第2章隨機信號

隨機信號分析

第2章隨機信號RandomSignal隨機信號分析2問題？？？？什么是隨機信號？隨機信號與隨機變量有什么關(guān)系？隨機信號（過程）:許多隨機現(xiàn)象是按時間或其他參量推進的，其研究需要按某種方式持續(xù)不斷地（無休止地）觀察其過程，這樣涉及到有序的、無窮多個隨機變量，稱作隨機信號（過程），簡記為R.S.。隨機信號分析3第2章隨機信號本章討論：

1）隨機信號的定義、基本概念；

2）幾個典型的信號及其分析方法；

3）隨機信號一般特性與描述方式；

4）高斯信號與獨立信號隨機信號分析4第2章隨機信號2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號隨機信號分析52.1

定義與基本特性

例ξ0ξ1…ξi

樣本空間為Ω＝{ξ0,ξ1,ξ2…}隨機信號分析62.1

定義與基本特性

例2.1噪聲電壓信號：多次觀測到不同波形。隨機信號分析72.1

定義與基本特性例2.2用擲幣實驗產(chǎn)生信號。正面:250Hz的余弦波：反面:250Hz的正弦波：也可記為:

是取值0、1的等概隨機變量。隨機信號分析82.1

定義與基本特性例2.3醫(yī)院登記新生兒性別。男嬰＝1，女嬰＝0。結(jié)果：10011010…，或001010110…它是隨機序列：是“隨機變量串”。隨機信號分析92.1.1

概念與定義定義2.1

對隨機實驗樣本空間上每個，定義函數(shù)，則確定了一個具有一定統(tǒng)計特性的隨機函數(shù)，稱為隨機過程（Stochasticorrandomprocess），或隨機信號(Randomsignal)。隨機信號分析10§2.3隨機信號的定義與描述X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t狀態(tài)隨機變量確定時間函數(shù)……隨機信號分析112.1.1

概念與定義隨機信號分析122.1.1

概念與定義定義2.2

給定參量集T，若，都有一個隨機變量與之對應(yīng)，就稱隨機變量族為隨機過程。

T為實數(shù)集或其子集，如果T為整數(shù)集或其子集，就是隨機序列或離散隨機信號。隨機信號分析13例題1正弦隨機信號{X(t,ξ)=10cos(2πFt),t>0},其中F為二值隨機變量，其可能取值為100Hz與200Hz，概率同為0.5，試問， （1）X(t,ξ)可能的樣本函數(shù)； （2）在t=2.5,5,10（單位：ms）各時刻上觀察X(t,ξ)，其相應(yīng)隨機變量的可能值與概率。隨機信號分析14例題1續(xù)解：（1）由已知

X(t,s)可能的樣本函數(shù)為：F=100HzX1(t)F=200HzX2(t)隨機信號分析15例題1續(xù)隨機信號分析16例題2正弦隨機信號{X(t,ξ)=Acos(200πt),t>0},其中振幅隨機變量A取值為1和0，概率分別為0.1和0.9，試問， （1）一維概率分布F(x；5)； （2）二維概率分布F(x,y；0,0.0025)； （3）t=1時刻,隨機變量X(t,ξ)的可能值，均值與最有可能出現(xiàn)的值。隨機信號分析17例題2續(xù)解（1）

隨機信號分析18例題2續(xù)（2）隨機信號分析19例題2續(xù)（3）t=1時刻， 所以，t＝1時刻，X(t)等于A，可能值為0與1， 所以在t＝1時刻，隨機變量X(t,s)即A最有可能出現(xiàn)值為0。

隨機信號分析20例題3

如果上面所討論的隨機信號描述的正是某臺信號發(fā)生器的輸出（單位：伏特），試問，（1）開啟該設(shè)備后最可能見到什么樣的信號？（2）如果t=1時刻測得輸出電壓為1伏特，問t=2時刻可能的輸出電壓為什么？概率多少？隨機信號分析21例題3續(xù)解：（1）因為，所以開啟該設(shè)備后90%的情況會見到無電壓(A=0)。（2）t=1時刻，有 可得A=1；所以t=2時刻，有因為在A=1的前提下，t=2時刻輸出電壓為確定值1，所以。隨機信號分析222.1.2概率分布與密度函數(shù)隨機信號的一維概率分布函數(shù)

：隨機信號的一維概率密度函數(shù)

隨機信號分析232.1.2概率分布與密度函數(shù)txfX(x,t)隨機信號分析242.1.2概率分布與密度函數(shù)隨機信號分析252.3.1n階概率特性隨機信號的二階概率分布函數(shù)隨機信號的二階概率密度函數(shù)

