小學(xué)奧數(shù)工程問題綜合教學(xué)總結(jié)

在日常生活中，某一件事，制造某種產(chǎn)品，完某項任務(wù)，完成某項工程等等，要涉及到工作量工作效率、工作時間這三個量它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是——工量工效率×?xí)r.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用，我們都叫做“工程問題.舉一個簡單例.：一件工作，做15天完成乙做10天完.問兩合作幾天可以完成？一件工作看成1個體因此可以把工作算作1.謂工作效率就是單時間內(nèi)完成的工作量，我用的時間單位是“天天是一個位，再根據(jù)基本數(shù)量系式，得到工作效率×工作=工作總量=6（）答：兩人合作需天.這是工程問題中基本的問題，這一講介紹的許例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的為了計算整數(shù)化盡可能用整數(shù)進行計算第講例3和例8所用法把工作量多設(shè)份額還上題10與15最小公倍數(shù)是30。全部工作量為30份，么每天完成2份，每天完成3份，兩人合作所需數(shù)是:30÷（2+3）=6（天）如果用數(shù)計算，方.3：2.者說“工作量固定，作效率與時間成反比例甲、乙工作效率的比是1015=2∶3工程問題方法總一：基本數(shù)量關(guān)：工效×?xí)r間工總量二：基本特點：設(shè)工作總量為“1效時間三：基本方法：算術(shù)方法、比例法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做想。五：類型與方法：分做合想合假法抓變化比例),4.假設(shè)法。：等量代換：方組的解法→代入法，加減法。：按勞分配思路每人每天工效→每人工作量→比例分配：休息請假：方法：分：分工作量2.假設(shè)法：假設(shè)不休息。五：休息與周期1.已條件的順序：①先工效，再周期，②先周，再天數(shù)。2..數(shù)：①近似天數(shù)，②準確天數(shù)。3.列確定工作天數(shù)。：交替與周期：算周期，注意順序?。鹤⑺c周期1.順序2.中原來是否有水3.滿或溢出。：工效變化。：比例1.分與連比2.一思想3.正反例的運用，4.假設(shè)法思周期。十：牛吃草問題1.新生草量，原草量，解決問題。工程問題.知道了兩者工作率之比，從比例角度考慮問題也需時間是因此，在下面例的講述中，不完全采用通常教書把工作量設(shè)為整1的做法，而偏重于整數(shù)化或從例角度出”，也會使我們的解題思路更靈活一兩個人的問題標題上說的兩個人，可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集.例1一工作，甲做9天可以完成，乙6可以完成?，F(xiàn)在先做天，余下的作由乙繼續(xù)完成乙需要做幾天可以完成全部工？解一：把這件工看1甲每天可完成這工作的九分之一，天完成的1。乙每天可完成這工作的六分之一1-1/3）（天）答：乙需要4天可完成全部工解二：與的最小公倍數(shù)是1設(shè)全部工作量是8份甲每天成2份，乙每天完成3.乙完成余下工作需時間是（2×3）3=（天）解三：甲與乙的作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了天，相當于乙做天乙完成余下工作所需時間（天.例2一工作，甲、乙兩人合天可以完成，共同做6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了0天才完成如這件工作由甲或乙單獨成各需要多少天？解：共做了天后，原來，甲做天，乙做天，現(xiàn)在，甲做天，乙40=（24+16天.這說明原來4天做的工作，可由乙做1天來代因此甲的工作效率如果乙獨做，所時間是50如果甲獨做，所時間是75答：甲或乙獨做需時間分別5天和50天.例3某程先由甲獨做63天，再由乙單2天即可完成如果由甲、乙兩人合作，需8天完成現(xiàn)甲先單獨做42，然后再由乙來單獨完成，那乙還需要做多少天？解：先對比如下甲做63，乙28天甲做48，乙48.就知道甲少（要多做（天此得出甲的甲先單獨做2天，比6天少做6（天當于乙要做因此，乙還要做56（天）答：乙還需要做56天.例4一工程，甲隊單獨1天完成，乙單獨30完現(xiàn)在兩合作，其間甲隊休息了天休了存在兩隊同一天休息開始完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨8，乙隊單獨做天，共完成工作量余下的工作量是隊共同合作的，需要的天數(shù)是11天.答：從開始到完共用1.解二：設(shè)全部工量3份甲每天完3，乙每天完份在隊單獨做天，乙隊單獨做天之后，還需兩隊合作（3×8-）（）=（天）.解三：甲隊1天相當于乙隊做3天在甲隊單獨做8天后，還余下甲隊）（）工作量.相當于乙隊要做2×3=6（天）乙隊單獨做天后，還余下（乙隊（天）工作.4=3+1，其中3可由甲1天成，因此兩隊只需再合1.