第八章方差分析

第八章 方差分析例如要比較好、中、差三類學(xué)校學(xué)生的學(xué)習(xí)成績是否有顯著性差異，如果用上一章講過的t檢驗(yàn)方法來進(jìn)行檢驗(yàn)，就需要做3次配對檢驗(yàn)，即分別對好與中、好與差、中與差學(xué)校之間差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。如果要檢驗(yàn)一至六年級認(rèn)知發(fā)展水平差異的顯著性，仍用t檢驗(yàn)方法，根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式，可算得將要做15種配對檢驗(yàn)。分析利弊用t檢驗(yàn)或Z檢驗(yàn)法檢驗(yàn)各組的差異時(shí)，不僅麻煩，而且統(tǒng)計(jì)推斷的可靠度隨分組的組數(shù)增多而降低。如果做3次配對檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)的可靠度定為0.95，做3次統(tǒng)計(jì)推斷總的可靠度則變?yōu)?.953=0.86，犯錯誤的概率增加為0.14。如果進(jìn)行10次檢驗(yàn)，做10次推斷總的可靠度則變?yōu)?.9510=0.60，犯錯誤的概率變?yōu)?.40。因此，當(dāng)需要同時(shí)比較多組平均數(shù)時(shí)，最好不用兩兩配對比較的方法，而應(yīng)采用其他方法。即本章介紹的方差分析方法從總體上使可靠度保持在0.95或0.99的水平。第一節(jié) 方差分析的基本原理一、方差分析的目的方差分析的目的就在于對多組平均數(shù)綜合性地進(jìn)行差異的顯著性檢驗(yàn)。例：從某小學(xué)一、三、五年級隨機(jī)抽取各4人，向其呈現(xiàn)一組詞匯，記錄其識記結(jié)果，并繪成圖形。學(xué)生可能的得分結(jié)果多種多樣，如下圖所示的兩種可能情況。二、方差分析的邏輯123456789101112

261366753234

得分學(xué)生編號一五三年級①組間差異：②組內(nèi)差異：8642小大可能性一108642123456789101112一三五

2343106981091110①組間差異：大②組內(nèi)差異：小得分可能性二結(jié)論通過對組間差異與組內(nèi)差異比值的分析，來推斷幾個相應(yīng)平均數(shù)差異的顯著性，這就是方差分析的邏輯。

三、以F檢驗(yàn)來推斷幾個平均數(shù)差異的顯著性

方差分析就是要進(jìn)行F檢驗(yàn)。如果組間與組內(nèi)方差相等或相近，F(xiàn)比值等于或接近1，就應(yīng)該保留零假設(shè)，即認(rèn)為各組平均數(shù)無顯著性差異；如果F比值很大，超過了F抽樣分布上對應(yīng)于某個可靠度的臨界值，則應(yīng)該拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為組間與組內(nèi)方差有顯著性差異，由此可推斷，各組平均數(shù)之間有顯著性差異。

F檢驗(yàn)的步驟：第一步：提出假設(shè)各個總體平均數(shù)相等至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：計(jì)算F比值

對于某組數(shù)據(jù)與總平均數(shù)的離差平方和用公式表示就是：然后，計(jì)算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度

組間自由度：組內(nèi)自由度：

總自由度：

第三步：統(tǒng)計(jì)決斷

根據(jù)分子和分母自由度查F值的臨界值表，找在0.05和0.01顯著性水平上的臨界值。在這里，分子自由度為組間自由度，分母自由度為組內(nèi)自由度，在本例中分別為2和9。查教科書中的附表3，得

因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=33.42**>8.02，P<0.01，由此可以得出結(jié)論，三個年級學(xué)生的平均識記詞匯成績有極其顯著的差異。