隨機信號分析262.1.3基本數(shù)字特征隨機信號的均值函數(shù)：t1t2t3t4隨機信號分析27隨機信號分析282.1.3基本數(shù)字特征隨機信號的自相關(guān)函數(shù)：隨機信號分析292.1.3基本數(shù)字特征隨機信號的自協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)隨機信號分析302.1.3基本數(shù)字特征均方差（或標準差）函數(shù):相關(guān)系數(shù)：隨機信號分析31舉例例：正弦R.S.ξcosωt，ω>0（常數(shù)），ξ~u(0,1)。求：

(1)時，X(t)的概率密度函數(shù)fX(x,t)(2)均值函數(shù)mx(t)，方差函數(shù)Dx(t)

，相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)

，協(xié)方差函數(shù)Cx(t1,t2)

隨機信號分析32舉例續(xù)解答：隨機信號分析33舉例續(xù)（2）隨機信號分析34舉例：直線過程直線過程：{X(t)=U+Vt,t∈(-∞,+∞)}，其中U與V是隨機變量。比如，初始位移為U，速度為V的直線運動，其t時刻的位移為X(t)。討論X(t)的概率特性和矩特性。解答：X(t)是具有隨機截距U與斜率V的直線，其可能的樣本函數(shù)如圖所示。假定已知U與V的統(tǒng)計特性。隨機信號分析35舉例續(xù)X(t)tmx(t)隨機信號分析36舉例續(xù)均值 E[X(t)]=E[U]+E[Vt]=mU+mVt自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)=E[(U+Vt1)[(U+Vt2)]=E[U2]+E[UV](t1+t2)+E[V2]t1t2隨機信號分析37舉例續(xù)一階概率密度函數(shù) 當t≠0時，令 利用二維變換，可得當t＝0時，X(t)=U，因此fX(x;0)=fU(x)隨機信號分析38舉例續(xù)二階概率密度函數(shù)令容易求得利用二維變換求解，具體解答過程省略，請同學(xué)們課后自己解答。隨機信號分析39舉例續(xù)當t1≠t2時，當t1＝t2時，由于P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2]=P[X(t1)≤min(x1,x2)],

所以利用剛才求得的一階概率密度函數(shù)表示有符號隨機信號分析40第2章隨機信號2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號隨機信號分析412.2.1隨機正弦信號 給定具有某種概率分布的振幅隨機變量A、角頻率隨機變量Ω與相位隨機變量Θ，（具體概率分布與特性視應(yīng)用而定），以（時間）參量t建立隨機變量

于是，相應(yīng)于某個參量域T的隨機變量族為正弦隨機信號（或稱為正弦隨機過程)。

2.2典型信號舉例隨機信號分析42隨機信號分析43§2.2各種樣本函數(shù)集中顯示的各種樣本函數(shù)t＝5時刻的不確定性隨機信號分析44舉例正弦隨機信號

{W(t)=Acos(ωt+Θ),-∞<t<∞}

其中，A服從參數(shù)為σ2的瑞利分布,而Θ~u[0,2π],并且A與Θ是獨立的。討論隨機信號W(t)的基本特性。瑞利分布：隨機信號分析45舉例隨機信號分析46舉例續(xù)解答：（1）均值隨機信號分析47相關(guān)函數(shù)隨機信號分析48一、二階概率密度函數(shù)令怎么解出隨機信號分析492.2.1隨機正弦信號隨機信號分析50可見：二維高斯分布：2.2.1隨機正弦信號

隨機信號分析51舉例續(xù)隨機信號分析52例：給定某個序列隨機實驗，觀測某事件B發(fā)生與否，建立事件B的指示函數(shù)， 而且，序列隨機實驗間彼此統(tǒng)計獨立并有相同的概率 于是，是一個（0，1）貝努里隨機變量，相應(yīng)的隨機變量序列為（0，1）貝努里（Bernoulli）隨機序列（或稱隨機信號，有時也稱為隨機過程）。2.2.2貝努里隨機序列隨機信號分析532.2.2貝努里隨機序列nX（n，ξn）01……12345678910X（9，ξ）nX（n，ξ1）0112345678910隨機信號分析54舉例問題：分析貝努里隨機信號X(n)基本特性。解答：一維概率特性貝努里隨機信號是離散型的隨機信號，任取n＝1,2,3,…與隨機信號分析55舉例續(xù)二維概率分布函數(shù)(0,1)(1,1)x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)q2q1隨機信號分析56舉例續(xù)f(x1,x2,n1,n2)x2(1,1)(1,0)(0,1)x1(0,0)q2p2pqpq隨機信號分析57舉例續(xù)均值或自相關(guān)函數(shù)