解四：方法：分休合想題中說甲乙兩隊沒有在一起休，我們就假設(shè)他們在一起休息)甲隊每天工作量1為因為甲休天乙休了天為8，所以我們假設(shè)甲息兩天時，乙也在休息。那么開始工作時，乙還要休息：8-2=6(天）那么這天內(nèi)甲自完成了這項工程的1/10×6=6/10，下的工作量1-6/10=4/10而這剩下的4/10為乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需甲乙合作：天所以從開始到完工共需天）例5一工程，甲隊單獨做0天完成，乙隊單獨30完成現(xiàn)在他們兩隊一起，其間甲隊休息3乙休息了干從開始到完成共1天問隊休息了多少天？解一：如果6天兩隊都不休息可以完成的工作量是（×16+1÷30）×16=4/3由于兩隊休息期未做的工作量4/3-1=1/3乙隊休息期間未的工作量是1/3-1/20×3=11/60乙隊休息的天數(shù)11/60÷(1/30)=11/2答：乙隊休息5半解二：設(shè)全部工量份甲每天完3份乙每天完成份兩隊休息期間未的工作量是（3+2×16-60=（因此乙休息天數(shù)（3×3）2=5.5（天）解三：甲隊2天，相當于乙隊3天甲隊休3天，相當于乙隊休天如果甲16天都不休息，只余下甲4工作量，相當于天工作量，休息天數(shù)是（）例6有、乙兩項工作，張獨完成甲工作要天，單獨完成乙工作要天；李單獨完成甲工作要天獨完成乙工作20天.果每項工作都可以由人合作么這兩項工作都完成最需要多少天？解：很明顯，李甲工作的工作效率高，張做乙作的工作效率因此讓李先做甲張先做乙設(shè)乙的工作量6份（150的最小公倍數(shù)每天完成份，李天完3份.8天李就能完成工作.此張還余下乙工作（60-4×8）.張、李合作需要（）（）=4（天）.（天）答：這兩項工作完成最少需2天例7一工程，甲獨做0天，乙獨做需5天，如果兩人合作，他要8天完成這項工程兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項工程工作量0份，甲每天完3，乙每天完份兩人合作，共完0.8+2×（份.因為兩人合作天要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作率較高的.因為要在8天完成，所以兩人合作的數(shù)是（）（4.2-3）（天）很明顯，最后轉(zhuǎn)雞兔同籠型問題例8甲乙合作一件工作，由于合得好，甲的工作效率比單做時快如果這件工作始由甲一人單獨來做，需要多少時？解：乙小時單獨工作完的工作量是乙每小時完成的作量是兩人合6小時，甲完成的工作量甲單獨做時每小完成的工作量甲單獨做這件工需要的時間是答：甲單獨完成件工作需要3小時這一節(jié)的多數(shù)例都進行“整數(shù)化的處理但是整數(shù)化并不能使所有工程問題的計算簡便例就是如此.也可以整數(shù)，當求出乙每有一點方便，但處不不必多此一多人的工程問題我們說的多人，少3個人，當然多人問要人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不.例9一工作，甲、乙兩人作36完成，乙、丙兩人4天完成，甲丙兩人合作要0天完成問甲一人獨做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作工作量甲、乙、丙三人作每天完成減去乙、丙兩人天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做0完成例可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為1份，甲、乙合作天完成份，乙、丙合作天完成份，甲、丙合作每天完份請一試，計算是否會方便些例10一件作，甲獨做天，乙獨做天，丙獨做24天這件工作由甲先做了若干天，然后由接著做，乙做的天數(shù)是甲做的數(shù)的，再由丙接著做，做的天數(shù)是乙做的天數(shù)2，終于做完了這工問總共用了多少？解：甲1天，乙就做天，丙就3（天.說明甲做了天，乙做了2（天做2×6=12(天人一共做了（）.答：完成這項工用天本題整數(shù)化會帶計算上的方便.1218這三數(shù)有一易求出的最小公倍數(shù)7可設(shè)全部工作量72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成.總共用了例11一項工程甲乙丙三人合作要3完.如果丙休息2天乙就多天，或者由甲、乙兩合1.問這項工程由甲獨需要多少天？解2天的工作量當天的工作.丙的工作效率是乙工作效率÷2=2（倍甲、乙合天，與乙天一樣也就是甲天，相當于天，甲的工效率是乙的工作效率的倍他們共同做天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需2天事實上，當我們出甲、乙、丙三人工作效率之∶∶，就知甲做1天，相當于乙、丙合作天三人合作需13，其中乙、丙兩人完的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做3天來完成.