四、方差分析中的幾個概念1.因素因素——即實(shí)驗(yàn)中的自變量。只有一個自變量的實(shí)驗(yàn)稱為單因素實(shí)驗(yàn)。有兩個或兩個以上自變量的實(shí)驗(yàn)稱為多因素實(shí)驗(yàn)。2.水平水平——指某一個因素的不同情況。水平有質(zhì)的不同和量的差異兩種情況。例1，所要研究的因素為性別，這個因素就可以分為男和女兩個不同的水平。例2，要研究不同教材所產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效果是否有顯著性差異，可以從四所學(xué)校同一個年級中各抽取一組學(xué)生，每組學(xué)生用一種教材進(jìn)行教學(xué)，然后比較各組學(xué)生學(xué)習(xí)成績的高低。例3，按IQ分?jǐn)?shù)的高低把被試分成高智商、智商中等和低智商三個水平。例4，按考試成績高低把學(xué)生分為高成就、成績中等和低成就三個水平。3.處理處理——指按單因素的各個“水平”條件或多因素的各個“水平”的組合條件進(jìn)行的重復(fù)實(shí)驗(yàn)。例如，要研究性別因素對智力發(fā)展的影響，可以從同齡學(xué)生中各抽取男女學(xué)生50名參加智力測驗(yàn)。性別因素所分成的兩個水平（男和女）即兩種處理。假如要研究四種教材及兩種教法對學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，那么四種教材與第一種教法結(jié)合的四種處理加上四種教材與第二種教法結(jié)合的四種處理，共有8種處理。第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析為了檢驗(yàn)?zāi)骋粋€因素多種不同水平間的差異的顯著性，將從同一個總體中隨機(jī)抽取的被試，再隨機(jī)地分入各實(shí)驗(yàn)組，施以各種不同的實(shí)驗(yàn)處理以后，用方差分析法對這多個獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析。又叫做獨(dú)立組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。解：第一步：提出假設(shè)至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)平方和的公式，計(jì)算得，然后，計(jì)算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=4.16*>3.10，P<0.05，由此可以得出結(jié)論，這四種計(jì)算機(jī)助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有顯著性的差異。例2：教科書107頁。二、n不相等的情況例1：為了研究作業(yè)量對小學(xué)五年級學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，從某小學(xué)五年級各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個平行班來做實(shí)驗(yàn)（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學(xué)習(xí)成績、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試，這三個班學(xué)生的成績?nèi)缦拢榱擞?jì)算方便，我們這里假定各班的人數(shù)都很少），問作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學(xué)成績？解：第一步：提出假設(shè)至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因?yàn)樵谶@里被試是用完全隨機(jī)抽樣的方法抽取來的，有多組被試，要以方差分析法進(jìn)行平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)，即計(jì)算F比值。將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)及總平方和的公式，計(jì)算得，

然后，計(jì)算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度

第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=6.87**>6.51，P<0.01，由此推翻零假設(shè)，既可以在0.01的顯著性水平上下結(jié)論，每天標(biāo)志的作業(yè)量不同使三個班中至少有兩個班的期末數(shù)學(xué)考試成績有極其顯著的差異。

例2：教科書109頁。三、運(yùn)用樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行組間與組內(nèi)方差的F檢驗(yàn)例1：某研究者為了研究看電視的時(shí)間對兒童寫作能力發(fā)展的影響，特隨機(jī)抽取了100名小學(xué)四學(xué)生，把這100名學(xué)生又隨機(jī)分成四組，每組有25人。A組學(xué)生每天允許看兩小時(shí)電視，B每天允許看1小時(shí)，C組每天允許看半小時(shí)，D組不許看電視。經(jīng)過半年實(shí)驗(yàn)，對這些學(xué)生進(jìn)行寫作能力測試，結(jié)果如下。解：第一步：提出假設(shè)至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量首先，由組間平方和的定義公式，得或者然后，計(jì)算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=61.37**>3.98，P<0.01，因此可以在0.01的顯著性水平上作出推斷，每天看電視的時(shí)間對兒童的寫作能力有極其顯著的影響。例2：教科書111頁。第三節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析用方差分析法對多個相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn)，稱之為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析。每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種方式：（3）區(qū)組內(nèi)以一個團(tuán)體為一個基本單元。在被試的安排上也可以有兩種方式，一種是從每個區(qū)組中只抽取一個團(tuán)體，這個團(tuán)體接受所有的處理；另一種是從每個區(qū)組中抽取的團(tuán)體數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整數(shù)倍，將這些團(tuán)體分成若干等份，每一部分被試接受一種實(shí)驗(yàn)處理。例如，將某市的學(xué)校分成五個區(qū)組：全國重點(diǎn)、市重點(diǎn)、區(qū)重點(diǎn)、一般學(xué)校和較差的學(xué)校，從這五個區(qū)組中分別抽取4所學(xué)校，實(shí)驗(yàn)中安排了A、B、C、D四種處理，這樣每個區(qū)組各有一所學(xué)校接受一種處理。檢查隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)恰當(dāng)不恰當(dāng)要看兩方面：一方面要看是不是每一個區(qū)組都接受了所有的實(shí)驗(yàn)處理，接受每一個處理的人數(shù)或團(tuán)體數(shù)相同；另一方面要看每一個實(shí)驗(yàn)處理在各個區(qū)組中重復(fù)的次數(shù)（人數(shù)或團(tuán)體數(shù)）是否相同。兩種單因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法的比較在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中，各組平均數(shù)之間差異是否顯著，要通過將組間方差與組內(nèi)方差比較才能得知。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)通過對各個實(shí)驗(yàn)處理都安排相同或匹配過的被試，這樣就可以計(jì)算，把個別差異從組內(nèi)方差中分離出來。

