2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理疑難規(guī)律方法學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE37學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章計(jì)數(shù)原理1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象,除了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的理論支持,對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題要針對(duì)其問題特點(diǎn)，靈活的運(yùn)用列舉法、列表法、樹形圖法等方法來幫助解決，使問題的解決更加實(shí)用、直觀．下面通過典例來說明．一、列舉法例1某公司電腦采購(gòu)員計(jì)劃用不超過300元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為20元、40元的鼠標(biāo)和鍵盤,根據(jù)需要,鼠標(biāo)至少買5個(gè),鍵盤至少買3個(gè)，則不同的選購(gòu)方式共有(）A．7種B．8種C．9種D．10種解析依據(jù)選購(gòu)鼠標(biāo)和鍵盤的不同個(gè)數(shù)分類列舉求解．若買5個(gè)鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4、5個(gè)；若買6個(gè)鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4個(gè)；若買7個(gè)鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4個(gè)；若買8個(gè)鼠標(biāo),則可買鍵盤3個(gè);若買9個(gè)鼠標(biāo)，則可買鍵盤3個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選購(gòu)方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9種．故選C。答案C點(diǎn)評(píng)本題背景中的數(shù)量不少,要找出關(guān)鍵數(shù)字，通過恰當(dāng)分類和列舉可得．列舉看似簡(jiǎn)單，但在解決問題中顯示出其實(shí)用性,并且我們還可以通過列舉的方法去尋求問題中的規(guī)律．二、樹形圖法例2用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2,…的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？解編寫一個(gè)號(hào)碼要先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號(hào)碼,如圖．由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同,因此共有6×9＝54(個(gè)）不同的號(hào)碼．三、列表法例3四個(gè)人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個(gè)人取一張不是自己寫的賀年卡，共有多少種不同的取法？解把四個(gè)人分別編號(hào)①、②、③、④，對(duì)應(yīng)寫的賀年卡編號(hào)分別為1，2，3,4，將4張賀年卡的各種方法全部列舉出來，如下表：四個(gè)人取賀年卡的方法①222333444②134144133③441412212④313221321方法編號(hào)123456789由表格可知,共有9種不同的方法．點(diǎn)評(píng)本題是一個(gè)錯(cuò)排問題，難以直接運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算．借助表格,把各種情況一一列出，使問題直觀解決．四、直接法例4已知某容器中,H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素,請(qǐng)問共可組成多少種HCl和NaOH分子?解因?yàn)镠Cl由兩種元素構(gòu)成，所以分兩步完成：第1步：選擇氫元素，共有3種．第2步：選擇氯元素，共有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有6種HCl分子．同理，對(duì)于NaOH而言，分三步完成．第1步：選擇鈉元素，有3種選法．第2步:選擇氧元素，有4種選法．第3步：選擇氫元素，有3種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×4×3＝36（種)NaOH分子．點(diǎn)評(píng)當(dāng)問題情景中的規(guī)律明顯，已符合分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理中的某一類型時(shí),可直接應(yīng)用公式計(jì)算結(jié)果，但此法的關(guān)鍵是分清是“分類”還是“分步"問題．2排列、組合的破解之術(shù)排列、組合,說它難吧，其實(shí)挺簡(jiǎn)單的，就是分析事件的邏輯步驟,然后用乘法原理、加法原理計(jì)算就可．說簡(jiǎn)單吧，排列、組合卻是同學(xué)們（包括很多學(xué)習(xí)很好的同學(xué)）最沒把握的事情，同樣難度的幾道題,做順了，三下五除二，幾分鐘內(nèi)解決問題；做不順,則如一團(tuán)亂麻，很長(zhǎng)時(shí)間也理不順?biāo)悸罚旅婢蛠碚務(wù)勂平獬Ｒ娕帕?、組合模型的常用方法！一、特殊元素——優(yōu)先法對(duì)于有特殊要求的元素的排列、組合問題，一般應(yīng)對(duì)有特殊要求的元素優(yōu)先考慮．例1將數(shù)字1，2，3，4，5,6排成一列,記第i個(gè)數(shù)為ai（i＝1,2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1〈a3〈a5,則不同的排列方法有________種(用數(shù)字作答)．解析由題意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1〈a3<a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5種方法;第二步，再排a2,a4，a6，有Aeq\o\al（3，3）種方法．由乘法原理得,不同的排列方法共有5Aeq\o\al(3,3）＝30(種）．答案30二、相鄰問題——捆綁法把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素"一起排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上排列．例2記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有(）A．