高二物理競賽第10章穩(wěn)恒磁場課件

第十章穩(wěn)恒磁場運動電荷產生磁場§10.1穩(wěn)恒電流正電荷運動的方向定義為電流的方向。電流的方向與自由電子運動的方向是相反的。1載流子帶電粒子定向運動形成電流。形成電流的帶電粒子統(tǒng)稱為載流子。在金屬中是電子；在半導體中是電子或空穴；在電解質溶液中是正負離子。2電流的方向一、電流、電流密度3電流強度（電流）單位：安培(A)，庫侖/秒單位時間內通過導體某一截面的電荷量，叫做電流強度。它是表示電流強弱的物理量(標量)，用I

表示。電流強度也是國際單位制的基本量。4電流密度矢量S1和S2的電流強度一樣嗎？比I更精確描述電流的分布。S1和S2的電流密度一樣嗎？電流密度矢量：方向為該點處電流的方向；大小等于通過該點垂直于電流方向的單位面積的電流強度（單位時間內通過單位垂面的電荷量）。

電流密度在各點分布不同，構成電流場，可以用電流線描述，電流線上任意一點的切向方向為該點方向，疏密程度反映電流密度的大小。5電流強度與電流密度已知電流密度j，求過某面積元dS的電流dI怎么解？求出通過某一面元dS的電流dI，就可以求得通過總截面的總電流.積分得到：即：通過某一曲面的電流強度等于通過該曲面的電流密度通量。二、電流密度與載流子漂移速度的關系

漂移速度是指載流子平均的定向移動速度。它是無規(guī)則熱運動與定向電場驅動與固體晶格阻礙的平衡效果?？梢院唵握J為電子做勻速運動。vdtq.P電流密度為：寫成矢量式子假定導體中載流子的數密度n;每個載流子的電量為q，漂移速度為v。考慮dt時間間隔內，P點附近的電流：注意：與方向一致q為正,與同向，q為負，與反向。此式可作為電流密度的定義式。三、電流連續(xù)性方程電流場的一個重要性質就是其連續(xù)性，其實質是電荷守恒定律。在電流場內任取閉合曲面S，則其電流密度通量應等于曲面內電荷的變化率，即：單位時間內通過閉合曲面S向外流出的凈電荷等于單位時間內閉合曲面S內電荷的減少。對于穩(wěn)恒電流，電流場不隨時間變化的，意味著空間各處沒有電荷增減，即：電流的穩(wěn)恒條件穩(wěn)恒電流指各處電流密度不隨時間發(fā)生變化的的電流；§10.2磁場磁感應強度

歷史上人們很早就發(fā)現天然磁石能夠吸引鐵、鈷和鎳等金屬。1820年丹麥物理學家奧斯特(Osterd)在實驗中最早發(fā)現了電流的磁效應：通電導線附近的小磁針會發(fā)生偏轉。隨著后續(xù)試驗的發(fā)展，電流和磁場的關系得到了闡明。一、磁場電流磁場電流磁鐵磁鐵運動電荷運動電荷運動電荷在周圍空間將同時產生電場與磁場，電場、磁場統(tǒng)稱為電磁場。二、磁感應強度

與電場強度E的引入類似，對于磁場，采用磁感應強度B來描述。一個試驗電荷q以速率v

通過磁場中某點時，受到的磁力與速度（方向、大?。┯嘘P：磁力總與速度垂直，且當速度方向變化時，磁力大小變化，有最大、最小磁力對應的特定方向。磁感應強度：描述磁場中某點磁場性質的基本物理量。單位：特斯拉T方向：三者互相垂直，且滿足右手螺旋關系。磁感應強度的大小：三、運動電荷的磁場靜電場理論告訴我們，一個電量為q的點電荷在空間中某一點P所激發(fā)的電場強度E為：理論和實驗均可以證明，一個電量為q，以速度v

