高中數學人教A版第四章圓和方程 第29課時

第29課時直線與圓的方程的應用課時目標1.會應用坐標法解決解析幾何問題．2．會應用數形結合的數學思想方法求與圓有關的最值問題．3．會用數學建模的思想方法解決一些實際問題．識記強化1．圓與直線位置關系的判定方法．(1)代數法：圓與直線方程組成方程組，消去x(或y)得到關于y(或x)的二次方程，判別式Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相離．(2)幾何法：圓心到直線距離d，半徑r，d>r相離，d＝r相切；d<r相交．2．圓的半徑為r，圓心到直線的距離d，直線被圓截得的弦長公式：|AB|＝2eq\r(r2－d2).課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．方程y＝－eq\r(4－x2)對應的曲線是()答案：A解析：由方程y＝－eq\r(4－x2)得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝4在x軸之下的部分．2．若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B兩點，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為()A．－1B．0C．1D．6答案：B解析：聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－32＋y－32＝4,x－y＋2＝0))消去y，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1,3)，B(3,5)又∵C為(3,3)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,0)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2)∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2×0＋0×2＝0.3．若直線y＝x＋b與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)有公共點，則實數b的取值范圍是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)]B．[1－eq\r(2)，3]C．[－1,1＋2eq\r(2)]D．[1－2eq\r(2)，3]答案：D解析：在平面直角坐標系內畫出曲線y＝3－eq\r(4x－x2)與直線y＝x，在平面直角坐標系內平移該直線，如圖．結合圖象分析，可知當直線向左上方平移到過點(0,3)的過程中的任何位置時，相應的直線與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)都有公共點；當直線向右下方平移到與以點(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切的過程中的任何位置時，相應的直線與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)都有公共點．又與直線y＝x平行且過點(0,3)的直線方程是y＝x＋3；當直線y＝x＋b與以點(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時，有eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1±2eq\r(2)，結合圖形，可知b＝1＋2eq\r(2)，不符合題意，舍去．所以滿足題意的實數b的取值范圍是[1－2eq\r(2)，3]．4．直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且與直線x＋2y＋3＝0垂直，則直線l的方程為()A．x＋2y＝0B．2x－y＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0答案：B解析：已知圓的圓心為(1,2)，設直線l的方程為2x－y＋c＝0將(1,2)代入，解得c＝0，所以直線l的方程為2x－y＝0.5．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC面積的最小值是()A．3－eq\r(2)B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2)\f(3－\r(2),2)答案：A解析：由題意，可得lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)，∴圓心到lAB的距離d＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴AB邊上的高的最小值為eq\f(3\r(2),2)－1.又|AB|＝eq\r(－22＋－22)＝2eq\r(2)，∴△ABC面積的最小值為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(eq\f(3\r(2),2)－1)＝3－eq\r(2).6．已知兩點A(－1,0)、B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是()A．2，eq\f(1,2)(4－eq\r(5))\f(1,2)(4＋eq\r(5))，eq\f(1,2)(4－eq\r(5))\f(1,2)eq\r(5)，4－eq\r(5)\f(1,2)(eq\r(5)＋2)，eq\f(1,2)(eq\r(5)－2)答案：B解析：以AB為底邊，則P到直線AB的距離有最值時，△PAB的面積取得最值，直線AB的方程為2x－y＋2＝0，AB＝eq\r(5)，圓心到直線AB的距離為d＝eq\f(|2×1－0＋2|,\r(22＋1))＝eq\f(4\r(5),5)，所以P到直線AB的最大距離、最小距離分別為1＋eq\f(4\r(5),5)、eq\f(4\r(5),5)－1，所以△PAB面積的最大值與最小值分別為eq\f(1,2)(4＋eq\r(5))，eq\f(1,2)(4－eq\r(5))．二、填空題(每個5分，共15分)7．若圓O：x2＋y2＝4和圓C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4關于直線l對稱，則直線l的方程為________．答案：x－y＋2＝0解析：兩圓的圓心分別為O(0,0)，C(－2,2)，由題意，知l為線段OC的垂直平分線，故其方程為x－y＋2＝0.8．如圖所示，一座圓拱橋，當水面在如圖位置時，拱橋頂部離水面2m，水面寬12m，則當水面下降1答案：2eq\r(51)解析：如圖，建立平面直角坐標系，設初始水面在AB處，則由已知，得A(6，－2)，設圓C的半徑為r，則C(0，－r)，圓C的方程為x2＋(y＋r)2＝r2，將A(6，－2)代入，得r＝10，所以圓C的方程為x2＋(y＋10)2＝100.①當水面下降1m到A′B′后，設A′(x0，－3)(x0＞0)．將A′(x0，－3)代入①式，求得x0＝eq\r(51)，所以當水面下降1m后，水面寬為2x0＝29．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________．答案：x＝eq\f(3,2)解析：由切線長相等得|PO|2－2＝|PO′|2－6，即|PO′|2－|PO|2＝4設P(x，y)，則(x－4)2＋y2－(x2＋y2)＝4解得x＝eq\f(3,2).三、解答題10．(12分)一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km解：以臺風中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示．取10km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓O的方程為x2＋y2＝9，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，則輪船航線所在直線的方程為eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圓心O(0,0)到直線4x＋7y－28＝0的距離d＝eq\f(|28|,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))＞3，所以直線4x＋7y－28＝0與圓O外離，所以輪船不會受到臺風的影響．11．(13分)已知直線2x＋y＋c＝0與曲線y＝eq\r(1－x2)有兩個公共點，求c的取值范圍．解：曲線y＝eq\r(1－x2)，整理得x2＋y2＝1(y≥0)，直線2x＋y＋c＝0可變形為y＝－2x－c.如圖，要使直線與曲線有兩個公共點，則直線過點(1,0)時，c有最大值；直線在y軸右側和圓相切時，c有最小值；直線過點(1,0)時，c＝－2；直線在y軸右側和圓相切時，eq\f(|c|,\r(22＋1))＝1，解得c＝－eq\r(5)，或c＝eq\r(5)(舍去)，所以c的取值范圍是(－eq\r(5)，－2]．能力提升12．(5分)在平面直角坐標系xOy中，設直線y＝eq\r(3)x＋2m和圓x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，0<|m－n|≤1，若函數f(x)＝mx＋1－n的零點x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________.答案：0解析：∵直線y＝eq\r(3)x＋2m和圓x2＋y2＝n2相切．∴eq\f(|2m|,2)＝n，即2m＝2n，∵m，n∈N*,0<|m－n|≤1，∴m＝3，n＝4.∴f(x)＝3x＋1－4，令3x＋1－4＝0，得x＝log34－1∈(0,1)，故k＝0.13．(15分)一束光線l自A(－3,3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上．(1)求反射線通過圓心C時，光線l的方程；(2)求在x軸上，反射點M的范圍．解：⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝1.(1)C關于x軸的對稱點C′(2，－2)，過A，C′的方程：x＋y＝0為光線l的方程．(2)A關于x軸的對稱點A′(－3，－3)，設過A′的直線為y＋3＝k(x＋3)，當該直線