第5章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)主要取決于系統(tǒng)的特性，而系統(tǒng)的特性取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的特性。系統(tǒng)特性—是指控制系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。環(huán)節(jié)特性—是指環(huán)節(jié)本身輸入輸出之間的關(guān)系。第5章被控過程的數(shù)學(xué)模型給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對(duì)象+e實(shí)測(cè)值－給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對(duì)象+e實(shí)測(cè)值－前幾章的討論中，我們已知變送器和執(zhí)行器的特性是比例關(guān)系，控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對(duì)象的特性。被控對(duì)象xr(t)xc(t)

5.1被控過程數(shù)學(xué)模型的作用與要求被控對(duì)象大都是生產(chǎn)中的工藝設(shè)備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設(shè)計(jì)、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對(duì)象的特性。在經(jīng)典控制理論中，被控對(duì)象的特性一般用單輸入、輸出的數(shù)學(xué)模型描述。最常用的是傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是指用拉氏變換式表示的對(duì)象特性。被控對(duì)象xr(t)xc(t)Xc(s)Xr(s)G

(s)=5.2建立被控過程數(shù)學(xué)模型的基本方法求對(duì)象的數(shù)學(xué)模型有兩條途徑：機(jī)理法：根據(jù)生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出有關(guān)的平衡方程，從而獲取對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。測(cè)試法：通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試，來識(shí)別對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。由于影響生產(chǎn)過程的因素較多，單純用機(jī)理法建模較困難，一般用機(jī)理法的分析結(jié)論，指導(dǎo)測(cè)試結(jié)果的辨識(shí)。5.3機(jī)理法建模5.3.1機(jī)理法建模的基本原理通過分析生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，找出變量之間的關(guān)系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而導(dǎo)出對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。5.3.2單容過程建模當(dāng)對(duì)象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時(shí)，稱為單容過程或一階特性對(duì)象。大部分工業(yè)對(duì)象可以用一階特性描述。典型代表是水槽的水位特性。

5.3.2.1單容貯液箱液位過程I如圖是一個(gè)貯液箱（水槽），工藝上要求其液位h保持定值。設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，水槽就是被控對(duì)象，液位h就是被控變量。如果想通過調(diào)節(jié)閥門1來控制液位，就應(yīng)了解進(jìn)水流量Q1和液位h之間的關(guān)系。

此時(shí)，對(duì)象特性的輸入量是流入水槽的流量Q1，對(duì)象特性的輸出量是液位h。G(S)Q1h設(shè)水槽在Ql0=Q20時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，液位穩(wěn)定在h0機(jī)理法建模步驟：從水槽的物料平衡關(guān)系考慮，找出表征h與Q1關(guān)系的方程式：h0閥門1閥門2Q10Q20A假定某一時(shí)刻，閥門1突然開大?μ1，

則Q1突然增大，不再等于Q2，于是h就發(fā)生變化。Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。RS——閥門2阻力系數(shù)；Kμ——閥門1比例系數(shù)；μ1——閥門1的開度；A——水槽的底面積。式中：?Q1=Kμ?μ1h0閥門1閥門2Q1Q2?hA即解得寫成標(biāo)準(zhǔn)形式令：T=ARs——時(shí)間常數(shù)；K=KμRs——放大倍數(shù)。進(jìn)行拉氏變換TSH(S)+H(S)=Kμ1(S)傳遞函數(shù)為：

階躍響應(yīng)（飛升）曲線輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時(shí)，其輸出（Δh）隨時(shí)間變化的曲線。因則時(shí)域表達(dá)式K、T稱對(duì)象的特性參數(shù)。Δμ1ttΔhKΔμ1T工藝對(duì)象對(duì)物質(zhì)或能量的儲(chǔ)存能力和傳遞阻力，影響對(duì)象特性參數(shù)K、T的大小。在對(duì)象特性的研究中，可以用容量系數(shù)和阻力系數(shù)來表示這種能力。（1）容量系數(shù)——反映對(duì)象存儲(chǔ)能量的能力如水槽面積A，它影響時(shí)間常數(shù)T的大小。T=ARS

（2）阻力系數(shù)——反映對(duì)象對(duì)物料或能量傳遞的阻力。如閥門阻力系數(shù)RS，它影響放大系數(shù)K的大小。K=RS

1Δμ1ttΔhKT有很多對(duì)象特性屬于單容特性，如RC電路的充電特性：RCur(t)uR(t)uc(t)即傳遞函數(shù)為：如果ur(t)是階躍信號(hào)，則當(dāng)t→∞時(shí):uc(∞)=Uuc(t)=U(1－e–t/RC)t0URC電路的階躍響應(yīng)ucturU0RCur(t)uR(t)uc(t)5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II從一階慣性特性曲線可以看出，對(duì)象在擾動(dòng)作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有人工干預(yù)或調(diào)節(jié)器干預(yù)下，能自動(dòng)達(dá)到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。用自衡率ρ表征對(duì)象自衡能力的大小。1Δμ1ttΔhKT與放大系數(shù)K互為倒數(shù)如果ρ大，說明對(duì)象的自衡能力大。即對(duì)象能以較小的自我調(diào)整量Δh（∞），來抵消較大的擾動(dòng)量Δμ1。并不是所有被控過程都具有自衡特性。同樣的單容水槽如果出水用泵抽出，則成為無自衡特性。1Δμ1ttΔhKT令ΔQ2