隨機信號分析582.2.3半隨機二進制傳輸信號半隨機二進制傳輸信號 該信號是逐時隙的，即在第n時隙上，為一個二值隨機變量，二元傳輸信號W(t,ξ)是基于原二進制數(shù)據(jù)信號X(n,ξ)的取值(+1，-1）。隨機信號分析592.2.3半隨機二進制傳輸信號W(ti,ξ)隨機信號分析602.2.3半隨機二進制傳輸信號W(t,ξ)

也可寫為其中p(t)是方波脈沖,在持續(xù)時間t>0上，二元傳輸信號W(t,ξ)是一個（連續(xù)時間的）隨機信號。半隨機——其時隙位置確切地以t=0對齊。相對地，隨機二進制傳輸信號定義為D與X(t)獨立，是[0,T]上均勻分布的隨機變量。隨機信號分析612.2.3半隨機二進制傳輸信號W(ti,ξ)D1D2D3隨機信號分析62舉例討論半隨機二進制傳輸信號的基本特性.均值自相關(guān)函數(shù) 令若位于同一時隙，有，則，隨機信號分析63舉例續(xù)若位于不同時隙，有則，合并，有當，有

隨機信號分析64T舉例續(xù)t2R(t1,t2)t1T(0,0)12T3T2T3T隨機信號分析65舉例續(xù)一階密度函數(shù) 因此，二階密度函數(shù) 當時，有 當時，則有

隨機信號分析66小結(jié)分析隨機信號本質(zhì)上就是分析相應(yīng)的隨機變量。其中：計算均值與相關(guān)函數(shù)是基本的，由它們?nèi)菀讓?dǎo)出協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)等結(jié)果；求解概率密度特性時，對于取值連續(xù)的隨機過程，常常要計算隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)，可以利用有關(guān)定理與公式（一維變換與二維變換）。對于取值離散的隨機過程，先直接計算有關(guān)概率，需要密度（或分布）函數(shù)時，再用其沖激（或階躍）函數(shù)形式來表示。隨機信號分析67小結(jié)隨機信號還可以分為：可預(yù)測隨機信號（或稱確定的隨機信號）：信號的任意一個樣本函數(shù)的未來值都可以由過去的觀測值確定，即樣本函數(shù)有確定的形式。不可預(yù)測隨機信號（或稱不確定的隨機信號）：信號的任意一個樣本函數(shù)的未來值都不可能由過去的觀測值確定，即樣本函數(shù)沒有確定的形式。隨機信號分析68小結(jié)隨機信號分析69第2章隨機信號2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號隨機信號分析702.3.1n階概率特性t1t2t3tnX(t)t隨機信號分析712.3.1n階概率特性隨機信號的n階概率分布函數(shù)任取時，n個隨機變量的n維聯(lián)合概率分布函數(shù)，定義為隨機信號的n階概率密度函數(shù)

隨機信號分析72獨立隨機信號(IndependentProcess)定義2.5：獨立隨機信號是指隨機信號自身內(nèi)部的任意n個時刻上的隨機變量之間彼此統(tǒng)計獨立。滿足：或隨機信號分析73舉例已知隨機信號U(t)~N(0,N0/2)，而不同時刻的隨機變量之間彼此統(tǒng)計獨立。試求：（1）U(t)的概率密度特性。 （2）U(t)的相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)。解：(1)由題目已知該隨機信號的一維概率密度函數(shù)是隨機信號分析74舉例續(xù)根據(jù)不同時刻的隨機變量間彼此統(tǒng)計獨立，隨機信號U(t)的n維概率密度函數(shù)為n個一維概率密度函數(shù)之積，即隨機信號分析75舉例續(xù)(2)U(t)是獨立過程隨機信號分析762.3.2聯(lián)合特性t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t隨機信號分析772.3.2聯(lián)合特性隨機信號的n＋m維聯(lián)合概率分布函數(shù)隨機信號X(t)

與隨機信號Y(t)

的n＋m維聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為：隨機信號的n＋m維聯(lián)合概率密度函數(shù)隨機信號分析782.3.2聯(lián)合特性隨機信號的互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)：互相關(guān)系數(shù)隨機信號分析79定義2.3

正交與互不相關(guān)隨機信號分析80正交與互不相關(guān)及獨立性的關(guān)系隨機信號分析81例2.7隨機信號分析82例2.7續(xù)它顯然是正態(tài)分布,隨機信號分析83例2.7續(xù)（2）

隨機信號分析842.3.3相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)對稱性：均方值為非負實數(shù)：方差為非負實數(shù)

隨機信號分析852.3.3相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)兩個信號的聯(lián)合矩特性滿足：對稱性：

隨機信號分析86第2章隨機信號2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號隨機信號分析872.4.3高斯隨機信號

定義2.4

給定隨機過程