第6章 灰色決策方法2016

決策理論與方法第六章灰色決策方法學(xué)習(xí)目的了解灰數(shù)、灰色關(guān)聯(lián)、灰色聚類的概念、原理與計算；掌握灰色決策的基本概念以及幾類常用的經(jīng)典灰色決策分析方法和技巧，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)灰色決策的理論與方法奠定一定的基礎(chǔ)?；疑到y(tǒng)理論產(chǎn)生的科學(xué)背景現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)在高度分化的基礎(chǔ)上高度綜合的大趨勢，導(dǎo)致了具有方法論意義的系統(tǒng)科學(xué)學(xué)科群的出現(xiàn)。系統(tǒng)科學(xué)揭示了事物之間更為深刻、更具本質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系，大大促進了科學(xué)技術(shù)的整體化進程；許多科學(xué)領(lǐng)域中長期難以解決的復(fù)雜問題隨著系統(tǒng)科學(xué)新學(xué)科的出現(xiàn)迎刃而解；人們對自然界和客觀事物演化規(guī)律的認識也由于系統(tǒng)科學(xué)新學(xué)科的出現(xiàn)而逐步深化。

灰色系統(tǒng)理論產(chǎn)生的科學(xué)背景(1)系統(tǒng)論(SystemTheory),創(chuàng)始人：L.Von.Bertalanffy。1925年提出，1945年發(fā)表第一篇論文，1968年出版代表作《一般系統(tǒng)理論—基礎(chǔ)、發(fā)展和應(yīng)用》。(2)

信息論（InformationTheory）,創(chuàng)始人：C.E.Shannon。1948年發(fā)表標志性論文“通訊的數(shù)學(xué)理論”。(3)

控制論（Cybernetics）,創(chuàng)始人：N.Wiener。1943年發(fā)表第一篇論文，1948年出版代表作《控制論》。(4)

耗散結(jié)構(gòu)理論（DissipativityStructureTheory）,創(chuàng)始人：I.Prigogine.1969年發(fā)表第一篇論文。(5)

協(xié)同學(xué)（Synergetics）創(chuàng)始人：H.Haken.1971年提出，1976年出版代表作《協(xié)同學(xué)導(dǎo)論》。(6)突變論（CatastropheTheory）,創(chuàng)始人：R.Thom，1972。(7)

混沌理論(ChaosTheory),亦稱紊亂學(xué)(DisorderTheory)，1964年，薩可夫斯基（ЩАКОЬСКИЙ）證明關(guān)于k周期點的結(jié)果；1975年，Yorke&Li證明關(guān)于3周期點的結(jié)果,提出混沌概念；代表人物：M.Feigenbaum，70年代中。(8)分形理論(FractalTheory),70年代，Mandelbrot(9)超循環(huán)理論(HypercycleTheory),70年代中，M.Eigen.灰色系統(tǒng)理論產(chǎn)生的科學(xué)背景(10)運籌學(xué)（OR），1940;單純形方法，1947（G.B.Dantzig）(11)系統(tǒng)動力學(xué)（SD），J.W.Forrester，50年代(12)遺傳算法（GeneticAlgorithms)JohnH.Holland,1975(13)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ArtificialNeuralNetworks）1943,W.W.McCullon&Pitts二值神經(jīng)元模型1949,O.Hebb神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)準則1958,F.Rosenblatt感知器1960年代初,B.Widrow&M.Hoff線性自適應(yīng)元1970年代初,PaulWerbos,BP算法1982,J.Hopfield,Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(14)模糊數(shù)學(xué)（FuzzyMathematics,1965，L.A.Zadeh）.(15)粗糙集理論(RoughSetTheory，1982，Z.Pawlak）(16)未確知數(shù)學(xué)（UncertaintyMathematics,1990年代初，王光遠）(17)泛系理論(Pansystems,1970年代中，吳學(xué)謀)(18)灰色系統(tǒng)理論（GreySystemsTheory,1982，鄧聚龍）(19)可拓學(xué)（Extenics,亦稱物元分析(Matter-elementanalysis),(1983，蔡文）(20)集對分析（Setpairanalysis),1990年代，趙克勤）

