max(4%-3%,0)×90/360=$25,000

7利率上限（下限）

利率上限實(shí)際上是由一連串相同履約利率的歐式利率買權(quán)所構(gòu)成，而這一連串的歐式利率買權(quán)的資產(chǎn)組合，其到期期限是相接連的。一個(gè)到期限等於T的利率上限，假設(shè)其名目本金為A，上限利率為rc，此一利率上限共分為n個(gè)子期，每一子期的時(shí)間長(zhǎng)度為Δt，並以ti代表i個(gè)子期間的開始，且以ri代表在i個(gè)子期間開始時(shí)的利率水準(zhǔn)，則每一個(gè)caplet(單期之利率上限)的執(zhí)行價(jià)值為8依市場(chǎng)慣例，caplet之執(zhí)行利得是在該期的期末才支付。

以一個(gè)子期為半年的二年期利率上限為例，在各子期所包含的caplet可以下圖表示

00.511.52CapletCapletCaplet圖：一個(gè)二年期利率上限(Cap)所含之Caplet(子期間為半年)9【例15-2】

假設(shè)某一二年期之利率上限，其名目本金為$10,000,000，上限利率訂為3%，在半年後市場(chǎng)利率若為3.5%，則此一利率上限之買方執(zhí)行第一個(gè)caplet，其獲利為多少？【解】利率上限之買方執(zhí)行第一個(gè)caplet可以獲得的利潤(rùn)為$10,000,000×Max(3.5%-3%,0)×0.5=$25,00010利率上下限

利率上下限是由利率上限和利率下限組合而成，一般指的是同時(shí)買進(jìn)一個(gè)利率上限和賣出一個(gè)利率下限，或者是同時(shí)賣出一個(gè)利率上限和買進(jìn)一個(gè)利率下限。

11利率交換選擇權(quán)

利率交換選擇權(quán)其交易標(biāo)的為利率交換合約。付固定利率之利率交換選擇權(quán)賦給買方在未來一定期限內(nèi)買進(jìn)付固定利率、收浮動(dòng)利率之利率交換合約的權(quán)利。收固定利率之利率交換選擇權(quán)則賦給買方在未來一定期限內(nèi)買進(jìn)收固定利率、付浮動(dòng)利率之利率交換合約的權(quán)利。12BlackModel(1976)

在風(fēng)險(xiǎn)中立之下可以將商品期貨(遠(yuǎn)期合約)之動(dòng)態(tài)過程表達(dá)如下：其中F為到期日T之標(biāo)的期貨(遠(yuǎn)期)合約價(jià)格。以期貨(遠(yuǎn)期)合約價(jià)格為標(biāo)的之瞬間期望報(bào)酬等於零的原因，在於期貨(遠(yuǎn)期)合約價(jià)格本身即符合平睹過程，且在交易時(shí)並不需要支付任何成本之故。13利用十二章附錄12-C的定理，令代入，即可以得到Black模型之買權(quán)、賣權(quán)價(jià)格分別為：其中14債券選擇權(quán)之訂價(jià)假設(shè)標(biāo)的債券目前的價(jià)格為B，該債券在選擇權(quán)到期時(shí)所支付的利息現(xiàn)值為I，而選擇權(quán)的到期期限為T，市場(chǎng)之年化利率為r，則以連續(xù)時(shí)間所表示於時(shí)點(diǎn)T之債券遠(yuǎn)期價(jià)格(F)為：

15上式中的B值是指含息的債券債格，而非其市場(chǎng)報(bào)價(jià)。如果把Black模型用來評(píng)價(jià)債券期貨選擇權(quán)，該選擇權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)為債券期貨，而且我們必須假設(shè)債券期貨價(jià)格遵循對(duì)數(shù)常態(tài)分配，由於債券期貨價(jià)格並不包括應(yīng)計(jì)利息，因此Black模型中之F值可以直接以市埸上債券期貨交易價(jià)格代入即可。

16【例15-3】

假設(shè)一個(gè)面額$1,000，到期期限為五年九個(gè)月的債券，其目前的債券含息價(jià)格為$950。此一債券的票面利率為3%，每年付息乙次，而現(xiàn)在距付息日還有九個(gè)月，又假設(shè)有一張以此債券為標(biāo)的資產(chǎn)的一年期買權(quán)，其履約價(jià)格為$950(不含應(yīng)計(jì)利息)，如果目前市埸中九個(gè)月和一年期之即期利率分別為4%和4.2%，而該債券在一年後的遠(yuǎn)期價(jià)格年波動(dòng)率為20%，則此一債券買權(quán)的權(quán)利金應(yīng)為多少？17計(jì)算該債券在選擇權(quán)有效期間的應(yīng)計(jì)利息現(xiàn)值(I)