例1：教科書112頁。解：第一步：提出假設(shè)至少有兩個總體平均數(shù)不相等將表中的數(shù)據(jù)代入平方和的計(jì)算公式中，得其次，計(jì)算自由度總自由度：組間自由度：區(qū)組自由度：誤差自由度：因此，第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F組間=99.00**>6.99，P<0.01，F(xiàn)組內(nèi)=17.00**>6.99，P<0.01，因此可以在0.01的顯著性水平上推翻零假設(shè)，即可得出結(jié)論：這四種教材的教學(xué)效果有極其顯著的差異。由于各區(qū)組的平均數(shù)差異顯著，因此也可以說，這個實(shí)驗(yàn)采取區(qū)組設(shè)計(jì)是有必要的，并且是成功的。第四節(jié) 各個平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)對多組平均數(shù)的逐對差異檢驗(yàn)，以Newman-Keul提出的q檢驗(yàn)法（或稱N-K法）最為常用。一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的q檢驗(yàn)

1.各組n相等的情況例1：為了提高初三學(xué)生的物理成績，物理老師特設(shè)計(jì)了A、B、C、D四種計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的軟件。為了檢查這四種軟件的效果，從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名學(xué)生，分成4組，然后隨機(jī)指派每組學(xué)生去使用一種軟件。學(xué)期結(jié)束時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一考試，成績?nèi)缦?，問這四種助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有沒有不同？解：第一步：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值經(jīng)過前面的方差分析，得知得然后，將四個平均數(shù)依大小順序排列：平均數(shù) 68.33 70.17 72.83 78.50組名 B D A CA組與B組的平均數(shù)差異的其等級數(shù)a=3，相應(yīng)的q的臨界值為因?yàn)樗?，?yīng)該保留零假設(shè)，即A、B兩組平均數(shù)之間無顯著性差異。例2：從五所中學(xué)（全國重點(diǎn)、市重點(diǎn)、區(qū)重點(diǎn)、一般中學(xué)、較差的中學(xué)）同一個年級隨機(jī)各抽取3名學(xué)生，數(shù)學(xué)統(tǒng)一測驗(yàn)結(jié)果如表8.2所示，問五所學(xué)校數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績有無顯著性差異？（教科書第144頁）2.各組n不相等的情況例1：為了研究作業(yè)量對小學(xué)五年級學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，從某小學(xué)五年級各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個平行班來做實(shí)驗(yàn)（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學(xué)習(xí)成績、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試，問作業(yè)量不同是否影響了學(xué)習(xí)成績？例2：見教科書第117頁。例1：見教科書第118頁。一、各組n相等的情況例如，為了提高初三學(xué)生的物理成績，物理老師特設(shè)計(jì)了A、B、C、D四種計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的軟件。為了檢查這四種軟件的效果，從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名學(xué)生，分成4組，然后隨機(jī)指派每組學(xué)生去使用一種軟件。學(xué)期結(jié)束時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一考試，成績?nèi)缦?，問這四種助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有沒有不同？第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值=50.17=11.07=32.30=19.77通過比較，得因此，第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)K=4,df=6-1=5，查附表5，找到相應(yīng)的=0.05和=0.01兩個顯著性水平上的臨界值因?yàn)?4.53<13.7,p>0.05，所以方差齊性，因此可以說，前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。