這些都是解決不確定性和復(fù)雜性問題的研究成果。這些成果從不同角度、不同側(cè)面論述了描述和處理各類不確定性信息的理論和方法?；疑到y(tǒng)理論的產(chǎn)生與發(fā)展動態(tài)鄧聚龍教授1933年生,湖南漣源人,華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程系灰色系統(tǒng)理論的提出:1982年1.“TheControlproblemofgreysystems”,System&ControlLetter2.“灰色控制系統(tǒng)”,華中工學(xué)院學(xué)報標志著灰色系統(tǒng)理論這一新興橫斷學(xué)科的問世?；疑到y(tǒng)理論（GreySystemTheory）的創(chuàng)立源于20世紀80年代。鄧聚龍教授在1981年上海中-美控制系統(tǒng)學(xué)術(shù)會議上所作的“含未知數(shù)系統(tǒng)的控制問題”的學(xué)術(shù)報告中首次使用了“灰色系統(tǒng)”一詞。灰色理論的創(chuàng)立1982年，鄧聚龍發(fā)表了“參數(shù)不完全系統(tǒng)的最小信息正定”、“灰色系統(tǒng)的控制問題”等系列論文，奠定了灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)。他的論文在國際上引起了高度的重視，美國哈佛大學(xué)教授、《系統(tǒng)與控制通信》雜志主編布羅克特（Brockett）給予灰色系統(tǒng)理論高度評價，因而，眾多的中青年學(xué)者加入到灰色系統(tǒng)理論的研究行列，積極探索灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究。鄧聚龍系統(tǒng)理論則主張從事物內(nèi)部，從系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及參數(shù)去研究系統(tǒng)，以消除“黑箱”理論從外部研究事物而使已知信息不能充分發(fā)揮作用的弊端，因而，被認為是比“黑箱”理論更為準確的系統(tǒng)研究方法。灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與發(fā)展動態(tài)從事灰色系統(tǒng)研究的學(xué)者遍布全球：中國（包括全國各省、市、自治區(qū)及港、澳、臺地區(qū)）、英國、日本、美國、澳大利亞、德國、加拿大、奧地利、俄羅斯、新加坡、意大利、法國…許多重要國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論專題：不確定性系統(tǒng)建模國際會議、系統(tǒng)預(yù)測控制國際會議、國際一般系統(tǒng)研究會年會、系統(tǒng)與控制世界組織年會…灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與發(fā)展動態(tài)1989年，國際雜志《灰色系統(tǒng)學(xué)報》(TheJournalofGreySystem)（SA,MR,MA…核心期刊）在英國創(chuàng)刊。數(shù)百種國際國內(nèi)學(xué)術(shù)期刊接受、發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，美國計算機學(xué)會會刊、臺灣《模糊數(shù)學(xué)通訊》出版灰色系統(tǒng)專輯，系統(tǒng)與控制國際雜志Kybernetes(SCI源期刊)用一期的版面集中介紹了我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)研究成果灰色系統(tǒng)學(xué)術(shù)著作已出版60余種：科學(xué)出版社、國防工業(yè)出版社、華中理工大學(xué)出版社、江蘇科學(xué)技術(shù)出版社、山東人民出版社、科學(xué)技術(shù)文獻出版社、臺灣全華科技圖書出版社、臺灣高立圖書有限公司、日本理工出版社、美國IIGSS學(xué)術(shù)出版社…灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與發(fā)展動態(tài)全球近300所高校或研究機構(gòu)開設(shè)灰色系統(tǒng)課程：華中科技大學(xué)、中國人民大學(xué)、清華大學(xué)、浙江大學(xué)、山東大學(xué)、南京航空航天大學(xué)、美國馬里蘭大學(xué)、日本豐橋大學(xué)、神奈川大學(xué)、維也納經(jīng)濟大學(xué)、法國宇航中心、臺灣中央大學(xué)、成功大學(xué)、大同工學(xué)院…《中國大百科全書》、《系統(tǒng)科學(xué)大辭典》、《中國科學(xué)技術(shù)藍皮書（第8號）》等充分肯定我國首創(chuàng)的灰色系統(tǒng)理論成果。一批新興邊緣學(xué)科應(yīng)運而生：灰色水文學(xué)、灰色地質(zhì)學(xué)、灰色育種學(xué)、灰色哲學(xué)…華中科技大學(xué)、南京航空航天大學(xué)、福州大學(xué)、武漢理工大學(xué)招收、培養(yǎng)灰色系統(tǒng)專業(yè)博士研究生，國內(nèi)外數(shù)千名博士、碩士研究生應(yīng)用灰色系統(tǒng)的理論、方法、模型開展科學(xué)研究、撰寫學(xué)位論文?；疑到y(tǒng)理論的產(chǎn)生與發(fā)展動態(tài)國家及各省、市科學(xué)基金積極資助灰色系統(tǒng)研究，每年都有一大批灰色系統(tǒng)理論或應(yīng)用研究項目獲得各類基金資助。200多項灰色系統(tǒng)成果獲得國家或省部級獎勵；2002年，我國灰色系統(tǒng)學(xué)者劉思峰教授獲系統(tǒng)與控制世界組織獎。SCI,EI,ISTP,SA,MR,MA等國際權(quán)威性檢索機構(gòu)跟蹤、摘引我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著3000多次，據(jù)中國科學(xué)引文數(shù)據(jù)庫（CSCD）統(tǒng)計，多年來，鄧聚龍教授的論著被引用次數(shù)一直居全國第一。