=0

h0閥門1Q1Q2?h單容無自衡特性若閥門1突然開大?μ1，

則Q1增大，Q2不變化。

?Q1=Kμ?μ1—稱飛升速度則：傳函：即：

Δh（t）=∫εΔμ1dt—又稱積分特性若閥門1階躍增大?μ1，

則Δh(t)持續(xù)增長(zhǎng)。

tΔμ1h0tΔh圖5.5非自衡單容液位控制過程階躍響應(yīng)曲線μ0h0閥門1Q1Q2?h5.3.3多容過程建模有一個(gè)以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。5.3.3.1多容液位過程如圖所示為雙容對(duì)象。由兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，操縱變量是Δμ1，被控變量是第二個(gè)水槽的水位h2。Δμ1C2可以求出傳遞函數(shù)：由兩個(gè)一階慣性特性乘積而成。又稱二階慣性。式中：T1＝A1R2T2＝A2R3K＝KμR3Δμ1C2A1A2R2R3Kμ當(dāng)輸入量是階躍增量Δμ1

時(shí)，二階慣性對(duì)象的被控變量Δh2的響應(yīng)曲線呈S型。

所謂滯后是指輸出量的變化落后于輸入量的變化。為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，可以用帶滯后的單容過程模型來近似雙容過程模型。0tΔh2（∞）Δh20tΔh2（∞）Δh2τ

0tτcT0Δh2（∞）在S形曲線的拐點(diǎn)上作一切線，若將它與時(shí)間軸的交點(diǎn)近似為反應(yīng)曲線的起點(diǎn)，則曲線可表達(dá)為帶滯后的一階特性：?h2(t)=K?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T0t<τcτc

稱為容量滯后Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=55.3.3.2容量滯后與純滯后1.容量滯后將對(duì)象的容量特性造成的微小響應(yīng)區(qū)域近似成滯后τc

。是切線在時(shí)間軸上截出的時(shí)間段。對(duì)象的容量系數(shù)C越大，則τc越大；容量個(gè)數(shù)越多（階數(shù)n越多），τc也越大。0tτcTΔhΔh（∞）2.純滯后由信號(hào)或能量的傳輸時(shí)間造成的滯后現(xiàn)象，是純粹的滯后。如圖是一個(gè)蒸汽加熱系統(tǒng)。蒸汽進(jìn)入點(diǎn)與水溫測(cè)量點(diǎn)相距l(xiāng)，設(shè)水的流速為v，蒸汽量階躍增大引起的水溫升高，要滯后τ0才反應(yīng)出來。0tτ0℃有些對(duì)象容量滯后與純滯后同時(shí)存在，很難嚴(yán)格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時(shí)間τ

τ=τo+τc0tτcT0Δh2τ0Δh2（∞）?h2(t)=K?μ1

(1－e)t≥τ—(t－τ)T0t<τ5.4測(cè)試法建模根據(jù)工業(yè)過程中某對(duì)因果變量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到的數(shù)學(xué)模型。測(cè)定對(duì)象特性的實(shí)驗(yàn)方法主要有三種：（1）時(shí)域法——輸入階躍或方波信號(hào)，測(cè)對(duì)象的飛升曲線或方波響應(yīng)曲線。（2）頻域法——輸入不同頻率的正弦波，測(cè)對(duì)象的頻率特性。（3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)法——輸入隨機(jī)噪音信號(hào)，測(cè)對(duì)象輸出參數(shù)的變化。5.4.1階躍響應(yīng)曲線法建模給對(duì)象輸入階躍信號(hào)或方波信號(hào)測(cè)其輸出響應(yīng)。1．階躍響應(yīng)曲線的直接測(cè)定在對(duì)象處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時(shí)，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大），測(cè)試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應(yīng)曲線。LT閥門1閥門2Q1Q2有些工藝對(duì)象不允許長(zhǎng)時(shí)間施加較大幅度的擾動(dòng)，那么施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應(yīng)曲線稱為“方波響應(yīng)”。２．矩形脈沖法測(cè)定被控過程的階躍響應(yīng)曲線