運動的點電荷在空間中某一點P所激發(fā)的磁感應強度B為：真空磁導率注意：

與、都垂直，磁感應線為以為軸的同心圓環(huán)。討論磁場方向：練習：氫原子原子核處磁感應強度的大小和方向四、畢奧-薩伐爾定律1、電流元的引入在靜電學中求電場強度的思路是：q→dq→dE→E。為了計算一根通電導線產生的磁場，我們遵循類似思路：I→Idl→dB→B。電流與線元之積稱為電流元，這是一個矢量；電流元的方向—電流的方向。大小為Idl。2、定律內容畢奧－薩伐爾(Biot-Savart)根據電流磁作用的實驗結果分析得出電流元產生磁場的規(guī)律——畢奧－薩伐爾定律。拉普拉斯后來用解析運算推導出了我們現在看到的公式。真空中電流元Idl

在某點產生的磁場強度的大小，與電流元的大小成正比，與電流元到P點的距離平方成反比，且與電流元和（電流元到P點的）矢徑間的夾角的正弦成正比一個運動的點電荷的磁場為:電流元中載流子數目電流元產生磁場：推導過程如下：3、說明1B-S定律是在實驗的基礎上抽象出來的，不能由實驗直接證明（電流元無法單獨存在），但是由該定律出發(fā)得出的一些結果能很好地與實驗符合。2dB的方向由Idl與矢徑確定，即用右手螺旋法則確定；3B-S定律是求解電流磁場的基本公式，利用該定律與磁場疊加原理，原則上可以求解任何穩(wěn)恒載流導線產生的磁感應強度。五、畢奧-薩伐爾定律的應用解題步驟1.選取合適的電流元——根據已知電流的分布與待求場點的位置；2.選取合適的坐標系——要根據電流的分布與磁場分布的的特點來選取坐標系，其目的是要使數學運算簡單；3.寫出電流元產生的磁感應強度——根據畢奧－薩伐爾定律；4.計算磁感應強度的分布——疊加原理；5.一般說來，需要將磁感應強度的矢量積分變?yōu)闃肆糠e分，并選取合適的積分變量，來統(tǒng)一積分變量。由于所有電流元和相應的位矢總是在xoy平面內，所以，所有電流元激發(fā)的磁場方向相同，垂直屏面向里?？偞鸥袘獜姸鹊拇笮?統(tǒng)一積分變量為θ例1．求有限長載流直導線激發(fā)的磁場。電流為I,P點到導線的距離為a。解：取圖示電流元，以過場點P、且垂直于導線水平向右為x軸，沿導線豎直向上為y軸。由B—S定律有:B的方向----與電流方向成右手螺旋關系ABCDABCD半無限長載流直導線端面上一點的磁感應強度：長載流直導線延長線上某點的磁感應強度：無限長載流直導線的磁感應強度：例2(10.18)．電流均勻流過寬為2a的無限長平面導體薄板，電流為I，通過板的中線并與板面垂直的平面上有一點P，P到板的垂直距離為x，設板厚可忽略，P的磁感應強度B的大小。由對稱性可知，總磁場方向應平行于電流板。細長條的電流為：細長條在P點的磁感應強度為：細長條在P點的磁感應強度的//分量為：幾何關系：整個導板在P點的磁感應強度的為：例3：有一半徑為R的載流圓環(huán)，通有電流為I，求圓環(huán)軸線上一點P的磁感應強度B。解：建立圖示坐標系，整個載流圓環(huán)在軸線上一點的磁感應強度沿x軸方向。電流元產生的磁感應強度為：