總體而言,灰色系統(tǒng)理論作為一門新興橫斷學(xué)科,正處于蓬勃發(fā)展中.幾種不確定性方法比較分析模糊數(shù)學(xué)著重研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進行處理。概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種典型分布?；疑到y(tǒng)理論研究的是“部分信息明確，部分信息未知”的“小樣本，貧信息”不確定性系統(tǒng)，它通過對已知“部分”信息的開發(fā)、生成去了解、認識現(xiàn)實世界。著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象。幾種不確定性方法比較分析項目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)研究對象貧信息不確定隨機不確定認知不確定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認知表達特色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗灰色系統(tǒng)的基本概念所謂灰色系統(tǒng)

是指部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)理論所要考察和研究的是信息不完全的系統(tǒng)，通過對已知信息來研究和預(yù)測未知領(lǐng)域從而達到了解整個系統(tǒng)的目的。灰色系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)信息不完全（2）結(jié)構(gòu)信息不完全（1）元素信息不完全（4）運行行為信息不完全（3）邊界信息不完全灰色系統(tǒng)的基本概念“信息不完全”是“灰”的基本含義。從不同場合、不同角度看，還可以將“灰”的含義加以引申灰色系統(tǒng)的基本原理公理1、差異信息原理。差異即信息，凡信息必有差異。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。公理3、最少信息原理灰色系統(tǒng)理論的特點是充分利用已占有的“最少信息”。公理4、認知根據(jù)原理。信息是認知的根據(jù)。公理5、新信息優(yōu)先原理。新信息對認知的作用大于老信息。公理6、灰性不滅原理“信息完全”是相對的,“信息不完全”是絕對的?；疑到y(tǒng)理論的主要研究內(nèi)容理論模型應(yīng)用灰色系統(tǒng)的哲學(xué)思想灰色系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)序列算子預(yù)測模型關(guān)聯(lián)分析聚類分析決策模型工程應(yīng)用控制模型經(jīng)濟管理農(nóng)業(yè)系統(tǒng)生態(tài)系統(tǒng)灰色系統(tǒng)理論的主要研究內(nèi)容灰數(shù)學(xué);灰色代數(shù)系統(tǒng)、灰色矩陣、灰色方程等是灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)。灰色序列生成;主要包括緩沖算子（弱化緩沖算子、強化算子）、均值生成算子、級比生成算子、累加生成算子和累減生成算子等?；疑到y(tǒng)分析;除灰色關(guān)聯(lián)分析外，還包括灰色聚類和灰色統(tǒng)計評估等方面的內(nèi)容?；疑Ｐ?通過灰色生成弱化隨機性，挖掘數(shù)據(jù)規(guī)律，經(jīng)過差分方程與微分方程之間的互換實現(xiàn)離散數(shù)據(jù)序列建立連續(xù)的動態(tài)微分方程的新飛躍。灰色組合模型;包括灰色經(jīng)濟計量學(xué)模型（G-E）、灰色生產(chǎn)函數(shù)模型(G-C-D)、灰色馬爾可夫模型(G-M)、灰色時序組合模型等?；疑珱Q策;包括灰靶決策、灰色關(guān)聯(lián)決策、灰色統(tǒng)計、聚類決策、灰色局勢決策和灰色層次決策等?；疑珒?yōu)化技術(shù);包括灰色線形規(guī)劃、灰色非線性規(guī)劃、灰色整數(shù)規(guī)劃和灰色動態(tài)規(guī)劃等?；疑┺哪Ｐ?包括基于純策略的灰矩陣博弈模型和基于混合策略的灰矩陣博弈模型等。灰色控制;包括本征性灰色系統(tǒng)的控制問題和以灰色系統(tǒng)方法為主構(gòu)成的控制等?；覕?shù)及其運算1.

