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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE6余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。會(huì)用“五點(diǎn)法”“圖像變換法”作余弦函數(shù)的圖像.2.理解余弦函數(shù)的性質(zhì),會(huì)求y=Acosx+B的單調(diào)區(qū)間及最值.3。會(huì)利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小,能根據(jù)圖像解簡(jiǎn)單的三角不等式.知識(shí)點(diǎn)一余弦函數(shù)的圖像思考1根據(jù)y=sinx和y=cosx的關(guān)系,你能利用y=sinx,x∈R的圖像得到y(tǒng)=cosx,x∈R的圖像嗎?思考2類(lèi)比“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)圖像,那么余弦函數(shù)圖像能否用“五點(diǎn)法”作圖?若能,y=cosx,x∈[0,2π]五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是什么?梳理余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖像叫作____________.知識(shí)點(diǎn)二余弦函數(shù)的性質(zhì)思考1余弦函數(shù)的最值是多少?取得最值時(shí)的x值是多少?思考2余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?推廣到整個(gè)定義域呢?梳理函數(shù)y=cosx定義域R值域[-1,1]奇偶性偶函數(shù)周期性以2kπ為周期(k∈Z,k≠0),2π為最小正周期單調(diào)性當(dāng)x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)時(shí),函數(shù)是增加的;當(dāng)x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)時(shí),函數(shù)是減少的最大值與最小值當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),最大值為1;當(dāng)x=2kπ+π(k∈Z)時(shí),最小值為-1類(lèi)型一用“五點(diǎn)法”作余弦函數(shù)的圖像例1用“五點(diǎn)法"作函數(shù)y=1-cosx(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖.反思與感悟作形如y=acosx+b,x∈[0,2π]的圖像時(shí),可由“五點(diǎn)法”作出,其步驟:①列表,取x=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π;②描點(diǎn);③用光滑曲線連線成圖.跟蹤訓(xùn)練1用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2cosx+1,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖.類(lèi)型二余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2(1)函數(shù)y=3-2cosx的遞增區(qū)間為_(kāi)_______.(2)比較cos(-eq\f(23,5)π)與cos(-eq\f(17,4)π)的大?。此寂c感悟單調(diào)性是對(duì)一個(gè)函數(shù)的某個(gè)區(qū)間而言的,不同函數(shù),不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)時(shí),應(yīng)先用誘導(dǎo)公式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。櫽?xùn)練2比較大?。?)cos(-eq\f(7π,8))與coseq\f(7π,6);(2)sin378°與cos(-641°).類(lèi)型三余弦函數(shù)的定義域和值域例3(1)求f(x)=eq\r(2cosx-1)的定義域.(2)求下列函數(shù)的值域.①y=-cos2x+cosx;②y=eq\f(2-cosx,2+cosx)。反思與感悟求值域或最大值、最小值問(wèn)題的依據(jù)(1)sinx,cosx的有界性.(2)sinx,cosx的單調(diào)性.(3)化為sinx=f(y)或cosx=f(y),利用|f(y)|≤1來(lái)確定.(4)通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)y=-cos2x+cosx+1(-eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4))的值域是________.1.函數(shù)y=1-2coseq\f(π,2)x的最小值,最大值分別是()A.-1,3 B.-1,1C.0,3 D.0,12.下列函數(shù)中,周期為π,且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2)))上為增函數(shù)的是()A.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2))) B.y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))C.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2))) D.y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2)))3.函數(shù)f(x)=lgcosx+eq\r(25-x2)的定義域?yàn)開(kāi)_______________.4.比較大小:(1)cos15°________cos35°;(2)cos(-eq\f(π,3))________cos(-eq\f(π,4)).5.函數(shù)y=cos(-x),x∈[0,2π]的遞減區(qū)間是________.1.對(duì)于y=acosx+b的圖像可用“五點(diǎn)法"作出其圖像,其五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與x軸相交的點(diǎn).2.通過(guò)觀察y=cosx,x∈R的圖像,可以總結(jié)出余弦函數(shù)的性質(zhì).3.利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可以比較三角函數(shù)值的大小及求最值.