一個(gè)是在t=0時(shí)加入的正階躍信號(hào)x1（t）另一個(gè)是在t=Δt

時(shí)加入的負(fù)階躍信號(hào)x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）方波響應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成階躍響應(yīng)。原理：方波信號(hào)是兩個(gè)階躍信號(hào)的代數(shù)和。＋ΔtΔttttxxxx0x0x0=根據(jù)此式，方波響應(yīng)曲線可逐點(diǎn)拆分為階躍響應(yīng)曲線y1（t）和y2（t）。對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也為兩個(gè)階躍響應(yīng)之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-Δt）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)5.4.1.2由階躍響應(yīng)曲線確定被控過程傳遞函數(shù)大多數(shù)工業(yè)對(duì)象的特性可以用具有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似描述：xtty0tyττ00對(duì)于少數(shù)無自衡特性的對(duì)象，可用帶滯后的積分特性近似描述：

xtty0tyττ00由對(duì)象的階躍響應(yīng)曲線基本可以辨識(shí)對(duì)象的特性模型結(jié)構(gòu)和特性參數(shù)。1、由階躍響應(yīng)確定一階慣性加滯后模型的特性參數(shù)一階對(duì)象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義。因此，可以在階躍響應(yīng)曲線上確定特性參數(shù)值。滯后時(shí)間τ的物理意義加入輸入后，輸出沒有響應(yīng)的時(shí)間段，就是滯后時(shí)間τttx0y(∞)yxτa.若階躍響應(yīng)是帶純滯后的一階慣性曲線ttx0y(∞)yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出對(duì)輸入的放大倍數(shù)。為了簡(jiǎn)便，可將滯后時(shí)間切去：K越大，表示對(duì)象的輸入對(duì)輸出的影響越大。y(∞)=K

x0則：K=y(∞)/

x0起點(diǎn)的斜率時(shí)間常數(shù)的物理意義對(duì)象受到階躍輸入后，若輸出保持初始速度變化，到新的穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間就是時(shí)間常數(shù)。曲線的斜率ttx0y(∞)yxT以此斜率在起點(diǎn)作直線，與y(∞)相交時(shí)所需時(shí)間正好等于T。作圖法求T：在階躍響應(yīng)起點(diǎn)上作切線，這條切線與h（∞）相交時(shí)所需時(shí)間正好等于T?；颍簩?duì)象受到階躍輸入后，輸出達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時(shí)間，等于時(shí)間常數(shù)T。tT0.632y∞)y計(jì)算法求T：取階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)變化幅值的63.2%，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間正好等于T。在相同的階躍輸入作用下，對(duì)象的時(shí)間常數(shù)不同時(shí)，被控變量的響應(yīng)曲線如圖所示。

T反映了對(duì)象輸出對(duì)輸入的響應(yīng)速度T越大，響應(yīng)越慢。如水槽對(duì)象中T=ARS

，說明水槽面積越大，水位變化越慢。T也反映了響應(yīng)時(shí)間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間理論上需要無限長(zhǎng)。當(dāng)t→∞時(shí)，才有y＝Kx0，但是當(dāng)t=3T時(shí)，便有：

即：經(jīng)過3T時(shí)間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95％。這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過程基本結(jié)束。tTy∞)3Tb.若階躍響應(yīng)是一條S形單調(diào)曲線用有純滯后的一階環(huán)節(jié)模型近似描述時(shí)：

作圖法：1）在響應(yīng)曲線的拐點(diǎn)處作一條切線，該切線與時(shí)間軸的交點(diǎn)切出τ；2）以τ為起點(diǎn)，與y(∞)的交點(diǎn)切出的時(shí)間段為T；3）K=y(∞)/x00tTy（∞）τy將y（t）轉(zhuǎn)換成無量綱的形式y(tǒng)*（t）0tKx0y(t)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，先消去y(t)中的系數(shù)KX0計(jì)算法：根據(jù)曲線上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)解方程，求T、τ。又稱兩點(diǎn)法：0t1y*(t)對(duì)有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應(yīng)為：

0t<τ

t≥τy*(t)=y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時(shí)刻的響應(yīng)y*（t）的坐標(biāo)值：

解方程組

得

y*（t1）=0.39y*（t2）=0.63τ=2t1–t2T=2（t1-t2）y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)為計(jì)算方便，取特殊兩點(diǎn)：則2.由階躍響應(yīng)曲線確定二階及高階模型特性參數(shù)若用一階慣性加滯后環(huán)節(jié)近似被控過程傳遞函數(shù)不能滿足精度要求，則可用高階模型描述。Oty(t)圖5.16根據(jù)階躍響應(yīng)確定二階滯后環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)T1、T2t2t1τy*(t)y(∞)0.80.4例如用二階慣性加滯后模型描述圖5.16曲線時(shí)，靜態(tài)放大系數(shù)K仍用穩(wěn)態(tài)幅值計(jì)算。純滯后時(shí)間τ可用作圖法確定。然后在時(shí)間軸上截去純滯后τ，并化為無量綱形式的階躍響應(yīng)y*(t)。此時(shí)，簡(jiǎn)化為：（T2>T1)階躍響應(yīng)：從響應(yīng)曲線上取兩點(diǎn)列方程組，求T1、T2y*（t1）=0.4

y*（t2）=0.8Oty(t)圖5.16根據(jù)階躍響應(yīng)確定二階滯后環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)T1、T2t2t1τy*(t)y(∞)0.80.4可以求出近似解：若適當(dāng)選取y*（t）的值，取5.4.2測(cè)定動(dòng)態(tài)特性的頻域法對(duì)象的頻率特性反映了對(duì)象對(duì)不同頻率信號(hào)的響應(yīng)特性。方法：在對(duì)象的輸入端加特定頻率的正弦信號(hào)，同時(shí)記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位）。在