灰數(shù)的基本概念灰數(shù)的定義灰數(shù)的分類2.區(qū)間灰數(shù)的運算加減乘除灰數(shù)的基本概念所謂灰數(shù)是指只知道大概范圍而不知道確切取值的實數(shù)?；覕?shù)的背景信息表現(xiàn)不完全人們認知能力有限例1:某市2007年居民儲蓄存款余額預(yù)計200-300億。若年底結(jié)算存款余額為275億,則即為真值。例2:某成年男子的身高即為一灰數(shù)；未測量之前估計其身高約為1.8-1.9米，通過測量得到該男子身高為1.86米，則即為該男子身高的真值?；覕?shù)的基本概念灰數(shù)的基本概念灰數(shù)的基本概念從本質(zhì)上看,灰數(shù)又可分為:(1)信息型灰數(shù)指因暫時缺乏信息而不能肯定其取值的數(shù)。(2)概念型灰數(shù)指由人們的某種觀念、意愿形成的灰數(shù)。(3)層次型灰數(shù)由層次改變形成的灰數(shù)。

例8:

預(yù)計某地區(qū)今年夏糧產(chǎn)量在100萬噸以上，；估計某儲蓄所年底居民儲蓄存款余額將達7000萬到9000萬元，；預(yù)計南京地區(qū)10月份最高氣溫不超過36℃.例9:

某高校承擔一項國家重點科技攻關(guān)課題，希望科研經(jīng)費投入不低于3000萬元，并且越多越好；某工廠廢品率為1%，希望大幅度降低，當然越小越好.例10:

例如叫張三的人,某個學(xué)校只有1人，全市大學(xué)有4～6人，已是灰數(shù)；若在全國范圍內(nèi)考慮，就更加說不清了。本講內(nèi)容灰色決策相關(guān)入門知識灰色決策的經(jīng)典理論與方法非經(jīng)典灰色決策方法希臘字母大小寫及讀法Aα阿爾法Bβ貝塔Γγ伽瑪Δδ德爾塔Εε伊普西隆Ζζ澤塔Ηη伊塔Θθ西塔Ιι約塔Κκ卡帕Λλ蘭姆達Μμ米歐Νν紐Ξξ克西Οο歐米克隆Ππ派Ρρ柔Σσ西格瑪Ττ陶Υυ玉普西隆Φφ弗愛Χχ凱Ψψ普賽Ωω奧米伽6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1.1灰數(shù)及其白化1.灰數(shù)

灰色系統(tǒng)用灰數(shù)、灰色方程、灰色矩陣等來描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元”或“細胞”。

灰數(shù)：我們把只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)稱為灰色。在應(yīng)用中，灰數(shù)實際上指在某一個區(qū)間或某個一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)。通常用“”示灰數(shù)。

灰數(shù)有以下幾類：（1）僅有下界的灰數(shù)（2）僅有上界的灰數(shù)（3）區(qū)間灰數(shù)（4）連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)（5）本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)（6）黑數(shù)與白數(shù)(特殊的灰數(shù))6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1灰色決策相關(guān)入門知識2.區(qū)間灰數(shù)的運算

設(shè)有灰數(shù)用符號表示與間的運算，若，則應(yīng)為區(qū)間灰數(shù)，因此應(yīng)有且對任意

，。法則1 設(shè)則的和記為，且。法則2設(shè)則。法則3設(shè)則

法則4設(shè)則

法則5設(shè)則

法則6設(shè)則即。6.1灰色決策相關(guān)入門知識法則7設(shè)定理6.1.1區(qū)間灰數(shù)不能相消，相約。定義6.1.1

設(shè)為一灰數(shù)集，若對任意的有,,均屬于（商運算時要滿足法則6的條件），則稱為一灰數(shù)域。定理6.1.2區(qū)間灰數(shù)全體構(gòu)成灰數(shù)域。定理6.1.3區(qū)間灰數(shù)全體構(gòu)成灰色線性空間。6.1灰色決策相關(guān)入門知識

3.灰數(shù)的白化定義6.1.3形如的白化值稱為等權(quán)白化。定義6.1.4在等權(quán)白化中，取而得到的白化值稱為等權(quán)均值白化。當區(qū)間灰數(shù)取值的分布信息缺乏時，常采用等權(quán)均值白化。定義6.1.5設(shè)區(qū)間灰數(shù)，

，,當時，6.1灰色決策相關(guān)入門知識我們稱取數(shù)一致；當時，稱取數(shù)非一致。定義6.1.6起點、終點確定的左升、右降連續(xù)函數(shù)稱為典型白化權(quán)函數(shù)。6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1.2灰色關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小?；疑P(guān)聯(lián)分析方法對樣本量的多少和樣本有無規(guī)律都同樣適用，而且計算量小，十分方便，更不會出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況。

6.1灰色決策相關(guān)入門知識1.灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子

對系統(tǒng)進行灰色關(guān)聯(lián)分析，則需要對系統(tǒng)行為特征映射量和各有效因素進行適當處理，通過算子作用，使之化為數(shù)量級大體相近的無量綱數(shù)據(jù)，并將負相關(guān)因素轉(zhuǎn)化為正相關(guān)因素。定義6.1.7設(shè)為系統(tǒng)因素，其在序號上的觀測數(shù)據(jù)為則稱為因素的行為序列;當序號分別為時間、指標、決策矩陣(多屬性決策)6.1灰色決策相關(guān)入門知識對象時，則依次稱為因素的行為時間序列、行為指標序列、行為橫向序列。無論是時間序列數(shù)據(jù)、指標序列數(shù)據(jù)還是橫向序列數(shù)據(jù)，都可以用來作關(guān)聯(lián)分析。定義6.1.8設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中1,若