答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1能,根據(jù)cosx=sin(x+eq\f(π,2)),只需把y=sinx,x∈R的圖像向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到y(tǒng)=cosx,x∈R的圖像.思考2能,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是(0,1),(eq\f(π,2),0),(π,-1),(eq\f(3π,2),0),(2π,1).梳理余弦曲線知識(shí)點(diǎn)二思考1對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx,x∈R有:當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時(shí),取得最小值-1;觀察余弦函數(shù)y=cosx,x∈[-π,π]的圖像:函數(shù)y=cosx,x∈[-π,π]的圖像如圖所示.思考2觀察圖像可知:當(dāng)x∈[-π,0]時(shí),曲線逐漸上升,是增函數(shù),cosx的值由-1增大到1;當(dāng)x∈[0,π]時(shí),曲線逐漸下降,是減函數(shù),cosx的值由1減小到-1.推廣到整個(gè)定義域可得當(dāng)x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cosx是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1;當(dāng)x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cosx是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1。題型探究例1解列表:x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10-1011-cosx01210描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái),如圖所示.跟蹤訓(xùn)練1解∵x∈[0,2π],∴令x=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,列表得:x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10-101y31-113描點(diǎn),連線得:例2(1)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)(2)解cos(-eq\f(23,5)π)=cos(-6π+eq\f(7,5)π)=coseq\f(7,5)π,cos(-eq\f(17,4)π)=cos(-6π+eq\f(7,4)π)=coseq\f(7,4)π,∵π<eq\f(7,5)π<eq\f(7,4)π〈2π,∴coseq\f(7,5)π〈coseq\f(7,4)π,即cos(-eq\f(23,5)π)<cos(-eq\f(17,4)π).跟蹤訓(xùn)練2解(1)cos(-eq\f(7π,8))=coseq\f(7π,8)=cos(π-eq\f(π,8))=-coseq\f(π,8),而coseq\f(7π,6)=-coseq\f(π,6)。∵0<eq\f(π,8)〈eq\f(π,6)<eq\f(π,2),∴coseq\f(π,8)〉coseq\f(π,6),∴-coseq\f(π,8)<-coseq\f(π,6),即cos(-eq\f(7π,8))〈coseq\f(7π,6)。(2)sin378°=sin(360°+18°)=sin18°=sin(90°-72°)=cos72°,cos(-641°)=cos(720°-641°)=cos79°,又cos72°>cos79°,∴sin378°>cos(-641°).例3解(1)要使函數(shù)有意義,則2cosx-1≥0,∴cosx≥eq\f(1,2),∴-eq\f(π,3)+2kπ≤x≤eq\f(π,3)+2kπ,∴定義域?yàn)閇-eq\f(π,3)+2kπ,eq\f(π,3)+2kπ],k∈Z.(2)①y=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx-\f(1,2)))2+eq\f(1,4).∵-1≤cosx≤1,∴當(dāng)cosx=eq\f(1,2)時(shí),ymax=eq\f(1,4).當(dāng)cosx=-1時(shí),ymin=-2.∴函數(shù)y=-cos2x+cosx的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2,\f(1,4))).②y=eq\f(4-2+cosx,2+cosx)=eq\f(4,2+cosx)-1.∵-1≤cosx≤1,∴1≤2+cosx≤3,∴eq\f(1,3)≤eq\f(1,2+cosx)≤1,∴eq\f(4,3)≤eq\f(4,2+cosx)≤4,∴eq\f(1,3)≤eq\f(4,2+cosx)-1≤3,即eq\f(1,3)≤y≤3.∴函數(shù)y=eq\f(2-cosx,2+cosx)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),3)).跟蹤訓(xùn)練3[1,eq\f(1+\r(2),2)]當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.B3。eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-5,-\f(3π
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