第10章 數(shù)字信號最佳接收

通信原理電子教案

第10章數(shù)字信號的最佳接收西北工業(yè)大學（2012.5）2/3/20231第10章數(shù)字信號的最佳接收本章主要研究在有干擾的條件下，對傳輸信號的最佳接收方法，并分析不同最佳準則構(gòu)成的最佳接收機及其性能。10.1引言10.2數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型10.3最大信噪比準則及匹配濾波器10.4最小錯誤概率準則及相關(guān)接收機

10.5二進制最佳接收機的抗噪聲性能10.6正交接收機-隨相信號的最佳接收10.7最佳數(shù)字傳輸系統(tǒng)

2/3/20232問題：一個信息傳輸系統(tǒng)的質(zhì)量在很大程度上取決于接收系統(tǒng)的性能，這是因為影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩兀ㄐ诺捞匦圆焕硐爰靶诺乐械脑肼暤龋⒅苯幼饔玫浇邮斩?，對信號接收產(chǎn)生影響，那么從接收角度，前面所講的各種通信系統(tǒng)是否是最好的呢？確切的回答這一問題涉及到通信理論中一個十分重要的問題——最佳接收或信號的最佳化問題。

10.1引言2/3/20233確切的回答這一問題涉及到通信理論中一個十分重要的問題——最佳接收或信號的最佳化問題。

最佳接收理論是以接收問題作為研究對象，研究從噪聲中如何最好地提取有用信號，最好或最佳并非一個絕對概念，它是在一個準則下說的一個相對的概念。

為了提高抗干擾性需要尋求在有干擾的條件下，對傳輸?shù)男盘柕淖罴呀邮辗椒?，對于不同類型的信號與干擾，有其不同的最佳接收方法，使用的場合不同，所用最佳準則也會不同。2/3/2023410.2數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計判決模型圖10-1數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計判決模型接收信號的性質(zhì)：接收端觀察到的接收波形為隨機波形。隨機性：①噪聲的隨機性；②發(fā)送信號的不確定性。方法：利用統(tǒng)計判決法獲得滿意的接收效果。2/3/202351.消息空間I

的統(tǒng)計描述參數(shù)I代表信源離散消息的所有可能取值：x1、x2、…xm。每個消息的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計特性，即每個消息符號的出現(xiàn)具有一定概率，其概率模型為：且等概時

p(x1)=p(x2)=???=p(xm)=1/m2/3/20236在數(shù)字通信中，發(fā)送端按照一定的映射方法在某一時刻按照一定的概率把代表m個消息的信號s1(t)，s2(t)，…sm(t)之一發(fā)送出去，可以用概率分布來描述：2.信號空間S的統(tǒng)計描述xi←→si，P(xi)←→P(si)，且P(si)=P(xi)

同樣：注：p(si)－－發(fā)送概率，也稱先驗概率，（10.2-1）2/3/20237信道中高斯白噪聲的k維概率分布為：

若限帶信道的截止頻率為f

H，理想抽樣頻率為2fH，則在(0,T)觀察時間內(nèi)有2fHT＝k個抽樣值，當K值很大時，在這個觀察時間(0,T)內(nèi)的平均功率為：3.噪聲空間n的統(tǒng)計描述統(tǒng)計獨立零均值正態(tài)分布2/3/20238有因此所以由結(jié)論：高斯噪聲的概率分布可以用k個隨機變量和時間函數(shù)分別描述。（10.2-6）2/3/20239接收端接收到的信號是發(fā)送信號si(t)和信道噪聲信號n(t)的疊加的混合信號，即：

x(t)=si(t)+n(t)

代入式（10.2-6）

得：發(fā)送si(t)情況下收到混合波形x(t)的概率分布，即條件概率分布函數(shù)，也稱似然函數(shù)：（10.2-8）4.觀察空間X的統(tǒng)計特性（10.2-6）似然？含義：表示x與si的相似程度。2/3/202310

根據(jù)信源和噪聲的統(tǒng)計特性，可確立一系列的最佳準則，其目的就是在有噪聲的環(huán)境下能夠?qū)π盘栠M行識別和判決。通信系統(tǒng)中最常用的最佳準則：

