第一章復變函數(shù)

場論與復變函數(shù)通信工程學院場論與復變函數(shù)教學團隊課程編號：MS1009-01課程名：場論與復變函數(shù)

（FieldTheoryandComplexVariableFunctions）課程性質：必修學分/學時：3/48考核方式：平時成績+作業(yè)成績+期末考試成績教材：1.《復變函數(shù)》.西安交大高等數(shù)學教研室，第四版，北京：高等教育出版社，19962.《矢量分析與場論》.謝樹藝，第三版，北京：高等教育出版社，20053.《場論與復變函數(shù)習題冊》.西安電子科技大學場論與復變函數(shù)教學團隊，2015.

第一章復數(shù)與復變函數(shù)1

第八章場論8

第七章矢量分析7

第六章共性映射6

第五章留數(shù)5

第四章級數(shù)4

第三章復變函數(shù)的積分3

第二章解析函數(shù)2第一章復數(shù)與復變函數(shù)第一節(jié)復數(shù)及其代數(shù)運算

第二節(jié)復數(shù)的幾何表示

第三節(jié)復數(shù)的乘冪與方根

第四節(jié)區(qū)域

第五節(jié)復變函數(shù)

第六節(jié)復變函數(shù)的極限和連續(xù)性第一節(jié)復數(shù)及其代數(shù)運算一、復數(shù)的概念二、代數(shù)運算三、共軛復數(shù)一、復數(shù)的概念定義(1)設

x

和

y是任意兩個實數(shù)，(或者

)的數(shù)稱為復數(shù)。(2)x

和

y分別稱為復數(shù)

z的實部與虛部，并分別表示為：當y=0時，因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。(3)當x

=0時，稱為純虛數(shù)；就是實數(shù)。將形如其中

i

稱為虛數(shù)單位，即設與是兩個復數(shù)，如果則稱與相等。它們之間只有相等與不相等的關系。相等當且僅當特別地，復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)(虛部不為零)不能比較大小，注一、復數(shù)的概念設與是兩個復數(shù)，(1)復數(shù)的加減法加法減法(2)復數(shù)的乘除法乘法如果存在復數(shù)z，使得則除法二、代數(shù)運算四則運算(3)運算法則交換律結合律分配律二、代數(shù)運算三、共軛復數(shù)1.共軛復數(shù)的定義設是一個復數(shù)，定義稱為

z

的共軛復數(shù)，記作。共軛復數(shù)有許多用途。注比如2.共軛復數(shù)的性質其中，“”可以是(2)(1)性質三、共軛復數(shù)解(1)(2)證明復數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。

附：歷史知識——虛數(shù)史話卡爾丹稱它們?yōu)椤疤摌嫷牧俊被颉霸庌q的量”。他還把它

們與負數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)”；把正數(shù)稱為“證實數(shù)”兩數(shù)的和是

10

,積是

40

,求這兩數(shù)．卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把

10

分成和即可

1545

年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在《大術》中求解這樣的問題：卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權威韋達和他的學生哈里奧特的責難附：歷史知識——虛數(shù)史話整個十七世紀，很少有人理睬這種“虛構的量”。僅有

極少數(shù)的科學家對其存在性問題爭論不休。1632

年，笛卡爾在《幾何學》中首先把這種“虛構的量”

改稱為“虛數(shù)”，與“實數(shù)”相對應。同時，還給出了如

今意義下的“復數(shù)”的名稱。附：歷史知識——虛數(shù)史話到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關注起來。1722

年，法國數(shù)學家棣莫弗給出棣莫弗定理：

其中

n

是大于零的整數(shù)。1748

年，歐拉給出了著名的公式：并證明了棣莫弗定理對

n是實數(shù)時也成立。1777

年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文《微分公式》中首次使用

i來表示附：歷史知識——虛數(shù)史話十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立下來。1797

年，當時年僅20歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復數(shù)的真實意義。十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展成為一個龐大的數(shù)學分支。而且

n次多項式恰好有

n個根。任何多項式在復數(shù)域里必有根，即附：歷史知識——虛數(shù)史話附：人物介紹——高斯許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。幾乎對數(shù)學的所有領域都做出了重大貢獻。享有數(shù)學王子的美譽。德國數(shù)學家、