6.1灰色決策相關(guān)入門知識則稱為初始化算子，為在初始化算子下的像，簡稱初值像;2,若,則稱為均值化算子，為在均值化算子下的像，簡稱均值像;3,若則稱為均值化算子，為在均值化算子下的像，簡稱區(qū)間值像.6.1灰色決策相關(guān)入門知識4,若，則稱為逆化算子，為行為序列在逆化算子下的像，簡稱逆化像。5,若，則稱為倒數(shù)化算子，為行為序列在逆化算子下的像，簡稱逆化像。稱為灰色關(guān)聯(lián)算子集，稱(X,D)為灰色關(guān)聯(lián)因子}5,4,3,2,1|{==iDDi思考題P167定理6.1.46.1灰色決策相關(guān)入門知識2.灰色關(guān)聯(lián)公理和灰色關(guān)聯(lián)度定義6.1.17設(shè)為系統(tǒng)特征序列，且為相關(guān)因素序列。給定實數(shù)，若實數(shù)滿足規(guī)范性,整體性,偶對對稱性,接近性,則稱為與的灰色關(guān)聯(lián)度，為與在點的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并稱四個條件為灰色關(guān)聯(lián)四公理。定理6.1.5設(shè)系統(tǒng)行為序列，，對于,令6.1灰色決策相關(guān)入門知識

則滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理，其中稱為分辨系數(shù)。稱為與的灰色關(guān)聯(lián)度?；疑P(guān)聯(lián)度的計算步驟如下：步驟1求各序列的初值像（或均值像）。令步驟2求差序列。記

6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1灰色決策相關(guān)入門知識步驟3求兩極最大差與最小差。記步驟4求關(guān)聯(lián)系數(shù)步驟5計算關(guān)聯(lián)度應(yīng)用研究☆一級男子百米運動員身體素質(zhì)與運動成績的灰色關(guān)聯(lián)度分析選擇100米作為研究項目,依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度分析原理,揭示一級水平男子百米運動員的各項身體素質(zhì)、各類型素質(zhì)與運動成績之間的關(guān)聯(lián)度;針對訓(xùn)練實踐中對身體素質(zhì)認識上的模糊,提出相應(yīng)的訓(xùn)練策略,旨在對提高運動成績有所裨益。相關(guān)因素：行進間30米，230米，460米，5150米，立定跳遠，立定三級跳，二級蛙跳，后拋鉛球，仰臥起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立體前屈，折回跑，象限跳，側(cè)跨步。應(yīng)用研究☆我國鐵路貨物運輸發(fā)展的灰色關(guān)聯(lián)分析本文用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對1989～2002年我國鐵路運輸貨運量的發(fā)展進行系統(tǒng)分析,探討影響我國鐵路運輸貨運量發(fā)展的主要因素以及各因素相對于鐵路運輸貨運量發(fā)展的關(guān)聯(lián)程度,以便為有關(guān)部門的決策者提供數(shù)據(jù)資料.影響我國鐵路運輸貨運量發(fā)展的主要因素有:GDP、人口數(shù)量、居民消費水平、固定資產(chǎn)總投資及國家財政總收入等.把鐵路運輸貨運量作為母序列X0,其影響因素作為子序列6.1灰色決策相關(guān)入門知識3.廣義灰色關(guān)聯(lián)度