例12某項工作，甲組人天能完成工作，組4人天也能完成工作甲組人和乙組人合作多少時間完成這項工作？解一：設(shè)這項工的工作量是1.組每人每天能完組每人每天能完甲組2和乙組人天能完成答：合3天能完成這項工作.解二：甲組8天完成，因此人12能完成；乙組47天能完成，因此74天完成現(xiàn)在已不需顧及數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨天，乙組獨4，問合作幾天完成小學(xué)算術(shù)要充分用給出數(shù)據(jù)的特殊性解是比例靈活運用典型，如果你心算較好，很快就能得答例13制作批零件車1天完成果甲間與乙車間一起做天就能完成乙車間與丙車間一起做，需天才能完現(xiàn)在三個車間一做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零個問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設(shè)總工量.甲每天比乙多完因此這批零件的數(shù)是丙車間制作的零數(shù)目是答：丙車間制作200個零件解二：106最小公倍數(shù)0.設(shè)制作零件全部作量0份.甲每天完成份，甲、乙一起每天完5份，由此得出乙每天完份乙、丙一起8天完成乙完（份完（份知乙、丙工作效率比∶∶已知甲、乙工作效率比是∶128.綜合一起，甲、、丙三人工作效率之比是12∶∶當三個車間一起時，丙制作的零件個數(shù)是（）4200（個）14搬一個倉庫的貨物，甲小時，乙需小時，丙需15時.有同樣的倉庫A和B甲在A倉、乙在B倉庫同時開始運貨物，丙開始幫助甲搬運，中又轉(zhuǎn)向幫助乙搬.最后兩個倉庫貨同時搬問丙幫助甲、乙多少時間？解設(shè)搬一個倉庫的貨物的工作量.現(xiàn)在當于三人共同完成工作2所時間是答：丙幫助甲搬小時，幫助乙搬小時.解本題的關(guān)鍵，先算出三人共同搬運兩個倉庫時本題計算當也可以整數(shù)化，設(shè)搬運一個倉庫部工作量為每小時搬運乙每小時搬運5，每小時搬運4.三人共同搬完，要60×）（小時甲需丙幫助搬運（6×）4=（小時.乙需丙幫助搬運（5×）÷4=（小時三、水管問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來，水管問題與工程問題是一樣水的注水或排相當于一項工程，注水量或排量就是工作量單位時里的注水量或排水量就是工作效至于又有注入又有排出的問不是工作量有加有罷.因水管問與工程問題的解題思路基本相同

例15甲、兩管同時打開9分鐘能注滿水現(xiàn)在，打開甲管10鐘后打開乙管，經(jīng)3鐘就注滿了水已知甲管比管每分鐘多注0.6立方米水，這個池的容積是多少立米？解：甲每分鐘注水量是×3）÷10=1/15乙每分鐘注入水是因此水池容積是（（立方米）答：水池容積2立米.例16有一些水管，它們每分鐘注水都相現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時間的，把開的水管增加一倍，就能按定時間注滿水池，如果開始時就開根水管，中途不開水管，也能按預(yù)定時間注滿問開始打開了幾根水管？分析：增開水管，有原來倍的水管，注水時是預(yù)定時間的1-1/3=2/32/3是的倍，因此增水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。設(shè)水容量是1，前后兩段時間注水量之比為1：4，那么預(yù)定時間1/3（即前一段時間的注水量/（）。10根水管同時打開按預(yù)定時間注滿水根水管的注水量1預(yù)定時1，每根水官的注水要注滿水池，需要水管1（根）解：前后兩段時的注水量之比為：1：[（1-1/3）÷1/32]=1：4前段時間注水量：1÷（）=1/5每根水管在預(yù)定1/3時間注水量為：1÷1/3=1/30開始時打開水管數(shù)：1/51/30=6根）答：開始時打開6水管。例17蓄池有甲、丙兩條水管，和乙、丁兩條排水要灌滿一水，單開甲管需3小，開丙管需要5小.