抽樣與參數(shù)估計(jì)

第4章抽樣與參數(shù)估計(jì)4.1

抽樣與抽樣分布4.2參數(shù)估計(jì)的基本方法4.3總體均值的區(qū)間估計(jì)4.4總體比例的的區(qū)間估計(jì)4.5樣本容量的確定parameterestimation學(xué)習(xí)目標(biāo)抽樣方法與抽樣分布估計(jì)量與估計(jì)值的概念點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別總體均值的區(qū)間估計(jì)方法總體比例的區(qū)間估計(jì)方法樣本容量的確定方法統(tǒng)計(jì)應(yīng)用

一次失敗的民意調(diào)查在1936年的美國總統(tǒng)選舉前，一份名為LiteraryDigest

雜志進(jìn)行了一次民意調(diào)查。調(diào)查的焦點(diǎn)是誰將成為下一屆總統(tǒng)—是挑戰(zhàn)者，堪薩斯州州長AlfLandon，還是現(xiàn)任總統(tǒng)FranklinDelanoRoosevelt為了解選民意向，民意調(diào)查專家們根據(jù)電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了簡(jiǎn)單的調(diào)查表(電話和汽車在1936年并不像現(xiàn)在那樣普及，但是這些名單比較容易得到)。盡管發(fā)出的調(diào)查表大約有一千萬張，但收回的比例并不高。在收回的調(diào)查表中，AlfLandon非常受歡迎。于是該雜志預(yù)測(cè)Landon將贏得選舉。但事實(shí)上是FranklinRoosevelt贏得了這次選舉調(diào)查失敗的主要原因是抽樣框出現(xiàn)了問題。在經(jīng)濟(jì)大蕭條時(shí)期由于電話和汽車并不普及，只是富裕階層才會(huì)擁有，調(diào)查有電話和汽車的人們，并不能夠反映全體選民的觀點(diǎn)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)4.1抽樣與抽樣分布

4.1.1概率抽樣方法

4.1.2抽樣分布第4章抽樣與參數(shù)估計(jì)4.1.1概率抽樣方法4.1抽樣與抽樣分布概率抽樣

(probabilitysampling)也稱隨機(jī)抽樣特點(diǎn)按一定的概率以隨機(jī)原則抽取樣本抽取樣本時(shí)使每個(gè)單位都有一定的機(jī)會(huì)被抽中每個(gè)單位被抽中的概率是已知的，或是可以計(jì)算出來的當(dāng)用樣本對(duì)總體目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要考慮到每個(gè)樣本單位被抽中的概率簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(simplerandomsampling)從總體N個(gè)單位中隨機(jī)地抽取n個(gè)單位作為樣本，每個(gè)單位入抽樣本的概率是相等的最基本的抽樣方法，是其它抽樣方法的基礎(chǔ)特點(diǎn)簡(jiǎn)單、直觀，在抽樣框完整時(shí)，可直接從中抽取樣本用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)比較方便局限性當(dāng)N很大時(shí)，不易構(gòu)造抽樣框抽出的單位很分散，給實(shí)施調(diào)查增加了困難沒有利用其它輔助信息以提高估計(jì)的效率分層抽樣

(stratifiedsampling)將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層，然后從不同的層中獨(dú)立、隨機(jī)地抽取樣本優(yōu)點(diǎn)保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)比較相近，從而提高估計(jì)的精度組織實(shí)施調(diào)查方便既可以對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，也可以對(duì)各層的目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)系統(tǒng)抽樣

(systematicsampling)將總體中的所有單位(抽樣單位)按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)單位作為初始單位，然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其它樣本單位先從數(shù)字1到k之間隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字r作為初始單位，以后依次取r+k，r+2k…等單位優(yōu)點(diǎn)：操作簡(jiǎn)便，可提高估計(jì)的精度缺點(diǎn)：對(duì)估計(jì)量方差的估計(jì)比較困難整群抽樣

(clustersampling)將總體中若干個(gè)單位合并為組(群),抽樣時(shí)直接抽取群，然后對(duì)中選群中的所有單位全部實(shí)施調(diào)查特點(diǎn)抽樣時(shí)只需群的抽樣框，可簡(jiǎn)化工作量調(diào)查的地點(diǎn)相對(duì)集中，節(jié)省調(diào)查費(fèi)用，方便調(diào)查的實(shí)施缺點(diǎn)是估計(jì)的精度較差4.1.2抽樣分布4.1抽樣與抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由每一個(gè)樣本算出的該統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的相對(duì)頻數(shù)分布或概率分布是一種理論分布隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長遠(yuǎn)我們穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布