（1）灰色絕對關(guān)聯(lián)度命題6.1.5設(shè)系統(tǒng)行為序列，記折線為，令則當為增長序列時，；當為衰減序列時，

；當為振蕩序列時，符號不定。6.1灰色決策相關(guān)入門知識定義6.1.18設(shè)系統(tǒng)行為序列，為序列算子,且,其中,,則稱為始點零化算子，為的始點零化像，記為命題6.1.6設(shè)系統(tǒng)行為序列,的始點零化像分別為,,令則：當恒在上方，； 當恒在下方，； 當與相交，的符號不定。定義6.1.19稱序列各個觀測數(shù)據(jù)間時距之和為長度。6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1灰色決策相關(guān)入門知識定義6.1.20設(shè)序列與長度相同，如命題6.1.5中所示，如命題6.1.6中所示，則稱為與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度，簡稱絕對關(guān)聯(lián)度。定理6.1.6定義6.1.20給出的灰色絕對關(guān)聯(lián)度滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性、偶對對稱性與接近性，但不滿足整體性。6.1灰色決策相關(guān)入門知識命題6.1.7設(shè)序列與的長度相同，令， 。其中，為常數(shù)，若與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為，則。定義6.1.21若序列各對相鄰觀測數(shù)據(jù)間時距相同,則稱為等時距序列。6.1灰色決策相關(guān)入門知識引理6.1.1設(shè)為等時距序列，若其時距，則時間軸,可將化為1-時距序列。引理6.1.2設(shè)與的長度相同，且皆為1-時距序列，而，分別為與的始點零化像，則，6.1灰色決策相關(guān)入門知識定理6.1.8設(shè)序列和長度相同，當它們時距不同或至少有一個為非等時距序列時，若通過均值生成填補相映空穴使之化成時距相同的等時距序列，則此時灰色絕對關(guān)聯(lián)度不變。定理6.1.9灰色絕對關(guān)聯(lián)度具有下列性質(zhì)：①；②只與和的幾何形狀有關(guān)，而與其空間相對位置無關(guān)，平移不改變絕對關(guān)聯(lián)度的值；6.1灰色決策相關(guān)入門知識③任何兩個序列都不是絕對無關(guān)的,即恒不為零；④與幾何上相似程度越大，越大；⑤與平行，或圍繞擺動，且位于之上部分的面積與位于之下部分的面積相等時，=1；⑥當或中任一觀測數(shù)據(jù)變化時，將隨之變化；6.1灰色決策相關(guān)入門知識⑦與長度變化，亦變；⑧;⑨。（2）灰色相對關(guān)聯(lián)度定義6.1.22設(shè)序列，長度相同，且初值皆不等于零，，分別為，的初值像，則稱與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為與的灰色相對關(guān)聯(lián)度,簡稱為相對關(guān)聯(lián)度，記為。6.1灰色決策相關(guān)入門知識

相對關(guān)聯(lián)度表征了序列與相對于始點的變化速率之間的關(guān)系，與的變化速率越接近，越大，反之就越小。定理6.1.10灰色相對關(guān)聯(lián)度具有下列性質(zhì)：①，⑥，⑦，⑧，⑨與灰色絕對關(guān)聯(lián)度對應(yīng)性質(zhì)類似。

②只與序列和的相對于始點的變化率有關(guān),而與各觀測值的大小無關(guān)，或者說，數(shù)乘不改變相6.1灰色決策相關(guān)入門知識對關(guān)聯(lián)度的值；③任何兩個序列的變化速率都不是毫無聯(lián)系的，即恒不為零；④與相對于始點的變化速率越趨于一致，越大；⑤與相對于始點的變化速率相同,即；或與的初值像的始點零化像，滿足：圍繞擺動，且位于之上的面積與位于6.1灰色決策相關(guān)入門知識之下部分的面積相等時，=1；（3）灰色綜合關(guān)聯(lián)度定義6.1.23設(shè)序列，長度相同,且初值不等于零,和分別為與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度和灰色相對關(guān)聯(lián)度，，則稱為與的灰色綜合關(guān)聯(lián)度，簡稱綜合關(guān)聯(lián)度。6.1灰色決策相關(guān)入門知識6.1.3灰色聚類

灰色聚類是根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)矩陣或灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)將一些觀測指標或觀測對象劃分成可定義類別的方法。按聚類對象劃分，灰色聚類可分為灰色關(guān)聯(lián)聚類和灰色白化權(quán)函數(shù)聚類。1.灰色關(guān)聯(lián)聚類

設(shè)有個觀測對象，每個對象觀測個特征數(shù)據(jù)，得到序列如下：6.1灰色決策相關(guān)入門知識，…，對所有的，計算出與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度，得上三角矩陣如下：其中，，。6.1灰色決策相關(guān)入門知識定義6.1.24上述矩陣稱為特征變量關(guān)聯(lián)矩陣。取臨界值，一般要求>0.5,當時，則視與為同類特征.定義6.1.25特征變量，，…，在臨界值r下的分類稱為特征變量的r灰色關(guān)聯(lián)聚類。r根據(jù)實際問題的需要確定,r越接近于1,分類越細;r越小，分類越粗?；疑到y(tǒng)方法主要介紹灰色系統(tǒng)的三種方法：灰色關(guān)聯(lián)分析方法灰色預(yù)測方法GM(1,1)灰色統(tǒng)計（灰色評價）