1440種 B．960種C．720種 D．480種解析先將兩位老人排在一起有Aeq\o\al（2，2）種排法,再將5名志愿者排在一起有Aeq\o\al（5,5）種排法，最后將兩位老人插入5名志愿者間的4個(gè)空位中有Ceq\o\al（1,4）種插入方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的排法有Aeq\o\al(2,2）·Aeq\o\al(5，5)·Ceq\o\al（1，4）＝960(種）．答案B三、不相鄰問題——插空法某些元素不能相鄰或某些元素要在某個(gè)特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．例3五名男生與兩名女生排成一排照相,如果男生甲必須站在中間，兩名女生必須相鄰,符合條件的排法共有（)A．48種 B．192種C．240種 D．288種解析（用排除法）將兩名女生看作1人，與四名男生一起排隊(duì)，有Aeq\o\al（5，5）種排法，而女生可互換位置,所以共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al（2，2)種排法，男生甲插入中間位置，只有一種插法；而4男2女排列中2名女生恰在中間的排法共有Aeq\o\al（2，2）×Aeq\o\al（4,4)（種)，這時(shí)男生甲若插入中間位置不符合題意，故符合題意的排列種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2，2)－Aeq\o\al(4，4)×Aeq\o\al（2，2）＝192。答案B四、至多至少問題——間接法對(duì)于某些排列、組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況較簡(jiǎn)單，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的種數(shù)．例4從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答）．解析從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員共有Aeq\o\al(3,5)種選法，其中甲、乙中有一人擔(dān)任文娛委員的選法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)種,故共有Aeq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(1,2）Aeq\o\al(2，4）＝36(種）選法．答案36五、多類元素組合——分類取出當(dāng)題目中元素較多，取出的情況也有多種時(shí),可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)．例5如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有____________種(用數(shù)字作答)．解析如果用兩種顏色，則有Ceq\o\al（2，6）種顏色可以選擇,涂法有2種．如果用3種顏色涂色，有Ceq\o\al（3，6）種顏色可以選擇，涂法有Ceq\o\al(1,3）·Ceq\o\al(1，2)（Ceq\o\al(1,2)＋1）＝18（種)．所以，不同涂色種數(shù)為Ceq\o\al（2,6)·2＋Ceq\o\al(3，6)·18＝390(種）．答案390六、排列、組合混合——先選后排對(duì)于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進(jìn)行排列．例6某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班,不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)解析首先把5個(gè)班分成4組，即2,1,1,1，有eq\f(C\o\al（2，5)C\o\al(1,3）C\o\al（1，2)C\o\al(1,1）,A\o\al（3,3)）種方法．然后把4組分配到4個(gè)工廠，每個(gè)工廠安排一組有Aeq\o\al（4，4)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方法有eq\f（C\o\al（2，5）C\o\al（1,3)C\o\al（1,2)C\o\al（1，1)，A\o\al(3，3））·Aeq\o\al（4，4)＝240(種)．答案2403正方體中的計(jì)數(shù)問題在解決關(guān)于正方體的排列、組合問題時(shí)，要善于利用幾何性質(zhì),借助圖形幫助思考，這對(duì)解決問題將起到事半功倍的效果．下面舉例說明：例1從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（)A．8種 B．12種C．16種 D．20種解析從正方體的6個(gè)面中任取3個(gè)面共有Ceq\o\al(3,6）種不同選法，其中3個(gè)面均相鄰的選法共有8種（此時(shí)三個(gè)面共有一個(gè)頂點(diǎn)），故符合題意的選法共有Ceq\o\al（3,6）－8＝12（種)．答案B變式訓(xùn)練1正方體的一條對(duì)角線與它的12條棱組成的異面直線共有________對(duì)．答案6例2連接正方體任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線中異面直線有____________________________對(duì)．解析確定一對(duì)異面直線需要四個(gè)不共面的點(diǎn)，而四個(gè)不共面的點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)四面體,而一個(gè)四面體有三對(duì)異面直線，因此“異面直線的對(duì)數(shù)＝3×四面體數(shù)”，由于以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有58個(gè)，所以共有異面直線3×58＝174（對(duì))．答案174變式訓(xùn)練2過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共有15條,其中異面直線有()A．18對(duì)B．24對(duì)C．30對(duì)D．36對(duì)答案D例3從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,其中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．56B．52C．48D．40解析由于正方體的各個(gè)面都是矩形,而1個(gè)矩形有4個(gè)直角三角形,因此有對(duì)應(yīng)關(guān)系“直角三角形數(shù)＝4×矩形數(shù)”,正方體共有12個(gè)矩形的面，所以直角三角形共有4×12＝48(個(gè))．