載流圓環(huán)對圓心處的磁感應強度

軸上一點磁場公式可改寫m為線圈磁矩：右手螺旋定則

某段圓弧對圓心產生磁感應強度B的方向沿軸線與線圈中電流的方向成右手螺旋關系。例4：計算圖示載流導體在O點的磁感應強度。解：o點磁場B由三段載流導體產生，其中cd段的延長線過場點o，無磁場，所以規(guī)定向里為正向，解：取細圓環(huán)，該細圓環(huán)所帶電量為：例5：一內外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)均勻帶正電，電荷面密度為，以角速度繞通過環(huán)心且垂直于環(huán)面的軸轉動，求環(huán)心處的磁場。該細圓環(huán)等效電流為：該細圓環(huán)在環(huán)心處的磁場：整個圓環(huán)在環(huán)心處的磁場：解：長度為dl內的各匝圓線圈的總效果，是一匝圓電流線圈的ndl倍。例6

求半徑為R，總長度為L，單位長度上的匝數為n的密繞螺線管在其軸線上一點的磁場。在管端口處，磁感應強度等于內部的一半。無限長直螺線管（或長直螺線管中部附近）的磁感應強度：半無限長直螺線管端口處的磁感應強度：或一、磁通量磁場的高斯定理1、磁感應線規(guī)定:磁感應線上任意一點的切線方向表示該點磁感應強度的方向；磁感應線的疏密程度反映磁感應強度的大小。§10.3安培環(huán)路定理磁感應線是環(huán)繞電流的無頭尾的閉合曲線。磁感應線不相交。磁感應線方向與電流方向成右手螺旋定則關系。觀察磁感應線，總結特點如下：ISNISNII2、磁通量磁通量描述通過磁場中某一曲面的磁感線數目。穿過某一曲面的磁通量單位：韋伯，Wb對于閉合曲面，由于磁感應線是無頭無尾的閉合曲線，所以穿入、穿出的磁感應線條數相等，則對任意閉合曲面的磁通量為零。3.磁場的高斯定理穩(wěn)恒磁場與靜電場規(guī)律對比二、安培環(huán)路定理Ampere’sLaw1.表述安培環(huán)路定理：在穩(wěn)恒電流的磁場中，磁感應強度B

沿任何形狀閉合回路L的線積分（環(huán)流），等于穿過以該回路為邊界的任意曲面內的電流代數和的μ0倍。法國物理學家安培在電磁學領域貢獻卓越，成為電動力學的創(chuàng)始人。1符號規(guī)定：電流方向與L的環(huán)繞方向服從右手關系的I為正，否則為負。如圖所示，求環(huán)路L的環(huán)流說明：2安培定理直接反映了磁場線的閉合性質，說明磁場不是保守場，不能引入標量勢。3重要說明：雖然回路外的電流對環(huán)流無貢獻，但是，它要影響磁場，即空間各點的磁場仍由所有電流共同激發(fā)。2.安培環(huán)路定理的驗證我們用無限長直通電導線產生的磁場來驗證安培定理。選取積分方向與B繞行方向相同：閉合回路不包圍電流：不包圍電流包圍電流在垂直于導線的平面內任取一包圍導線的任意形狀的閉合回路。三、用安培環(huán)路定理求磁場必須選擇與磁場對稱性相應的回路，使得（各段）回路上各點磁場大小相等，方向與回路方向一致或成90度，從而可以完成環(huán)流積分。解題步驟分析電流的分布和場的對稱性；選取具有相應對稱性的回路；并規(guī)定繞行方向；確定穿過以閉合回路內的電流的代數和；應用環(huán)路定理求磁感應強度。要求磁場具有高度的對稱性，如無限長載流直導線（圓柱體或面）；無限大載流平面；無限長直密繞螺線管；密繞螺線環(huán)。有限電流的磁場不能用安培環(huán)路定理計算例1：求無限長載流圓柱體內、外的磁感應強度的分布。圓柱體半徑為R，電流Ｉ在導體橫載面上均勻分布。解：軸對稱場特點：與圓柱體共軸的圓柱面上各點磁場大小相等，方向與電流流向成右手螺旋關系。因此，過柱體內、外場點選擇共軸圓環(huán)回路，回路方向與電流流向成右手關系。１.圓柱體內各點（r<R區(qū)域）環(huán)路內電流代數和為：2.圓柱體外一點（r≥R區(qū)域）環(huán)路內電流代數和為：可見，圓柱體外的磁場分布等效于將全部電流集中于軸線上的無限長載流導線的激發(fā)的磁場。表面磁場是連續(xù)的。討論：若無限長圓柱形載流直導線，電流沿軸向電流面密度j=j(r),能否用安培環(huán)路定理求B？