最小錯誤概率準則；最大似然準則；最大輸出信噪比準則。

(10.2-8)2/3/20231110.3

最大信噪比準則及匹配濾波器（MF）目的：尋求滿足最大輸出信噪比下的最佳線性濾波器。推導：考察：（10.3-7）設t0為MF輸出信噪比最大的時刻，輸出信噪比：－－MatchFilter2/3/202312利用許瓦茨不等式：（10.3-9）于是帕什瓦爾定理E－MF輸入信號總能量所以：若使：應當？？得到：滿足輸出信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。2/3/202313匹配濾波器的單位沖擊響應：MF的時域條件：h

(t)=si(t0-t)意義：h(t)是s(t)的鏡像函數(shù)，再平移－－時域匹配！對于因果系統(tǒng)：對于持續(xù)時間為T的輸入信號，t0

≥T，一般選t0=t0

min=T2/3/202314意義：MF的輸入信號s(t)必須在它獲取最大信噪比時刻t0之前結(jié)束！－－在輸出最大信噪比的t0時刻之前，輸入全部進入Filter，全部貢獻給輸出。

對于持續(xù)時間為T的輸入信號，有意義的t0選在信號終止時刻或之后，即

t0

≥T，一般選：2/3/202315MF的輸出波形：結(jié)論：匹配濾波器的輸出與輸入信號的自相關(guān)函數(shù)成正比。t=t0

=T問：匹配濾波器在什么時刻獲取最大輸出？

匹配濾波器輸出信號最大值：結(jié)論：●輸出信號的最大值僅與輸入信號的能量有關(guān)，與輸入信號波形無關(guān)；

●信噪比在T時刻最大，該時刻也就是整個信號進入匹配濾波器的時刻。2/3/202316例10.1

求對單個矩形脈沖匹配的MF的特性及輸出波形?可見：●輸出信號的最大振幅僅與輸入信號的能量有關(guān)； ●最大值發(fā)生在T=Tb時刻。2/3/202317例10.2求匹配濾波器的單位沖擊響應和輸出響應。解：2/3/202318二元信號的匹配濾波器接收機：10.3.2匹配濾波器形式的最佳接收機

接收機采用兩個匹配濾波器h1(t)和h2(t)，它們分別與s1(t)和s2(t)相匹配，接收機比較器根據(jù)上下兩支路信噪比大小的比較，判斷發(fā)送端發(fā)送的具體是s1(t)還是s2(t)

。對之前的接收機概念具有顛覆性！原理：匹配濾波器具有輸出信噪比最大的功能，因而可以按照最大信噪比準則構(gòu)成的最佳接收機。2/3/202319多元信號的匹配濾波器接收機：圖10.6多元信號的匹配濾波器結(jié)構(gòu)圖2/3/202320圖10-7

與匹配濾波器等效的相關(guān)器結(jié)構(gòu)結(jié)論：在t=Tb匹配濾波器的輸出與相關(guān)器的輸出是等效的。通常發(fā)送信號s(t)只在(0，Tb)時間有值，因而當匹配濾波器輸入信號為x(t)時，匹配濾波器的輸出響應為:在t=Tb判決時刻，有2/3/202321圖10-8與二元匹配濾波器等效的相關(guān)器結(jié)構(gòu)

圖10-9與M進制匹配濾波器等效的相關(guān)器結(jié)構(gòu)2/3/202322設發(fā)送二元信號s1(t)和s2(t)的先驗概率分別為P(s1)和P(s2)，接收到的信號波形就是含有噪聲的混合波形：

如何從含有噪聲的混合波形

x

(t)

中，正確判斷出發(fā)送信號s1(t)和s2(t)，是接收機的重要任務。10.4最小錯誤概率準則及相關(guān)接收機10.4.1最小錯誤概率準則由于信道噪聲的存在，發(fā)送信號不一定能得到正確的判決，從而造成誤碼。在數(shù)字通信系統(tǒng)中最直觀的最佳接收準則就是最小錯誤概率準則。2/3/202323若發(fā)送s1(t)和s2(t)時收到混合波形x(t)的概率分布分別為p(x/s1)和p(x/s2)，其曲線如圖10-10所示。則：發(fā)送s1(t)錯判為s2(t)的概率為：

發(fā)送s2(t)錯判為s1(t)的概率為：系統(tǒng)總的錯誤概率即誤碼率為：如何使系統(tǒng)的誤碼率最??？2/3/202324得最佳劃分點

x0，滿足：--最大似然比準則當P(S1)=P(S2)