答案C變式訓(xùn)練3從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,其中正三角形的個(gè)數(shù)為________．答案84“隔板法”在計(jì)數(shù)問題中的妙用“隔板法”在計(jì)數(shù)問題中有其特殊的適用背景，并且“隔板法"往往會(huì)使很復(fù)雜的問題得到巧妙的解決．下面剖析一下隔板法適用條件，并選擇幾個(gè)實(shí)例來加以說明．一、隔板法的適用條件排列、組合中的相同小球放進(jìn)不同的盒子、名額分配或相同物品的分配等問題，是排列、組合中的難點(diǎn)問題，這類問題的基本模型是：將n個(gè)相同元素分組到m個(gè)不同對(duì)象中（n≥m),每個(gè)對(duì)象至少有一個(gè)元素．這類問題必須滿足三個(gè)條件:①小球必須相同；②盒子必須不同；③每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球．當(dāng)滿足這三個(gè)條件時(shí)，我們可以采用隔板法．二、隔板法的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用120個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子都不空，問有多少種放法？解如右圖,用“0”表示小球，0000｜00000000｜00000000在0與0之間的19個(gè)空檔中插入2塊隔板即可將小球分成3組，同時(shí)能夠保證每組中至少有一個(gè)小球，所以一共有Ceq\o\al（2，19）＝171種放法．點(diǎn)評(píng)解決此類問題的關(guān)鍵是,看題目情景是否滿足隔板法的條件，若滿足，則直接套用公式即可．應(yīng)用2方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整數(shù)解有多少個(gè)？解該問題轉(zhuǎn)化為:將方程左邊的x1、x2、x3、x4看成是4個(gè)盒子得到的小球數(shù),右邊的20看成是20個(gè)相同的小球．這樣就相當(dāng)于20個(gè)相同的小球放入4個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球,共有多少種不同的分配方法?這樣，類似應(yīng)用1可知，所以共有Ceq\o\al(3，19）＝969(種)．點(diǎn)評(píng)不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n（n，m∈N＋,n≥m）的正整數(shù)解個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為“將n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同對(duì)象（n≥m），每個(gè)對(duì)象至少有一個(gè)元素”的模型，進(jìn)而采用隔板法求解．整體概括：通過對(duì)隔板法的應(yīng)用，可得下列結(jié)論：結(jié)論1：把n個(gè)相同的元素分成m組分配給m個(gè)人，每組不允許落空,則可將n個(gè)元素排成一排,從n－1個(gè)間隔中，選出m－1個(gè)插上隔板，每一種隔板的插法對(duì)應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝Ceq\o\al（m－1,n－1).結(jié)論2：把n個(gè)相同的元素分成m組分配給m個(gè)人，某些組允許落空，則可將m－1個(gè)隔板和n個(gè)元素排成一排,每一種隔板的插法對(duì)應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝Ceq\o\al(m－1，m＋n－1).試一試1．將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中．（1）不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種?(2）可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？解（1）將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空格中插入無區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則不同的放入方式共有Ceq\o\al(3，6)＝20(種）．（2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板,故共有Ceq\o\al(3,10)＝120（種）放入方式．2．將10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一班、二班、三班3個(gè)班級(jí)中，若各班名額數(shù)不小于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方案?解先拿3個(gè)優(yōu)秀名額分配給二班1個(gè)，三班2個(gè)，這樣原問題就轉(zhuǎn)化為將7個(gè)優(yōu)秀名額分配到3個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)中至少分配到1個(gè)．利用“隔板法"可知，共有Ceq\o\al(2，6）＝15（種）不同的分配方案．3．某市教委準(zhǔn)備在當(dāng)?shù)氐?所重點(diǎn)中學(xué)中選派12名優(yōu)秀青年教師參加在職培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一個(gè)名額，求不同的分配方案的種數(shù)．解從結(jié)果入手，理解相同元素的分堆問題，設(shè)計(jì)“隔板法分堆”，將一種分配方法和一個(gè)組合建立一一對(duì)應(yīng)，實(shí)際問題化歸為組合數(shù)求解．該事件的實(shí)質(zhì)為將12個(gè)相同的元素分成9堆，每一堆至少一個(gè)元素,“隔板法分堆”，即在12個(gè)相同元素構(gòu)成的11個(gè)空中插入8個(gè)隔板，其方法有Ceq\o\al（8，11)＝165（種)．5排列、組合中的數(shù)學(xué)思想一、分類討論思想例1如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“a1a2a3”,滿足a1<a2，且a3<a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(120，363,374等),那么所有的凸數(shù)個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920解題提示本題中的三位正整數(shù),要求中間一位數(shù)字最大，需根據(jù)中間數(shù)字所有可能的情況分類討論;另外要注意首位與個(gè)位上的數(shù)字允許重復(fù)．解析由題意知：a1≠0，a2≥2.下面只需對(duì)a2＝2，a2＝3,…,a2＝9分別進(jìn)行討論，并求其值后求和．