引申：無限長均勻載流薄圓筒的磁場無限長均勻載流厚圓筒

（內半徑為R1，外半徑為R2）的磁場

例2：無限大載流平板的磁場分布；已知電流均勻流過無限大平面導體薄板，電流面密度為j（即通過與電流方向垂直的單位長度的電流），求磁場分布。解：根據右手螺旋法則判斷磁場的分布，在上板磁場水平向左，下板磁場水平向右，且大小關于導體板對稱。作閉合環(huán)路abcda，ab平行于平板。環(huán)流為：表明無窮大平板兩側分別是均勻磁場。環(huán)路內的電流代數和為：例3：無限長直密繞載流螺線管（理想密繞螺線管）的磁場。電流為I，線圈密度為n。解：理想密繞螺線管，管內的磁場是均勻的，管外的磁場為很弱，可以忽略，管內磁場的方向由右手螺旋法則確定。作閉合環(huán)路abcda，ab平行于軸線。環(huán)流為：表明無限長螺線管內部是均勻磁場，外部磁場為零。能量集中在螺線管內部。環(huán)路內的電流代數和為：在管內作半徑為r的環(huán)路：

例4：求載流密繞螺繞環(huán)內的磁場。匝數為N，內徑為R1

，外徑為R2

，通有電流I。理想螺繞環(huán)：環(huán)的半徑遠大于環(huán)的粗細（R2－R1）。解：軸對稱的場特點：

同r處，B大小相等B方向與電流I成右手螺旋關系與長直螺管的結論一致。若為細環(huán)，則選取回路與B線重合§11.4洛淪茲力一、磁場對運動電荷的作用力在磁場B中的一點，帶電量為q的粒子以速度v運動時所受磁場力為（由磁場定義導出）：Lorentz力——磁場對運動電荷的作用力洛倫茲力總是垂直與速度方向，所以不對電荷做功，只改變速度方向，不改變速度大小。洛倫茲力的方向根據右手螺旋定則判斷。洛倫茲力的大小:二、帶電粒子在均勻磁場中的運動帶電粒子在均勻磁場中的運動軌跡與運動方向有關。2.速度垂直于磁場方向帶電粒子所受洛侖茲力總是與運動速度方向垂直，所以帶電粒子做圓周運動，洛倫茲力提供向心力。1.速度平行磁場方向帶電粒子不受Lorentz力，作勻速直線運動。上述公式表明:周期T（或頻率）與粒子運動速度無關，速度大的粒子軌道半徑大，走的路程長，速度小的粒子軌道半徑小走的路程短，但周期都是相同的——回旋加速器的原理?；匦霃剑?/p>

(gyro-radius)回旋周期：(gyro-period)回旋頻率：(gyro-frequency)洛倫茲力提供向心力：

將速度分解為平行于磁場和垂直于磁場的分量。粒子以平行于磁場的速度分量沿磁場方向做勻速直線運動；以垂直于磁場的速度分量做圓周運動。所以，其合運動為螺旋運動。螺旋線的半徑:3.速度與磁場成任意夾角回旋周期：螺距——在一個周期內沿磁場方向行進的距離或相鄰螺線間的距離：應用:磁聚焦三、經典霍爾效應HallEffect1.原因:是由于運動電荷在磁場中受Lorentz力的結果。設載流導體的寬為b，厚為d，通有電流I。1879年霍耳發(fā)現，如果給磁場中的導體（半導體）沿縱向通以電流，則在導體（半導體）橫向兩側面出現一定的電勢差，這種現象就叫霍爾效應，所產生的電勢差稱為霍爾電壓。