3%×$1,000×e-0.04×0.75=$29.11

計(jì)算一年後的遠(yuǎn)期債券價(jià)格F=e0.042×1($950-$29.11)=$960.39

計(jì)算選擇權(quán)到期日之含息的履約價(jià)格$950+$30/4=$957.518計(jì)算出d1和d2的值各為

所以此一債券買權(quán)的權(quán)利金應(yīng)為19利率上限（下限）之訂價(jià)

一個(gè)利率上限是由一連串caplet所組成，而一個(gè)利率下限是由一連串floorlet所組成，所以要對(duì)利率上限、下限評(píng)價(jià)，則必須先對(duì)各別的caplet及floorlet加以評(píng)價(jià)，然後再將其值相加。

20假設(shè)一個(gè)在時(shí)點(diǎn)t1開始，到期日為時(shí)點(diǎn)t2的caplet(t1和t2皆是以年為單位)，△t為t1到t2的時(shí)間長(zhǎng)度，rc代表其利率上限(履約利率)，r(t2)為市場(chǎng)上t2年即期殖利率，A為該caplet的名目本金。而現(xiàn)在市埸中時(shí)點(diǎn)t1開始到期日為時(shí)點(diǎn)t2的遠(yuǎn)期利率為f(t1,t2)就是此一利率上限的標(biāo)的利率，則利用Black模型來評(píng)價(jià)該caplet時(shí)，我們必須假設(shè)f(t1,t2)遵循對(duì)數(shù)常態(tài)分配，如此該caplet的評(píng)價(jià)公式可以表達(dá)如下式：21其中契約內(nèi)容和caplet一模一樣的floorlet(rc=rf(下限利率))22【例15-4】

假設(shè)一個(gè)名目本金(A)為$1,000的兩年期利率上限選擇權(quán)，其上限利率rc=5.5%，且其每一子期的時(shí)間長(zhǎng)度為半年，其執(zhí)行的時(shí)點(diǎn)分別距離現(xiàn)在各為0.5年、1年和1.5年。假設(shè)市埸上的即期殖利率曲線上0.5年、1年、1.5年和2年的殖利率各為4%、4.5%、5%和5.5%。且遠(yuǎn)期利率之年化波動(dòng)度為15%，則此一利率上限選擇權(quán)的權(quán)利金應(yīng)為多少？

23【解】

計(jì)算出各個(gè)caplet之標(biāo)的遠(yuǎn)期利率，其值計(jì)算如下：計(jì)算半年後執(zhí)行之caplet價(jià)值所需輸入之d1和d2

24所以半年後執(zhí)行之caplet價(jià)值計(jì)算如下：同理，一年後及一年半後執(zhí)行之caplet價(jià)值各為$3.0395和$7.0021，故該利率上限的權(quán)利金應(yīng)為$0.2703+$3.0395+$7.0021=$10.3119。

25利率交換選擇權(quán)之訂價(jià)

考慮某一名目本金為A之付固定交換選擇權(quán)，而該選擇權(quán)之到期期限為T(以年為單位)，而標(biāo)的利率交換合約的期限為n年，交換利息流量的頻率為每年m次，且所約定的固定利率(交換利率)為rs。

交換選擇權(quán)之標(biāo)的資產(chǎn)為一遠(yuǎn)期利率交換合約，且其所隱含的假設(shè)是交換利率在選擇權(quán)之到期日遵循對(duì)數(shù)常態(tài)分配。26應(yīng)用Black模型對(duì)上述之付固定交換選擇權(quán)訂價(jià)時(shí)，其每一期交換利息流量的獲利所設(shè)算出來的權(quán)利金可以下式表達(dá)：其中f值代表遠(yuǎn)期交換利率，且27整個(gè)交換選擇權(quán)的價(jià)值為各期(n期)所計(jì)算之權(quán)利金之總和，以下式表達(dá)：同理，收固定交換選擇權(quán)的價(jià)值為各期(n期)所計(jì)算之權(quán)利金之總和，以下式表達(dá)：28【例15-5】

假設(shè)一個(gè)名目本金(A)為$1,000的付固定利率交換選擇權(quán)，其到期期限為兩年，且標(biāo)的利率交換期間為三年，每年交換一次利息，而交換利率訂定為5.4%。且遠(yuǎn)期交換利率之年化波動(dòng)度為20%。市埸即期利率曲線為一水平曲線，其利率水準(zhǔn)等於6%，則此一付固定利率交換的權(quán)利金應(yīng)為多少？29【解】

市埸即期利率曲線為一水平曲線，其利率水準(zhǔn)等於6%，故f值也等於6%，如此我們即可以計(jì)算出d1和d2如下：30分別計(jì)算出三期之權(quán)利金各為因此該付固定利率交換的權(quán)利金應(yīng)為$8.2+$7.7+$7.3=$23.231Black-Derman-ToyModel(1991)