(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理學家、天文學家高斯去世后，哥廷根大學對高斯的文稿進行了整理，歷時67年，出版了《高斯全集》，共12卷。在哥廷根大學的廣場上，矗立著一座用白色大理石砌成的紀念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀念碑上是高斯的青銅雕像。附：人物介紹——高斯第二節(jié)復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾種表示方法二、曲線的復數(shù)方程一、復數(shù)的幾種表示方法此時，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸。在平面上建立一個直角坐標系，定義用坐標為

的點來表示復數(shù)從而將全體復數(shù)和平面上的全部點一一對應起來，的平面稱為復平面或者這樣表示復數(shù)zz

平面。1.1復平面引進復平面后，復數(shù)

z

與點

z

以及向量

z

視為同一個概念。在復平面上，從原點到點所引的向量與該復數(shù)z

也構成一一y

實軸虛軸xO對應關系(復數(shù)零對應零向量)。

比如，復數(shù)的加減法等同于向量的平行四邊形法則。一、復數(shù)的幾種表示方法1.1復平面將復數(shù)和向量對應之后，除了利用實部與虛部來給定一個復數(shù)以外，還可以借y

xOxy定義設

z

是一個不為

0

的復數(shù)，(1)向量

z

的長度

r稱為復數(shù)

z

的模，記為助向量的長度與方向來給定一個復數(shù)。(2)向量

z

的“方向角”稱為復數(shù)

z

的輻角，記為P一、復數(shù)的幾種表示方法1.1復平面1.2復數(shù)的模與輻角向量法:復數(shù)的模三角不等式幾何上oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1一、復數(shù)的幾種表示方法xy+-

兩點說明(1)輻角是多值的，(2)輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負號。相互之間可相差其中

k

為整數(shù)。例如對于復數(shù)則有復數(shù)

0

的模為

0，輻角無意義。注1.2復數(shù)的模與輻角一、復數(shù)的幾種表示方法由此就有如下關系：主輻角對于給定的復數(shù)

設有滿足：且則稱為復數(shù)

z

的主輻角，或輻角的主值，記作(z不在負實軸和原點)1.2復數(shù)的模與輻角一、復數(shù)的幾種表示方法(1)已知實部與虛部，求模與輻角。y

xOxy1.3相互轉換關系一、復數(shù)的幾種表示方法解(1)已知實部與虛部，求模與輻角。(2)已知模與輻角，求實部與虛部。

由此引出復數(shù)的三角表示式。一、復數(shù)的幾種表示方法1.3相互轉換關系y

xOxy稱為復數(shù)

z

的三角表示式。y

xOxy如圖，有定義設復數(shù)

r

是

z

的模，是z

的任意一個輻角，由一、復數(shù)的幾種表示方法2.1復數(shù)的三角表示利用歐拉公式得稱為復數(shù)

z

的指數(shù)表示式。定義設復數(shù)

r

是

z

的模，是z

的任意一個輻角，但習慣上一般取為主輻角。在復數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注一、復數(shù)的幾種表示方法2.2復數(shù)的指數(shù)表示解復數(shù)z的三角表示式為復數(shù)z

的指數(shù)表示式為設乘法即兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；2.3利用指數(shù)表示進行復數(shù)的乘除法運算一、復數(shù)的幾種表示方法設除法兩個復數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即2.3利用指數(shù)表示進行復數(shù)的乘除法運算一、復數(shù)的幾種表示方法正確理解特別注意：由于輻角的多值性，該等式兩端都是由無窮多個數(shù)構成的兩個數(shù)集，等式兩端可能取的值的全體是相同的。也就是說，對于左端的任一值，右端必有一值和它相等，反過來也一樣。分別從集合中與集合中任取一個元素(即輻角)，相加后，得到集合中的一個元素(即輻角)。也就是說：例計算解由有附一些“簡單”復數(shù)的指數(shù)形式解由有附：人物介紹——歐拉如今幾乎每一個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的歐拉線多面體的歐拉定理解析幾何的歐拉變換四次方程的歐拉解法數(shù)論中的歐拉函數(shù)微分方程的歐拉方程級數(shù)論的歐拉常數(shù)變分學的歐拉方程復變函數(shù)的歐拉公式…………附：人物介紹——歐拉瑞士數(shù)學家、自然科學家(1707～1783)歐拉LeonhardEuler十八世紀數(shù)學界最杰出的人物之一。數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家。不但為數(shù)學界作出貢獻，而且把數(shù)學推至幾乎整個物理領域。(牛頓全集