載流導體（半導體）中的運動電荷在洛倫茲力的作用下，向上偏轉，在導體的上表面積累了正電荷，下表面出現負電荷，在上下兩面間形成電場E，出現Hall電壓UH。帶電粒子將受到向下的電場力Fe的作用。

當電場力與Lorentz力平衡時，上下表面出現穩(wěn)定的電荷分布，UH

穩(wěn)定。由有Hall系數由于導體內有大量的自由電荷，n較大，RH

較小，故導體的霍爾效應較弱。而半導體界于導體與絕緣體之間，其內的自由電荷較少，n較小，RH

較大，故半導體的霍爾效應顯著。討論3.Hall效應的應用測量半導體的性質

半導體根據摻雜不同，有空穴型（p型）半導體，和電子型（n型）半導體。P型半導體的主要載流子為正電荷，n型為負電荷；P型半導體：UH>0N型半導體：UH<0由UH的正負就可知道半導體的類型。一、安培力放置于磁場中的載流導線將會受到磁場的作用力，通常稱為安培力。安培力本質上是導線中的載流子受到的洛倫茲力。電流元中共有載流子數為：電流元中所有載流子洛倫茲合力為:§11.5安培力如圖所示，電流元Idl處于磁場B中，設載流子數密度為n，電流元的橫截面為S，則電流元中任一載流子所受的洛倫茲力為:電流元所受安培力公式為：由于：和有限長載流導體所受安培力

計算一段電流在磁場中受到的安培力時，應先將其分割成無限多電流元，將所有電流元受到的安培力求矢量和——矢量積分。式中積分方向為電流流向，積分遍及電流所在空間。注意：Ampere力的大小：Ampere力的方向：由右手螺旋法則確定。例1：在無限長載流直導線I1

旁，垂直放置另一長為L的載流直導線I2,I2

導線左端距I1

為a，求導線I2

所受到的安培力。解：建立圖示坐標系。距原點x處選擇電流元I2dx。I1

電流在其右側產生的磁場方向垂直屏幕向里，電流元受力方向豎直向上。方向垂直于I2，豎直向上。電流元所受安培力大小為：例題2、有一段彎曲導線ab

通有電流I，求此導線在如圖所示均勻磁場中受的力？該力的方向垂直于紙面向外。均勻磁場中載流曲線導線所受的力結論1：均勻磁場中載流曲線導線所受的安培力，等于電流從起點流到終點的直線導線所受的安培力。結論2：均勻磁場中任意閉合載流導線所受安培力的合力為零。例3：在均勻磁場中，放置一半徑為R、所通電流為I的半圓形導線，求載流導線所受的Ampere力。解：由均勻磁場中曲線電流受力的結論：半圓形電流受到的Ampere力相當于沿直徑電流受到的安培力。⊙電流

I1在電流

I2處所產生的磁場為：問題：兩平行無限長直載流導線，相距為a

求：單位長度線段所受的磁力。導線2上電流元I2

dl2受力的大小為:aI2二、平行載流直導線間的相互作用導線2上單位長度導線所受的磁力為:1Bv§11.6載流導線在磁場中受到的磁力矩一、定軸轉動磁力矩的一般計算

電流元對轉軸的磁力矩為:根據疊加原理，一根導線在磁場中對轉軸的力矩可以表示成為:

載流導線如果可以轉動，我們就要考慮安培力的力矩，即磁力矩的計算，為了簡單起見，下面我們只考慮定軸轉動的情況。

轉動平面磁力矩的大小為:例題1、有一半圓形導線ab置于均勻磁場B中，B與導線平面平行，設轉軸cc’與導線圓心的距離為d，試求出導線所受到的對