二、各組n不相等的情況例如，為了研究作業(yè)量對小學(xué)五年級學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，從某小學(xué)五年級各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個平行班來做實(shí)驗(yàn)（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學(xué)習(xí)成績、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試，這三個班學(xué)生的成績?nèi)缦拢榱擞?jì)算方便，我們這里假定各班的人數(shù)都很少），問作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學(xué)成績？第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值=25.30=18.17=4.33通過比較，得因此，第三步：統(tǒng)計(jì)決斷K=3,df=6-1=5，查附表5，找到相應(yīng)的兩個臨界值為因?yàn)?5.84<10.80，p.0.05所以要保留零假設(shè)，即方差齊性。因此可以認(rèn)為，前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。第六節(jié)多因素方差分析簡介一、多因素方差分析的功能多因素方差分析不僅可以檢驗(yàn)各個因素對因變量作用的顯著性，而且還可以檢驗(yàn)因素與因素間共同結(jié)合對因變量發(fā)生交互作用的顯著性。第二步：計(jì)算各假設(shè)所要檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的值對于A因素，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：對于B因素，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：對于A因素與B因素的交互作用，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度及=0.05和=0.01兩個顯著性水平查附表3尋找F臨界值。然后，將實(shí)際計(jì)算出的F值與這兩個臨界值相比較，若實(shí)際計(jì)算出的F值小于臨界值則保留零假設(shè)；如果實(shí)際計(jì)算出的F值大于臨界值則應(yīng)拒絕零假設(shè)。第四步：列出方差分析表例：為了研究3種小學(xué)英語教材用兩種不同的教學(xué)方法（一種是傳統(tǒng)講授法，另一種是將課堂講授與學(xué)生的游戲和活動結(jié)合起來的方法）所產(chǎn)生的教學(xué)效果有什么不同，研究者從小學(xué)五年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名被試，并隨機(jī)分成6組，每組有4名被試，每組被試被隨機(jī)指派接受一種實(shí)驗(yàn)處理，經(jīng)過一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗(yàn)之后進(jìn)行統(tǒng)一測試，結(jié)果如下，試對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。解：第一步：提出假設(shè)首先，提出關(guān)于A因素的假設(shè)：然后，提出關(guān)于B因素的假設(shè)：最后，提出關(guān)于A、B兩個因素交互作用是否顯著的假設(shè)：A、B兩個因素交互作用不顯著A、B兩個因素交互作用顯著A因素至少有兩個水平的總體平均數(shù)不相等第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值首先，計(jì)算平方和于是A因素組間平方和為：B因素平方和為：A與B交互作用的平方和為：然后，計(jì)算自由度=nK-1=46-1=23=6-1=5=Ka-1=3-1=2，=Kb-1=2-1，所以最后，計(jì)算各個F值第三步：統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子自由度、分母自由度查附表3，找到各個臨界值，即所以A因素F=1.10<3.55=B因素F=0.77<4.41=ABF=10.52**>8.29=，p>0.05，保留零假設(shè)，p>0.05，保留零假設(shè)，p<0.01，拒絕零假設(shè)差異來源SSdfMSFF0.05F0.01A因素30.3333215.16661.103.556.01B因素10.6666110.66660.77264.418.29A×B290.33342145.166710.5151組內(nèi)248.51813.8056總差異579.333323三種教材、兩種教法對學(xué)習(xí)成績影響的方差分析處理12…j…nTiA1x11x12…x1j…x1nT1A2X21X22…X2j…X2nT2…………………

AiX31X32…X3j…X3nTi…………………

AkXk1Xk2…Xkj…XknTk

T單因素?cái)?shù)據(jù)模式因素A重復(fù)因素

BTi.B1B2…Bj…BbA112…nx111x112…x11nx121x122…x12n…x1j1x1j2…x1jn…x1b1x1b2…x1bnT1.TijT