8

卷，高斯全集

12

卷)彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。整理出他的研究成果多達74卷。歐拉是科學史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學家。以每年平和論文。均800

頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。一生共寫下886本書籍分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，其中附：人物介紹——歐拉歐拉極其頑強的毅力！可以在任何不良的環(huán)境中工作。常常抱著孩子在膝上完成論文。在雙目失明以后，也沒有停止對數(shù)學的研究。在失明后的17年間，還口述了400篇左右的論文。附：人物介紹——歐拉其中，N為北極，S

為南極。這樣的球面稱作復球面。對復平面上的任一點用直線將

點

相反的，球面上除

N

點外的任意點，用一直線段把點

和

N

連接起來，這條線的延長線與復平面相交于一點p。即與

N點相連，與球面相交于點。p如圖，作一球面與復平面在坐標圓點相切pp3.1復球面一、復數(shù)的幾種表示方法定義在復數(shù)中與復平面上的無窮遠點相對應的唯一復數(shù)，稱為無窮大，記為。定義當z點無限遠離原點時，或當無限變大時，點P

就無

限接近于N，即。與復球面上點N對應的復平面上的唯一點，稱為無窮遠點。3.2無窮遠點與無窮大一、復數(shù)的幾種表示方法(2)(3)

法則(1)均無意義。無意義。

實部虛部是多少?問題

模與輻角是多少?3.2無窮遠點與無窮大一、復數(shù)的幾種表示方法(2)不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面，或者簡稱為復平面。(1)包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面；定義3.3擴充復平面一、復數(shù)的幾種表示方法二、曲線的復數(shù)方程

如何相互轉換？(1)(2)在直角平面上在復平面上考察以原點為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程。(2)在復平面上(1)在直角平面上例1指出下列方程表示的曲線解:法1.法2.解:解:解:由向量的性質解:由幾何意義，圓的方程為?例4指出滿足下列條件的點z的全體所構成的圖形.解:解:解:如圖:另解:第三節(jié)復數(shù)的乘冪與方根一、復數(shù)的乘冪二、復數(shù)的方根復數(shù)z的乘冪，設

z

是給定的復數(shù)，

n為正整數(shù)，n個

z相乘的積稱為定義一、復數(shù)的乘冪設則法則

利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。即記為定義由以及復數(shù)的三角表示式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式一、復數(shù)的乘冪例復數(shù)求方根是復數(shù)乘冪的逆運算。設z是給定的復數(shù)，n是正整數(shù)，求所有滿足的復數(shù)w，稱為把復數(shù)z

開n次方，或者稱為求復數(shù)z的n

次方根，定義記作或

復數(shù)z的

n

次方根一般是多值的。二、復數(shù)的方根

利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。設推導即得——正實數(shù)的算術根。由有二、復數(shù)的方根描述在復平面上，這

n

個根均勻地為半徑的圓周上。根的輻角是分布在一個以原點為中心、以其中一個當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。二、復數(shù)的方根例求解具體為：例求解方程解具體為：第四節(jié)區(qū)域一、區(qū)域的概念二、連通域設為復平面上的一點，定義dz0dz0(1)稱點集為點的鄰域；(2)稱點集為點的去心鄰域。一、區(qū)域的概念1.1

鄰域M設實數(shù)

M

>

0，定義(1)包括無窮遠點在內(nèi)且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠點的鄰域。(2)不包括無窮遠點在內(nèi)且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠點的去心鄰域，也可記為1.2無窮遠點的鄰域一、區(qū)域的概念內(nèi)點1.3內(nèi)點、外點與邊界點(1)內(nèi)點外點邊界點考慮某平面點集

G

以及某一點，(2)有外點(1)(2)有邊界點(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點的全體稱為