時：--最大似然準則要使系統(tǒng)的誤碼率最小，令即由此得到滿足系統(tǒng)誤碼率最小的最佳判決準則即：接收到的混合波形x(t)的更像誰，就判為誰。2/3/202325推廣：對于M進制系統(tǒng)，假定發(fā)送信號有M個，則最大似然準則：2/3/202326

10.4.2相關(guān)檢測式的最佳接收機判為s1，反之判為s2。依據(jù)：似然比準則1.似然概率p(x/s1)和p(x/s2)的確定：對于二元確定信號s1(t)和s2(t)，經(jīng)過高斯白噪聲信道傳輸后，接收到的混合信號為：根據(jù)式(10.2-8)，當分別發(fā)送s1(t)和s2(t)后，收到混合波形的概率分布，即似然概率分布函數(shù)和分別為：2/3/202327兩邊取對數(shù)則判為s1(t)，反之判為s2(t)。根據(jù)似然比準則，當P(s1)p(x/s1)>P(s2)p(x/s2)時，判為S1：整理得即（10.4-18'）2/3/202328二元相關(guān)式最佳接收機結(jié)構(gòu)：先驗等概時：（10.4-18'）2/3/202329等能量、等概時：可以看出：在高斯白噪聲條件下，采用最大信噪比準則和最小錯誤概率準則，最大似然準則所得到的最佳接收機，都可以用相關(guān)檢測式接收實現(xiàn)。所以說這三種準則下的最佳接收機在高斯白噪聲條件下是等效的。2/3/20233010.5最佳接收機的抗噪聲性能將

代入上面的不等式（錯判）成立的概率。P

(s2/s1)就是

條件下，使判決準則兩邊取對數(shù)并整理得：誤碼率：10.5.1二進制最佳接收機的性能分析

（10.2-8）（10.5-3）發(fā)s1(t)！2/3/202331令：因此P(s2/s1)就是使不等式成立的概率。其中：----高斯分布：均值、方差、曲線？（10.5-3）（10.5-5）2/3/202332同理可求得：其中所以：面積（10.5-10）（10.5-11）發(fā)s2(t)！于是（10.5-12）（10.5-13）2/3/202333其中其中（10.5-13）有（10.5-5）（10.5-12）令（10.5-9）（10.5-14）（10.5-16）（10.5-15）2/3/202334（10.5-14）（10.5-16）（10.5-15）結(jié)論：式（10.5.14）的兩項完全對稱。

Pe～P(s1)、P(s2)、n0/2、兩信號之差能量de函數(shù)，而與兩信號本身的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。2/3/202335討論－－Pe～P(s1)、P(s2)（誤碼率與先驗概率）的關(guān)系：（1）若則（2）若則結(jié)論：先驗等概時，Pe最大！事實上，先驗概率是不易確定的，故實際中常選等概假設，按減化設計最佳接收機結(jié)構(gòu)。此時，Pe=?2/3/20233610.5.2二進制確定信號的最佳形式考察其中：Eb1、Eb2分別是s1(t)、s2(t)在0≤t≤T內(nèi)的能量。等能量時（2PSK、2FSK），有設：n0一定，P(s1)=P(s2)

－－最壞情況，則現(xiàn)定義：互相關(guān)系數(shù)（10.5-14）----兩信號的平均能量2/3/202337顯然作變量代換歸一化了結(jié)論：誤碼率僅與信號的能量、噪聲功率譜及兩信號的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。2/3/202338討論：（1）若ρ=-1ρ=-1對應最佳信號形式：s1(t)=-s2(t)雙極性基帶信號；2PSK頻帶信號。（2）若ρ=0－－2ASK：