因素分析的基本方法過去采用的主要方法是統(tǒng)計方法。如回歸分析（包括線性回歸、多因素回歸、單因素回歸、逐步回歸、非逐步回歸）?；貧w分析雖然是一種較通用的方法，但一般認為回歸分析有下述不足：（1）要求大量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量少難以找到規(guī)律；（2）要求分布是線性的，或是指數(shù)的，或是對數(shù)（3）計算工作量大；（4）有可能出現(xiàn)反常的現(xiàn)象，使正相關(guān)變成負相關(guān)，以致正確現(xiàn)象受到歪曲或顛倒。1、灰色關(guān)聯(lián)分析方法

灰色系統(tǒng)考慮到上述種種弊病和不足，采用關(guān)聯(lián)分析的方法來作系統(tǒng)分析。作為一個發(fā)展變化的系統(tǒng)，關(guān)聯(lián)度分析事實上是動態(tài)過程發(fā)展態(tài)勢的量化分析。說得確切一點，是發(fā)展態(tài)勢的量化比較分析、發(fā)展態(tài)勢的比較，也就是系統(tǒng)歷年來有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)列幾何關(guān)系的比較?？紤]有三個數(shù)據(jù)列，一個是某地區(qū)的年總收入，一個是某地區(qū)的養(yǎng)豬收入，一個是某地區(qū)的養(yǎng)兔收入?？偸杖腽B(yǎng)豬養(yǎng)兔從圖中可以觀察到，總收入曲線與養(yǎng)豬曲線趨勢較接近，而與養(yǎng)兔曲線差距較大，因此可以認為該地區(qū)對收入影響較大的是養(yǎng)豬而不是養(yǎng)兔。例1果樹產(chǎn)量因素分析某農(nóng)業(yè)研究所在研究果樹的產(chǎn)量時發(fā)現(xiàn)影響果樹單產(chǎn)的因素很多，有數(shù)據(jù)的因素就達12種之多。如樹齡、剪枝、硝氨、磷肥、農(nóng)肥、澆水、藥物人防、畜耕人耕、彌霧、噴霧等等。經(jīng)過詳細的定量分析找出4種認為是對果樹單產(chǎn)有較大影響的因素，其數(shù)據(jù)如下：年序號190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X01.141.491.692.123.434.325.926.077.85剪枝X13.33.473.613.844.194.424.614.8農(nóng)肥X26667.57.57.5999澆水X31.21.21.81.81.82.42.73.64藥物X44.875.896.767.978.8410.0511.3112.2511.64①首先需要將數(shù)據(jù)列進行無量綱化處理。年序號190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X111.051.091.151.211.271.341.401.45農(nóng)肥X21111.251.251.251.51.51.5澆水X3111.51.51.52.02.253.03.33藥物X411.211.391.641.822.062.322.522.39②然后再計算各子數(shù)據(jù)列與母數(shù)據(jù)列的差值年序號190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X100.260.390.751.82.523.853.925.41農(nóng)肥X200.310.480.611.762.543.693.825.36澆水X300.310.020.361.61.792.942.323.53藥物X400.100.070.221.191.732.872.804.47③計算極大差和極小差=0=6.86④計算關(guān)聯(lián)系數(shù)⑤計算關(guān)聯(lián)度計算得到的關(guān)聯(lián)度分別如下：因此，藥物對果樹單產(chǎn)的影響最大，農(nóng)肥次之，剪枝再次之，澆水對果樹單產(chǎn)的影響最小。年序號190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X0111111111剪枝X110.91230.87400.78290.60040.51770.41270.40830.3333農(nóng)肥X210.89630.84810.81460.60360.51340.42070.41230.3333澆水X31藥物X412、灰色預(yù)測模型灰色系統(tǒng)理論認為，隨機量可以看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量。對于貧信息的灰色系統(tǒng)，灰色變量所取的值十分有限，并且數(shù)據(jù)變化無規(guī)律。對這些灰色變量作生成運算處理，處理后的數(shù)據(jù)變化有一定規(guī)律，與原始數(shù)據(jù)相比，增加了數(shù)據(jù)變化的確定性。從而在生成數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立灰色系統(tǒng)模型?；疑到y(tǒng)中數(shù)據(jù)的生成運算有累加生成運算AGO(AccumulatedGeneratingOperation)和累減生成運算IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)。(1)累加生成運算（AGO）設(shè)有原始數(shù)據(jù)列對作一次累加生成運算得到一次累加生成序列對作二次累加生成運算得到二次累加生成序列例如，某公司1990~1994年的產(chǎn)品銷售額原始數(shù)據(jù)列為其一次累加生成后的序列為其二次累加生成后的序列為生成前的序列生成后的序列累加生成的特點

一般經(jīng)濟數(shù)列都是非負數(shù)列。累加生成能使任意非負數(shù)列、擺動的與非擺動的，轉(zhuǎn)化為非減的、遞增的。原始數(shù)列作圖