Black-Derman-Toy二項(xiàng)式利率模型，假設(shè)利率水準(zhǔn)服從對(duì)數(shù)常態(tài)分配，利率上漲或下趺的機(jī)率皆等於0.5。利率有一個(gè)確定的波動(dòng)度(σ(t))，而且在任何時(shí)點(diǎn)t+Δ下列關(guān)係將成立

32上式可以改寫成

利用上式之關(guān)係式，我們可以將利率走勢(shì)以下圖表達(dá)：

r2r1e2σr1r0t=0t=1t=2r2e4σr2e2σ33二項(xiàng)式利率樹中每一結(jié)點(diǎn)之債券價(jià)格

上圖中VH代表下一期利率上升時(shí)所對(duì)應(yīng)的不含息之債券價(jià)格，VL則代表下一期利率下跌時(shí)所對(duì)應(yīng)的不含息之債券價(jià)格，C為該債券所支付的票息，所以任何一個(gè)結(jié)點(diǎn)之債券價(jià)格，可以根據(jù)下列式子計(jì)算而得：

vr*vL+CvH+C34兩期利率樹建構(gòu)表:市埸政府債券資料

到期期限殖利率市埸價(jià)格1年3.50$1002年4.00$1003年4.50$100

35根據(jù)上述市埸政府債券資料我們可以求得下列之利率相關(guān)資訊：

到期期限即期利率遠(yuǎn)期利率1年3.503.5002年4.004.5023年4.505.50736首先我們先選定r1L的一個(gè)初始值，一般為了加速收斂我們會(huì)以表之f(1,2)值為參考值，假設(shè)我們讓r1L=4.5%。利用公式，可以計(jì)算r1H為

用表之二年期平價(jià)債券充當(dāng)熱門債券，並利用其於到期時(shí)之現(xiàn)金流量，以公式分別計(jì)算出當(dāng)利率分別為r1L=4.5%和r1H=5.496%時(shí)的未含息債券價(jià)格，分別為37債券現(xiàn)在的價(jià)格為和二年期之熱門債券的市價(jià)($100)相比較，兩者並不相等，故r1L=4.5%和r1H=5.496%並不滿足「無套利條件」。38我們必須再試r1L之其它初始值，直到所找出之故r1L和r1H能正確評(píng)價(jià)這一張二年期之熱門債券為止。經(jīng)由不斷地嘗試，可以找到r1L=4.074%和r1H=4.976%為正確的利率值，將其值以下圖表達(dá)如下：

v=100c=0r0

=3.50%v=99.071c=4.0r1,H=4.976%v=99.929c=4.0r1,L=4.074%v=100c=4.0r2,HH

=?v=100c=4.0r2,HL

=?v=100c=4.0r2,LL

=?39為了建構(gòu)一個(gè)兩期之二項(xiàng)式利率樹

，還需要再找一張三年期之熱門債券，假設(shè)表之三年期債券即為這一張三年期之熱門債券，則重覆上述步驟，即可以找出符合「無套利條件」之r2HH、r2HL和

r2LL值。有了二項(xiàng)式利率樹，就可以利用它來評(píng)價(jià)債券或利率選擇權(quán)。茲將整個(gè)二期之二項(xiàng)樹以下圖表達(dá)：

40v=100c=0r0=3.50%v=98.074c=4.50r1,H=4.976%v=99.926c=4.50r1,L=4.074%v=97.886c=4..5r2,HH=6.757%v=99.022c=4.5r2,HL=5.532%v=99.971c=4.5r2,LL=4.530%v=100c=4.5v=100c=4.5v=100c=4.5v=100c=4.5圖：完整之兩期二項(xiàng)式模型41【例15-6】

假設(shè)一個(gè)名目本金(A)為$1,000萬的歐式利率買權(quán)，其標(biāo)的利率為一年期之政府債券殖利率，且履約利率為4.5%，其到期期限為兩年，若以上圖之二期之二項(xiàng)式利率樹來對(duì)該選擇權(quán)加以評(píng)價(jià)，則其權(quán)利金應(yīng)為多少？

42【解】

步驟一：T＝2時(shí)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的現(xiàn)金流量1,000×max(6.757%-4.5%,0)=22.571,000×max(5.532%-4.5%,0)=10.321,000×max(4.53%-4.5%,0)=0.3步驟二：T＝1上每個(gè)結(jié)點(diǎn)之現(xiàn)金流量[22.57/(1+4.976%)+10.32/(1+4.976%)]×0.5=15.6655[10.32/(1+4.074%)+0