當(dāng)a2＝2時(shí)，a1，a3只能從0,1中取，a1只能取1，a3可取0,1,排出“a1a2a3”共有2種；當(dāng)a2＝3時(shí)，a1從1，2中任取一個(gè)有Ceq\o\al（1，2）種，a3從0,1,2中任取一個(gè)有Ceq\o\al(1，3)種，所以共有Ceq\o\al(1，2)·Ceq\o\al(1，3）種;當(dāng)a2＝4時(shí)，a1從1,2，3中任取一個(gè)有Ceq\o\al（1，3）種，a3從0,1，2，3中任取一個(gè)有Ceq\o\al(1，4)種，所以共有Ceq\o\al（1，3）·Ceq\o\al(1,4)種；…；當(dāng)a2＝9時(shí)，a1從1，2，3，…，8中任取一個(gè)有Ceq\o\al(1，8）種，a3從0,1,2,…,8中任取一個(gè)有Ceq\o\al(1,9)種，共有Ceq\o\al(1，8)·Ceq\o\al(1,9)種．綜上，可得組合成所有的凸數(shù)個(gè)數(shù)為2＋Ceq\o\al（1，2）·Ceq\o\al（1,3)＋Ceq\o\al（1,3)·Ceq\o\al(1，4）＋Ceq\o\al（1,4)·Ceq\o\al（1,5）＋Ceq\o\al(1，5)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(1，6）·Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al(1,7）·Ceq\o\al(1，8）＋Ceq\o\al（1，8）·Ceq\o\al(1，9）＝240。答案A點(diǎn)評(píng)本題中分類的標(biāo)準(zhǔn)非常明確，即中間數(shù)字的取值情況．對(duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分類情況多的題目,要有耐心逐個(gè)求解，最后求和．正確地進(jìn)行求解運(yùn)算也是求解此類題目的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．例2從－3，－2，－1,0,1,2,3,4八個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字分別作為a、b、c的值構(gòu)成二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c。試問：（1）共可組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)？（2）在這些二次函數(shù)圖像中，以y軸為對(duì)稱軸的有多少條？經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一或第三象限的有多少條？解題提示二次函數(shù)要求a≠0，可以優(yōu)先考慮a的取值；也可以用排除法．結(jié)合頂點(diǎn)在第一象限或第三象限對(duì)a，b，c的符號(hào)要求進(jìn)行分析是解決第(2）問的關(guān)鍵．解（1）方法一因?yàn)閥＝ax2＋bx＋c是二次函數(shù)，所以a≠0.因此，可從－3，－2，－1，1，2,3,4中選取一個(gè)排在a的位置上，有Ceq\o\al（1,7）種選法．b，c的取值沒有特殊要求，所以從剩余的6個(gè)非零元素加上0共7個(gè)元素中選取兩個(gè)有Ceq\o\al(2,7）種選法，再把它們排在b，c的位置上有Aeq\o\al(2,2）種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有Ceq\o\al(1,7）·Ceq\o\al(2，7)·Aeq\o\al(2，2)＝7×eq\f（7×6，2)×2＝294（個(gè))不同的二次函數(shù)．方法二利用排除法，從所有情況中去掉“0”排在a位置的情況．Ceq\o\al（3,8)·Aeq\o\al（3,3)－Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al（2,2）＝eq\f(8×7×6，3×2×1）×3×2×1－eq\f(7×6,2)×2＝294（個(gè)）不同的二次函數(shù)．（2)當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí)，b＝0,這樣的拋物線有Aeq\o\al（2,7）＝42(條)．當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時(shí)，c＝0，拋物線的頂點(diǎn)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（b，2a)，－\f(b2,4a)）)。①當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(b,2a）>0，，－\f（b2，4a)>0，））故eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〈0，,b〉0，）)這樣的拋物線有Aeq\o\al（1，3)·Aeq\o\al(1，4)＝12（條)；②當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(b，2a)<0，,－\f（b2，4a)〈0，)）故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0,，b〉0，))這樣的拋物線有Aeq\o\al(2,4)＝12（條)．故經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一或第三象限的共有24條．點(diǎn)評(píng)當(dāng)排列、組合問題與相關(guān)數(shù)學(xué)問題背景聯(lián)系在一起時(shí)，要注意結(jié)合數(shù)學(xué)背景對(duì)涉及的字母a,b，c的要求,合理地轉(zhuǎn)化為a，b，c的直接要求，再進(jìn)行分類．實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，文字表述代數(shù)化是解決實(shí)際背景問題的常規(guī)思想方法．二、數(shù)形結(jié)合思想例3以圓x2＋y2－2x－2y－1＝0內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為()A．76B．78C．81D．84解題提示將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,畫出圖形，結(jié)合圖形從所有情況中去掉三點(diǎn)共線的情況．解析本題是一個(gè)綜合問題，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù),然后求組合數(shù),方程化為（x－1）2＋（y－1）2＝3。如圖，圓內(nèi)共有9個(gè)整數(shù)點(diǎn)，組成的三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al（3，9）－8＝76.