排光一池水，單開乙管需要小丁管需要小時，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之的水，如按甲、乙、丙、丁、、…的順序輪流打開1小，問多少時間后水開始出水池？分析：，否則開甲管的程中水池里的水就會溢出.以后（20小中的水已有此題與廣為流傳青蛙爬”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬尺才能到達井口時它總是爬3尺下2尺問只青蛙要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時往上爬3-2=1（爬了27時后，它再爬1小時，往上爬3尺已到達井口因此，答案是28小，而不小時例18一蓄水池，每分鐘入方米如果打開5個水頭小時半就把水池水放空，如果打8個水頭，1小時半就把水池水放.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水空？解：先計算水龍頭每分鐘放出水.2小半1小半多60分，流入水4×60=240（方米）.時間都用分鐘作位個水龍頭每分鐘放水量是240÷（150-×90=（立方米8個龍1個小時放出的水量是8×8×，其中分鐘內(nèi)流入水量是×，因此原來水池中存有水8×8×90-490=5400（立方米）打開個水龍頭每分鐘可以放出水8×13除去每分鐘流入4，其余將放出原的水，放空原存的，需要5400（×4（分鐘答：打開13個頭，放水池要54鐘.水池中的水，有部分，原存有水與新流入的水就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵先求出池中原存的.這在題目中卻是含著的.例19一水池，地下水從壁滲入池中，每小時滲入水是固定開A管時可將滿池水排，打開C12小可將滿池水排空如果打開AB兩4小可將水排空問打開B，兩，要幾時才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的量為1.A管每時排出A管時排出因此，B，兩齊開，每小時排水量是B，兩管齊開，排光滿水池水，所需時間是答：B兩齊開要小時48分才滿池水排完本題也要分開考，水池原有水（滿池）和滲入由于知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具數(shù)量一.里把兩種水量分別設(shè)“但兩種量要避免混.事實上，也可以整數(shù)化，原有水設(shè)為與12最小公倍數(shù)24.17世英國偉的科學(xué)家牛頓寫過一《普遍術(shù)書中提出了一“牛吃問題，這是一道有趣味的算術(shù).從本質(zhì)上講，與例和例19是類同的題目涉及三種數(shù)量：原有草、長出的草、牛吃掉的這與原有水量、滲水量、水管排出的水量，是完全類同的例20有片牧場，場上草得一樣密，而且長得一草頭牛9星期吃第二片牧場的草.問多少頭牛星期才能吃完第三片牧場的草？解：吃草總量一牛每星吃草量×牛數(shù)×期數(shù).根這一計算公式，可設(shè)定一牛每星期吃草”作為草的計量單.原有草星期長的=原有草+9期新長的草=由此可得出，每期新長的草是（）（9-4那么原有草是（或者12×4-3×4）對第三片牧場來，原有草和18期新長出草的總量這些草能讓90×7.2÷18=36（頭）牛吃個星.答：36頭牛個星期能吃完第三片牧場的.例20與19的法有一點不一樣.例把新具體地求出有的與新長的兩種量統(tǒng)一起來計事實上，如例19再一個條件，例如打開管時可以將滿池水排.也可以求“新的與原有之間數(shù)量關(guān)但僅僅是例所求，是不需要加這一好好想一想你能明白其中的道理嗎？“牛吃草一類型問題可以以種各樣的面目出現(xiàn).限篇幅，我們只再一個例子例21畫9點門，但早有排隊等候入.第一個觀眾來到時起每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個場口，9分不再有排隊，如果開