1—AGO作圖

某市的汽車銷售量遞增的規(guī)律原始數(shù)列作圖1—AGO作圖有明顯的指數(shù)關(guān)系的規(guī)律某鋼廠產(chǎn)量某地區(qū)作物產(chǎn)量

s型變化規(guī)律(2)累減生成運算（IAGO）累減生成運算是累加生成的逆運算。累減生成運算公式為：(3)灰色系統(tǒng)建模用灰色系統(tǒng)理論和方法建立的模型稱為灰色模型GM（GreyModel)。一般的GM模型是一個n階，h個變量的微分方程模型，簡記為GM(n,h)。GM模型的建模機理是，將隨機量看作是一定范圍內(nèi)變化的灰色量，對無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過生成處理后，建立生成數(shù)據(jù)序列的微分方程模型。并用不同的數(shù)據(jù)生成建立不同模型來提高模型的精度。模型采用三種方式檢驗，即殘差檢驗、關(guān)聯(lián)檢驗和后驗檢驗。①GM（1，1）模型GM（1，1）是一階常微分方程模型。設(shè)有原始數(shù)據(jù)列作一次累加生成后的數(shù)據(jù)列為

則可建立下述白化形式的微分方程記參數(shù)列為按最小二乘法求微分方程復(fù)習(xí)Eg.質(zhì)量為m的物體自由落下,t=0時,初始位移和初速度分別為求物體的運動規(guī)律.設(shè)運動方程為S=S(t),則兩次積分分別得出:條件代入:一階線性方程一般形式:一階線性齊次方程一階線性非齊次方程自由項白化形式的微分方程的解為：綜上所述，GM（1，1）模型建模的計算步驟：1）對原始數(shù)據(jù)序列作一次累加生成得到2）用最小二乘法估計得到參數(shù)3）解一階線性微分方程

得到時間響應(yīng)函數(shù)4）模型檢驗5）利用模型進行預(yù)測例題某公司1990~1994年的年銷售額（單位：百萬元）數(shù)據(jù)為試建立GM（1，1）模型并進行預(yù)測。解：1）對原始數(shù)據(jù)作一次累加生成，得到2）用最小二乘法估計得到參數(shù)從而可得得到一階線性微分方程其時間響應(yīng)函數(shù)為3）模型檢驗：這里僅對模型進行殘差檢驗。用時間響應(yīng)函數(shù)計算，用公式計算還原數(shù)據(jù)，并求出各時期的殘差值q(k)和相對誤差值e(k)。計算結(jié)果見下表k%2(1991)6.113.2363.2780.0421.4023(1992)9.460583.35453.337-0.0175-0.52594(1993)12.942293.48173.39-0.0917-2.7055(1994)16.55593.61363.6790.06541.7755由此看出，模型的相對誤差不超過3%。4）利用模型進行預(yù)測當k=5時，利用模型求得②GM（1，h）模型GM（1，h）模型上含有h個變量的一階微分方程，形如其中為待估參數(shù)，均為一次累加生成變量模型反映了h-1個變量對因變量變化率的影響，故稱GM（1，h）為h個序列的一階線性動態(tài)模型。與GM（1，1）建模原理相仿，GM（1，h）模型的建模步驟是：設(shè)有h個變量組成的原始數(shù)據(jù)序列1）對原始數(shù)據(jù)序列作一次累加生成運算，得累加生成序列2）計算GM（1，h）模型的待估參數(shù)，用最小二乘法得到估計值其中，B為累加數(shù)據(jù)矩陣，YN為參數(shù)項向量，分別是3）將參數(shù)的估計值代入方程，求得微分方程的解4）模型檢驗。檢驗方法與GM（1，1）模型檢驗類似。GM(1,1)MATLAB實現(xiàn)clcclearallformatshort%輸入要預(yù)測的數(shù)據(jù)x0=[2.874,3.278,3.337,3.39,3.679];%%%%%%x0矩陣中輸入已知幾年的數(shù)據(jù)%求x1x1=[];fori=1:length(x0)forj=1:ix1(i)=sum(x0(1:i));%累加求和endend%求z1z1=[];z1(1)=x1(1);fori=2:length(x1)z1(i)=1/2*(x1(i)+x1(i-1));%%%%求平均end求a,bY=[x0(2:length(x0))]';b1=z1(2:length(z1));b2=-1*b1;b3=b2';b4=ones(1,(length(z1)-1))';B=[b3,b4];A=inv(B'*B)*B'*Y;%時間響應(yīng)方程symsky=(x0(1)-A(2)/A(1))*exp(-1*A(1)*k)+A(2)/A(1);%求模擬值k=0:length(x0)-1;