答案A點(diǎn)評(píng)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，三點(diǎn)共線情況的尋找都需要我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系下正確畫出本題中的圓以及與整點(diǎn)共線有關(guān)的8條直線．與幾何圖形探求有關(guān)的組合問題，畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形求解是解決此類題目常用的方法．三、轉(zhuǎn)化與化歸思想例4某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤,根據(jù)需要，軟件至少買3件，磁盤至少買2盒,則不同的選購(gòu)方式共有()A．5種 B．6種C．7種 D．8種解析設(shè)買單片軟件x件，盒裝磁盤y盒,則命題轉(zhuǎn)化為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（60x＋70y≤500，,x≥3，，y≥2))(x,y∈N）的解的個(gè)數(shù)，不難求得（3，2)，(3,3)，(3，4）,(4，2），(4,3），(5，2),(6，2）為其解，所以不同的選購(gòu)方式共有7種．答案C點(diǎn)評(píng)本題若直接列舉討論，情況較復(fù)雜,根據(jù)題目條件設(shè)出相關(guān)變量x，y,列出不等式組縮小討論范圍,簡(jiǎn)化了求解過程．例5如圖①，A,B,C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來,則不同的建橋方案共有（）A．8種 B．12種C．16種 D．20種解析如圖②，構(gòu)造三棱錐A－BCD，四個(gè)頂點(diǎn)表示四個(gè)小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁．由題意,只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．從六條棱中任取三條棱的不同取法有Ceq\o\al（3，6）種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有Ceq\o\al（3，6)－4＝16（種）．答案C點(diǎn)評(píng)本題根據(jù)問題特征，巧妙地構(gòu)建恰當(dāng)?shù)牧Ⅲw幾何圖形，用幾何知識(shí)去解，顯得直觀清晰、簡(jiǎn)潔明快。6排列、組合問題錯(cuò)解分類剖析排列、組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯(cuò)．本文選擇一些在教學(xué)中學(xué)生常見的錯(cuò)誤進(jìn)行正誤解析．一、沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列、組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列、組合問題的前提．例1從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的取法有________種．誤解因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法．錯(cuò)因分析誤解的原因在于沒有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類"辦法，每類辦法中都還有不同的取法．正解由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái),有Ceq\o\al(2,6）種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)中任意選取3臺(tái)，有Ceq\o\al(3,5)種方法，據(jù)乘法原理共有Ceq\o\al(2，6)·Ceq\o\al(3,5）種方法．同理,完成第二類辦法中有Ceq\o\al（3,6)·Ceq\o\al(2,5）種方法．據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3，6）·Ceq\o\al（2,5）＝350(種)方法．例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況的種數(shù)為（)A．Aeq\o\al（3，4）B．43C．34D．Ceq\o\al（3，4)誤解把四個(gè)冠軍,排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A。錯(cuò)因分析誤解是沒有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式．正解四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取,每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3×3×3×3＝34(種)，故選C.說明本題還有同學(xué)這樣誤解，甲、乙、丙奪冠均有四種情況,由乘法原理得43,這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能．二、判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性,有順序的是排列,無順序的是組合．例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法?誤解因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有Aeq\o\al(8,8）種方法．錯(cuò)因分析誤解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的,5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法．正解8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同,所以沒有順序，是組合問題．這樣共有Ceq\o\al(3,8）＝56（種)排法．三、重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列、組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤．例4某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少種？誤解第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列．共有：Ceq\o\al（2，7）Ceq\o\al(2，5）Aeq\o\al（3,3)＝1260.錯(cuò)因分析這里是均勻分組問題．