正交的2FSK：（3）若ρ=1：最大值，瞎猜的概率，通信無效。2/3/202339結(jié)論：最佳信號形式：2PSK（頻帶信號）、雙極性（基帶信號） 次之：2FSK（頻帶信號、單） 最次：2ASK（頻帶信號、單）結(jié)果類似于第6章結(jié)果。推廣－－多進制最佳接收：結(jié)構(gòu)：2/3/202340例10.3畫出匹配濾波器結(jié)構(gòu)，確定可能的輸出波形；寫出誤碼率表示式。其中2/3/202341可見：兩種接收機的誤碼率形式相同。名稱實際接收機最佳接收機備注相干2PSKh=Eb/n0;相鄰信噪比3dB。正交、隨相相干2FSK相干2ASK包檢2FSKr=Si/Ni10.5.3最佳接收機和普通接收機的性能比較2/3/202342實際接收機：結(jié)論：實際中，僅B>1/T情況發(fā)生，所以實際接收機性能劣于最佳接收機。最佳接收機：討論:若：則：實際的性能同于最佳的性能實際的性能劣于最佳的性能實際的性能優(yōu)于最佳的性能2/3/202343顯然在調(diào)制系統(tǒng)中帶寬至少為2RB！結(jié)論：在相同誤碼性能的情況下，最佳接收機所需要的Eb/n0比相干解調(diào)所需的信噪比至少低3dB。2/3/20234410.6隨相信號的最佳接收提出：用相關(guān)器組成的相關(guān)解調(diào)系統(tǒng)是一個相干接收機，誤碼性能優(yōu)于非相干解調(diào)，但要求互相關(guān)器的本地信號與輸入信號的載波嚴格同步，可是發(fā)送信號經(jīng)過無線信道傳輸后，由于信道參數(shù)的隨機變化，或多徑傳輸?shù)囊蛩?，造成接收端的輸入信號相位隨機變化,因此需要復雜的同步系統(tǒng)，下面介紹非相干接收系統(tǒng)。2/3/20234510.6.1最佳接收機結(jié)構(gòu)設：二進制隨相信號（幅、頻確知，相位隨機）且：s1(t)、s2(t)在持續(xù)時間0～T內(nèi)等能量：到達接收機輸入端波形：（10.6.1）式中：A、ω1、ω2確知;

隨機變量，在持續(xù)時間0～T內(nèi)，服從均勻分布：（10.6.2）（10.6.3）（10.6.6~7）2/3/202346采用最大似然規(guī)則【設P(s1)=P(s2)，先驗等概。隱含最壞情況】：先把φ1、φ2看做給定，得條件概率－－條件似然函數(shù)：對φ1、φ2進行統(tǒng)計平均－－邊際分布概念：（10.6.8）（10.6.9）（10.6.10）2/3/202347將比較：化為【將式（10.6.8）條件似然函數(shù)、（10.6.1）隨相信號s1(t)、s2(t)代入上式，運算復雜】結(jié)論：式中：注：據(jù)此可得隨相信號的最佳接收機結(jié)構(gòu)；

匹配濾波器形式用得著該公式?。?0.6.22）（10.6.20）2/3/202348（10.6.20）注：多進制隨相信號時結(jié)構(gòu)更復雜！→匹配濾波器形式結(jié)構(gòu)：10.6.2正交接收機2/3/202349先預支：期待：匹配濾波器！2/3/20235010.6.3.隨相信號最佳接收--匹配濾波器形式相位隨機－－匹配濾波器怎么選擇？設：有這樣一個濾波器，它與初相為0的信號si(t)=cosωit匹配，即沖激響應為：當y

(t)輸入時，該濾波器的輸出為【以h1(t)為例】：2/3/202351書：(10.6-20)據(jù)此，可構(gòu)建匹配濾波器形式的最佳接收機結(jié)構(gòu)：可見：當t=T時，e1(t)的包絡恰好同于前面分析中的參量M1。同理：e2(t)

←→M2。2/3/202352匹配濾波器形式的最佳接收機結(jié)構(gòu)：顯然它和正交接收機一樣都是非相干接收機2/3/202353它與2FSK匹配接收機等價，即：利用2FSK非相干(包絡檢波器)P

e的結(jié)論，并且將替代得：2/3/20235410.7最佳數(shù)字傳輸系統(tǒng)10.7.1最佳基帶傳輸系統(tǒng)的概念已學：信號最佳接收機原理但：接收系統(tǒng)的最佳化并不等于整個通信系統(tǒng)的最佳化任務：如何設計一個最佳通信系統(tǒng)。選擇對象：基帶系統(tǒng)。原因：

●主要意圖是想建立系統(tǒng)最佳化的概念及一般設計方法，不必使問題過于復雜； ●基帶系統(tǒng)在數(shù)字通信中有重要的代表性，討論結(jié)果帶有一定的普遍性。最佳：準則依然采用Pe→Pemin。最佳基帶系統(tǒng)的定義：