G的邊界。一、區(qū)域的概念1.4開集與閉集開集如果

G

的每個點都是它的內(nèi)點，則稱

G為開集。閉集如果

G的邊界點全部都屬于

G

，則稱

G為閉集。一、區(qū)域的概念1.5區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點集

D

稱為一個區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件:(1)D

是一個開集；(2)D是連通的，閉區(qū)域區(qū)域

D

與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域,記作

D。不連通的一條折線連接起來。即

D

中任何兩點都可以用完全屬于

D連通有界區(qū)域:稱D為有界區(qū)域。一、區(qū)域的概念區(qū)域1-

2

+

i閉區(qū)域(角形)區(qū)域2.1平面曲線連續(xù)曲線:稱為復變量實參數(shù)曲線方程。光滑曲線:有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線。二、連通域考慮連續(xù)曲線簡單曲線當時，簡單閉曲線簡單曲線且簡單、不閉簡單、閉不簡單、閉不簡單、不閉或稱為若爾當(Jardan)曲線,即無重點曲線即起點與終點重合2.1平面曲線二、連通域任一條簡單閉曲線

C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。有向曲線：設

C

為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定

C的兩個可能方向中的一個作為正向，則

C為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為

C。代表與

C的方向相反(即

C的負方向)的曲線。如果相應地，

則2.1平面曲線二、連通域逆時針方向。

簡單閉曲線的正向一般約定為：當曲線上的點

P順此方向沿曲線前進時,曲線所圍成的

區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：當邊界上的點

P順此方向沿邊界前進時,所考察的區(qū)域有界區(qū)域始終位于

P點的左邊。始終位于

P

點的左邊。注意區(qū)域可以是多連域。2.1平面曲線二、連通域2.2單連通域與多連通域定義復平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。單連通域B，屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點，而多連通域不具備這個特征。特征單連通域（無洞）多連通域（有洞）B二、連通域第五節(jié)復變函數(shù)一、復變函數(shù)的定義二、映射的概念基本概念定義—與實變函數(shù)定義相類似一、復變函數(shù)的定義一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。比如

多值函數(shù)對每個有多個

w

與它對應；比如對每個有唯一的

w

與它對應；

單值函數(shù)一、復變函數(shù)的定義例如:基本概念——復變函數(shù)與實變函數(shù)之間的關系

一個復變函數(shù)對應兩個二元實變函數(shù)——

轉化為對實變函數(shù)的研究一、復變函數(shù)的定義分開實部與虛部即得代入得解記G*映射復變函數(shù)在幾何上被看作是

z平面上的一個平面z平面w點集變到

w

平面上的一個點集的映射(或者變換)。其中，點集稱為像，點集稱為原像。

函數(shù)、映射以及變換可視為同一個概念。Gzxywuv圖形表示——復變函數(shù)的幾何意義二、映射的概念反函數(shù)與逆映射一一映射為

w

平面上的點集

，設函數(shù)的定義域為z平面上的點集,函數(shù)值集合一個(或幾個)點z，函數(shù)它稱為函數(shù)

的反函數(shù)，也稱為映射的逆映射。若映射

與它的逆映射都是單值的，則稱映射是一一映射。則

中的每個點

w

必將對應著

中的按照函數(shù)的定義，在

上就確定了一個二、映射的概念解(1)點對應的點為(2)

區(qū)域D

可改寫為：令則可得區(qū)域D

的像(區(qū)域)G

滿足即函數(shù)對應于兩個二元實變函數(shù)例因此，它把

z

平面上的兩族雙曲線分別映射成

w

平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20解法1.Z法287第六節(jié)復變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、復變函數(shù)的極限二、復變函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)在的去心領域

內(nèi)有定義

,若存在復數(shù)當時，有記作或(1)

函數(shù)在點可以無定義；(2)

趨向于的方式是任意的；則稱A為函數(shù)當z趨向于z0時的極限，使得(3)若f(z)

在處有極限,其極限是唯一的一、極限注xyz0d幾何意義uvAef

(z)z

當變點z

一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中一、極限定理一設證明如果則當時，則必要性一、極限充分性則當時，如果證明定理一設則一、極限意義：此定理的意義在于，復變量