比如：第一人挑選的是周一、周二,第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二,所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了．正解eq\f（C\o\al(2，7)C\o\al（2，5)A\o\al（3,3），2）＝630（種)．四、遺漏某些情況出錯(cuò)在排列、組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況而出錯(cuò)．例5用數(shù)字0，1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有()A．36個(gè) B．48個(gè)C．66個(gè) D．72個(gè)誤解如圖,最后一位只能是1或3，有兩種取法，1,3又因?yàn)榈?位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有Aeq\o\al（2，3）種排法，共有2×3×Aeq\o\al(2,3)＝36（個(gè))．錯(cuò)因分析誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù)．正解任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有2×3×Aeq\o\al(3，3)＝36(個(gè)），再由前面分析知滿足題意的四位數(shù)和五位數(shù)共有72個(gè),選D。五、忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列、組合問題時(shí)，一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或漏解．例6如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有______種（以數(shù)字作答）．誤解先著色第一區(qū)域,有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有Ceq\o\al(1,3）·2·Aeq\o\al（2，2)＝12(種），由乘法原理共有4×12＝48(種)．錯(cuò)因分析據(jù)報(bào)道,在高考中有很多考生填了48種．這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用,用3種也可以完成任務(wù)．正解當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法;當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)，從4種顏色中選取3種有Ceq\o\al(3,4）種方法，先著色第一區(qū)域,有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理知有Ceq\o\al（3,4）×3×2＝24（種)．綜上，共有48＋24＝72（種)方法．例7已知ax2－b＝0是關(guān)于x的一元二次方程,其中a、b∈｛1，2,3，4},求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)．誤解從集合{1，2,3,4}中任意取兩個(gè)元素作為a、b，方程有Aeq\o\al（2,4）個(gè)，當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有Aeq\o\al(2，4)＋1＝13（個(gè))．錯(cuò)因分析誤解中沒有注意到題設(shè)中:“求解集不同的……"所以在上述解法中要去掉同解情況，由于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1,b＝2）)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，b＝4))同解、eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，b＝1))和eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝2)）同解，故要減去2個(gè)．正解由分析，共有13－2＝11（個(gè)）解集不同的一元二次方程．六、未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列、組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò)．例8現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是()A．1024種 B．1023種C．1536種 D．767種誤解因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況,共有210－1＝1023(種)，故選B.錯(cuò)因分析這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成4種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況．正解除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有28×3－1＝767（種）,故選D。七、題意的理解偏差出錯(cuò)例9現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法的種數(shù)為（)A．Aeq\o\al(3，6）·Aeq\o\al(5，5) B．Aeq\o\al(8，8）－Aeq\o\al（6，6)·Aeq\o\al（3,3)C．Aeq\o\al(3，5）·Aeq\o\al(3，3） D．Aeq\o\al（8,8）－Aeq\o\al（4,6)誤解除了甲、乙、丙三人以外的5人先排,有Aeq\o\al（5,5）種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有Aeq\o\al（3，6）種方法，這樣共有Aeq\o\al(3，6)·Aeq\o\al(5,5）種排法，選A.錯(cuò)因分析誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰"的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰"的情況．“甲、乙、丙三人不能相鄰"是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰,但允許其中有兩人相鄰．正解在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al（6,6)·Aeq\o\al(3，3），故選B。排列、組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列、組合學(xué)好．7用五種意識(shí)求解二項(xiàng)式問題在歷年高考中都有涉及二項(xiàng)式定理的試題，本文總結(jié)了五種解題意識(shí)，旨在強(qiáng)化同學(xué)們解此類問題的目的性及方向性,避免低效性和盲目性,使解題能力得以提高．