(samplingdistribution)容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布一種理論概率分布進(jìn)行推斷總體總體均值的理論基礎(chǔ) 樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

(例題分析)【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素(個(gè)體)

，即總體單位數(shù)N=4。4

個(gè)個(gè)體分別為x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。總體的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差樣本均值的抽樣分布

(例題分析)

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本(共16個(gè))樣本均值的抽樣分布

(例題分析)計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值(x)X樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)=2.5σ2=1.25總體分布樣本均值分布樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時(shí)，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本樣本均值正態(tài)分布樣本均值正態(tài)分布樣本均值非正態(tài)分布樣本均值的數(shù)學(xué)期望樣本均值的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本均值的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

樣本比例的抽樣分布

(比例—proportion)容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似一種理論概率分布推斷總體總體比例的理論基礎(chǔ) 樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)4.2參數(shù)估計(jì)的基本原理

4.2.1估計(jì)量與估計(jì)值

4.2.2點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)第4章抽樣與參數(shù)估計(jì)4.2.1點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)4.2參數(shù)估計(jì)的基本原理點(diǎn)估計(jì)

(pointestimate)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無法給出估計(jì)的可靠性的度量區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)估計(jì)區(qū)間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%

樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例，也稱置信度表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

置信區(qū)間與置信水平的關(guān)系

均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1–aa/2a/24.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

4.3.1正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體、大樣本

4.2.2正態(tài)總體、方差未知、小樣本第4章抽樣與參數(shù)估計(jì)4.3.1正態(tài)總體、方差已知

或非正態(tài)總體、大樣本4.3總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本)【例4.2】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本)【例4.3】一家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間

36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲4.3.2正態(tài)總體、方差未知、小樣本4.3總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差未知、小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差未知、小樣本)【例5.3】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、方差未知、小樣本)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h～1503.2h總體均值的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))4.4總體比例的區(qū)間估計(jì)

第4章抽樣與參數(shù)估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(一個(gè)總體比例)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于5使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例4.5】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例4.6】某區(qū)疾病預(yù)防控制中心2002年對(duì)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)250名小學(xué)生進(jìn)行貧血的檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有86名貧血者。求貧血者檢查率在95%的置信區(qū)間。解：已知n=250，p＝86/250=34.4%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為28.51%~40.29%

總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)使用的分布

(小結(jié))總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))本章小結(jié)抽樣方法與抽樣分布點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別總體均值的區(qū)間估計(jì)方法總體比例的區(qū)間估計(jì)方法練習(xí)題1、從含有N個(gè)元素的總體中，抽取n個(gè)元素作為樣本，使得總體中每一個(gè)元素都有相同的機(jī)會(huì)被抽中，這樣的抽樣方法稱為（）A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B分層抽樣C系統(tǒng)抽樣D整群抽樣2、在抽樣之前先將總體的元素劃分為若干類，然后從各個(gè)類中抽取一定數(shù)量的元素組成一個(gè)樣本，這樣的抽樣方法稱為（）A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B分層抽樣C系統(tǒng)抽樣D整群抽樣3、先將總體各元素按某種順序排列，并按某種規(guī)則確定一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)，然后每隔一定的間隔抽取一個(gè)元素，直至抽取n個(gè)元素形成一個(gè)樣本。這樣的抽樣方法稱為（）A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B分層抽樣C系統(tǒng)抽樣D整群抽樣4、先將總體劃分為若干群，然后以群作為抽樣單位從中抽取部分群，再對(duì)抽中的各個(gè)群中所包含的所有元素進(jìn)行觀察。這樣的抽樣方法稱為（）A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B分層抽樣C系統(tǒng)抽樣D整群抽樣5、飛機(jī)離開登機(jī)口到起飛的等待時(shí)間通常是右偏的，均值為10分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為8分鐘。假設(shè)隨機(jī)抽取100架飛機(jī)，則等待時(shí)間的均值的抽樣分布是（）A右偏的，均值為10分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8分鐘B正態(tài)分布，均值為10分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8分鐘C右偏的，均值為10分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為8分鐘D正態(tài)分布，均值為10分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為8分鐘6、設(shè)總體的均值為500，標(biāo)準(zhǔn)差為200，從該總體中抽取一個(gè)容量為30的樣本，則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A、36.51