高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體 全市獲獎(jiǎng)

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．觀察圖中的四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是()A．(1)是棱臺(tái) B．(2)是圓臺(tái)C．(3)是棱錐 D．(4)不是棱柱解析：圖(1)不是由棱錐截得的，圖(2)的上、下兩個(gè)面不平行，圖(4)的前、后兩個(gè)面平行，其他面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以A，B，D都不正確．答案：C2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是()A．棱柱 B．棱臺(tái)C．圓柱 D．圓臺(tái)解析：從俯視圖可看出該幾何體上下底面為半徑不等的圓，正視圖與側(cè)視圖為等腰梯形，故此幾何體為圓臺(tái)．答案：D3．一個(gè)四面體共一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩互相垂直，其長(zhǎng)分別為1，eq\r(6)，3，其四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為()A．16π B．32πC．36π D．64π解析：將四面體可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半徑為2，故這個(gè)球的表面積為4πr2＝16π.答案：A4.已知水平放置的△ABC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形解析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等邊三角形．答案：A5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4解析：由三視圖可知，四個(gè)幾何體自上而下分別為圓臺(tái)，圓柱，四棱柱，四棱臺(tái)．結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)可得：V1＝eq\f(1,3)(4π＋π＋2π)＝eq\f(7π,3)，V2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)(16＋4＋8)＝eq\f(28,3).故V2＜V1＜V3＜V4.答案：C6．過圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐的側(cè)面分成的三部分的面積之比為()A．1∶2∶3 B．1∶3∶5C．1∶2∶4 D．1∶3∶9解析：如圖，由題意知O1A1∶O2A2∶OA＝1∶2∶3，以O(shè)1A1，O2A2，OA為半徑的圓錐的側(cè)面積之比為1∶4∶9.故圓錐被截面分成的三部分側(cè)面的面積之比為1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.答案：B7．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()\f(32π,3)\f(8π,3)C．8eq\r(2)π\(zhòng)f(8\r(2)π,3)解析：設(shè)截面圓的半徑為r，則πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故選D.答案：D8.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，則多面體P－BCC1B1的體積為()\f(8,3)\f(16,3)C．4 D．5解析：V多面體P－BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B9．如圖所示，三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，則三棱錐B－A1B1C1與三棱錐A1－ABC的體積比為()A．1∶2 B．1∶3C．1∶eq\r(2) D．1∶4解析：三棱錐B－A1B1C1與三棱錐A1－ABC的高相等，故其體積之比等于△A1B1C1與△ABC的面積之比，而△A1B1C1與△ABC的面積之比等于A1B1與AB比的平方，即1∶4.故三棱錐B－A1B1C1與三棱錐A1－ABC的體積比為1∶4.答案：D10．一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則此三棱柱的表面積和體積分別為()A．24＋8eq\r(3)，8eq\r(3) B．4eq\r(3)，4eq\r(3)C．12＋2eq\r(3)，4eq\r(3) D．24＋4eq\r(3)，4eq\r(3)解析：由三視圖可知此正三棱柱的底面三角形的高為2eq\r(3)，三棱柱的高為2，所以其底面邊長(zhǎng)為4，于是S表＝24＋8eq\r(3)，V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×42×2＝8eq\r(3).答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面面積為50，則截得的棱臺(tái)的高為________．解析：設(shè)棱臺(tái)的高為x，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－x,16)))2＝eq\f(50,512)，解之，得x＝11.答案：1112．把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來(lái)的________倍．解析：設(shè)原來(lái)球的半徑為r，擴(kuò)大后的半徑為R，則有4πR2＝2×4πr2，則R＝eq\r(2)r.則擴(kuò)大后的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(2)r)3＝2eq\r(2)·eq\f(4,3)πr3，即體積擴(kuò)大到原來(lái)的2eq\r(2)倍．答案：2eq\r(2)13．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O－ABCD的體積為________．解析：如圖所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為O′，連接O′B，OB，則在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝2eq\r(3)，可得OO′＝2，故VO－ABCD＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·OO′＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)14.如圖所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，高為5，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為________．解析：如圖所示，將三棱柱沿AA1剪開，可得一矩形，其長(zhǎng)為6，寬為5，其最短路線為兩相等線段之和，其長(zhǎng)度等于2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝13.答案：13三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)畫出下圖中幾何體的三視圖．解析：圖中幾何體組合體，下部是三個(gè)正方體，上部是一個(gè)圓柱，按照正方體和圓柱的三視圖的畫法畫出該組合體的三視圖．該幾何體的三視圖如圖所示．16.(本小題滿分12分)如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)．解析：設(shè)圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為l，由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.故eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，即eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9，故圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為9cm.17．(本小題滿分12分)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積．解析：如圖作出軸截面，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm.∵Rt△AOE∽R(shí)t△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).設(shè)OE＝R，則AO＝eq\r(3)－R，∴eq\f(R,\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，∴R＝eq\f(\r(3),3)(cm)．∴V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)．∴球的體積等于eq\f(4\r(3),27)πcm3.18．(本小題滿分14分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′－BC′D的體積．解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱錐A′－BC′D的表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2