一、通項(xiàng)意識(shí)凡涉及到展開式的項(xiàng)及其系數(shù)問題，常是先寫出其通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al（r，n)an－rbr，再根據(jù)題意進(jìn)行求解．因此通項(xiàng)意識(shí)是解二項(xiàng)式問題的首選意識(shí)．例1若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x3＋\f(1,\r(x）))）n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)n為________．解析展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r，n)(2x3）n－req\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，\r(x)））)r＝Ceq\o\al（r，n)·2n－r。令3n－eq\f(7r，2）＝0，得r＝eq\f（6n,7)，∵r∈N＋且r≤n，∴n必須能被7整除，∴滿足條件的最小正整數(shù)n＝7。答案7二、方程意識(shí)已知展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，求指數(shù)n及二項(xiàng)式中參數(shù)的值等，可借助展開式中的通項(xiàng)，根據(jù)題意建立方程解決．例2已知eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a，x）－\r（\f（x，2)))）9展開式中x3的系數(shù)為eq\f（9,4），則常數(shù)a＝________.解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a,x）))9－req\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\r（\f（x,2）))）r＝(－1)r，依題意，有eq\f(3，2)r－9＝3，解得r＝8.故含x3的項(xiàng)為第9項(xiàng)，其系數(shù)為（－1）82－4Ceq\o\al（8,9）a＝eq\f(9,4),即eq\f(9，16）a＝eq\f(9,4），解得a＝4.答案4三、特殊化意識(shí)在求展開式中的各系數(shù)之和及某些組合數(shù)之和時(shí),有意識(shí)地對(duì)未知數(shù)試取某些特殊值是一種非常有效的方法．例3若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2（x－2)2＋a3(x－2)3,則a2的值為(）A．3 B．6C．9 D．12解析a3＝1，a2＋a3·Ceq\o\al(1,3）(－2）＝0，∴a2＝6.答案B點(diǎn)評(píng)解決本題也可令x3＝［（x－2)＋2］3，利用展開式求解．四、轉(zhuǎn)化意識(shí)轉(zhuǎn)化意識(shí)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一．在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問題中，主要表現(xiàn)在單項(xiàng)式和三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化配湊為二項(xiàng)式來求解；多個(gè)二項(xiàng)式的積的某項(xiàng)系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為乘法分配律問題．例4（1＋2x2)(x－eq\f（1,x))8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________．（用數(shù)字作答)解析(1＋2x2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（1，x)))8＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，x))）8＋2x2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x）)）8，∴常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,8）×x4(－x－1）4＋2x2Ceq\o\al(5，8）x3（－x－1）5，即70－2×56＝－42。答案－42五、應(yīng)用意識(shí)應(yīng)用是數(shù)學(xué)的歸宿，二項(xiàng)式定理主要應(yīng)用于近似計(jì)算、證明整除、求組合數(shù)及求余數(shù)等問題．例5若Ceq\o\al（2n＋6,20）＝Ceq\o\al(n＋2,20）（n∈N＋)，且(2－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于（）A．81 B．27C．243 D．729解析由題知，2n＋6＝n＋2或2n＋6＋n＋2＝20，得n＝－4（舍）或n＝4。此時(shí)令x＝－1,得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.答案A8二項(xiàng)式定理中易混概念辨析在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí),極易忽略一些條件或混淆一些概念,下面對(duì)解題中常見的錯(cuò)誤加以剖析，以提高同學(xué)們的警惕性．一、項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)(a＋b)n的展開式中的第r＋1項(xiàng)是Ceq\o\al（r,n)an－rbr（注意a，b可以是實(shí)數(shù)，還可以是代數(shù)式)，而第r＋1項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)．例1（x－1)10的展開式中的第6項(xiàng)的系數(shù)是（）A．Ceq\o\al（5,10）x5 B．－Ceq\o\al(5，10）x5C．Ceq\o\al(5,10) D．－Ceq\o\al(5，10)解析因?yàn)?x－1）10的展開式的第6項(xiàng)是T6＝Ceq\o\al（5,10)x10－5（－1)5＝－Ceq\o\al(5，10）x5,故第6項(xiàng)的系數(shù)是－Ceq\o\al(5，10).答案D二、項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)(a＋b）n的展開式中的第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al（r，n）(r＝0，1,2，…，n），僅與n,r有關(guān)；而第r＋1項(xiàng)的系數(shù)不是