常微分第一章

常微分方程OrdinaryDifferentialEquations孫書榮濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院Semester1,2014-2015Welcometomyclass!/ode.html11.什么是常微分方程？---微分(導(dǎo)數(shù))代數(shù)方程三角方程函數(shù)方程微分方程方程第一章緒論2在微積分中我們已經(jīng)知道，函數(shù)例如：導(dǎo)數(shù)本身依然為函數(shù).在

可微，且如果將右端用符號(hào)代替，則得3含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具體地聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式.4只含有一個(gè)自變量（或未知函數(shù)是一元函數(shù)）的微分方程稱為常微分方程；自變量的個(gè)數(shù)多于一個(gè)的微分方程稱為偏微分方程。微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)科聯(lián)系實(shí)際的主要橋梁之一。可以說，凡采用無窮小分析方法研究物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的問題大都離不開它。毫不夸張地說，微分方程是自然科學(xué)、工程科學(xué)中最普遍且最重要的數(shù)學(xué)模型。作為課程，它是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)本科生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，也是理工科高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。5常微分方程是由人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的。歷史上，它的雛形甚至比微積分的發(fā)明還早。納泊爾發(fā)明對(duì)數(shù)，伽利略研究自由落體，笛卡爾在光學(xué)問題中由切線的性質(zhì)定出鏡面的形狀等，實(shí)際上都需要建立和求解微分方程。2.微分方程的歷史發(fā)展概況起始于1675.

奠基人:IsaacNewton(1642-1727)GottfriedWilhelmvonLeibniz(1646-1716)在DE歷史發(fā)展中具有里程碑作用的兩個(gè)問題：二體運(yùn)動(dòng)，海王星的發(fā)現(xiàn)6GalileoGalilei(1564–1642)FreeFallingObjectmgOyy=y(t)MathematicalModelNatureiswritteninthelanguageofmathematics.7LeonhardEuler(1707-1783),AlexisClaudeClairaut(1713-1765),JosephLouisLagrange

(1736-1813),JeanLeRondd'Alembert(1717-1783).

常微分方程研究的歷史發(fā)展大體可分為四個(gè)階段：17世紀(jì)末到18世紀(jì)；19世紀(jì)初期和中期；19世紀(jì)末期及20世紀(jì)初期，以及20世紀(jì)中期以后。(1).17世紀(jì)末到18世紀(jì)是常微分方程產(chǎn)生和發(fā)展的第一個(gè)階段。研究中心問題是求常微分方程的通解.JacopoRiccati's(1676-1754),Bernoulli家族,8(2).19世紀(jì)初期和中期是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)變時(shí)期。

Cauchy等人完成的常微分方程奠定性工作——解的存在唯一性定理，由此開創(chuàng)了常微分方程解析理論；另一方面，Liouville在19世紀(jì)40年代證明了黎卡提方程一般不能用初等積分法解出。Sturm的工作提出了對(duì)解進(jìn)行定性的最初思想。9(3)19世紀(jì)后半葉和20世紀(jì)初。SophusLie的工作促使微分方程的研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向了解析理論和定性理論。19世紀(jì)末，由Poincare和Liapunov分別創(chuàng)立了常微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論，代表了一種嶄新的研究非線性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影響到今天。

20世紀(jì)初，Birkhoff在動(dòng)力系統(tǒng)方面開辟了一個(gè)新領(lǐng)域。10(4)20世紀(jì)中期起，常微分方程的發(fā)展既深又廣，進(jìn)入了一個(gè)新的階段，包括了四個(gè)方面的工作。第一是由于工程技術(shù)的需要而產(chǎn)生新型問題和新的分支。常微分方程與其它學(xué)科或領(lǐng)域相結(jié)合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如：控制論，分支理論，泛函微分方程，脈沖微分方程，時(shí)間尺度上的微分方程，分?jǐn)?shù)階微分方程，（倒向）隨機(jī)微分方程等。11倒向隨機(jī)微分方程理論是90年代興起的研究領(lǐng)域,而與之相對(duì)應(yīng)的正向隨機(jī)微分方程的發(fā)展卻有半個(gè)多世紀(jì)的歷史,并出現(xiàn)許多優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)果以及在很多方面獲得了應(yīng)用。它不僅有直接的應(yīng)用背景,并且與其它數(shù)學(xué)分支如測(cè)度論、偏微分方程、微分幾何、勢(shì)論等發(fā)生了非常自然的而且常常是意想不到的聯(lián)系,互相促進(jìn),相映生輝.許多著名的數(shù)學(xué)家都為之吸引,在這一領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn).其結(jié)果又反過來促進(jìn)了其它學(xué)科的進(jìn)展.近期一個(gè)典型的例子就是P.L.Lions等提出的非線性二階偏微分方程的粘性解理論,其直接動(dòng)力就是來源于他在隨機(jī)微分方程和隨機(jī)控制理論方面的研究.倒向隨機(jī)微分方程法國(guó)科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家Bismut1973年在他的博士論文中首次探討了倒向隨機(jī)微分方程的概念,提出了線性倒向隨機(jī)微分方程并且獲得了它的存在唯一性定理。但是這個(gè)結(jié)果僅在較小的范圍里,主要是隨機(jī)最優(yōu)控制理論界引起了注意,人們也不知道一個(gè)一般的非線性的倒向隨機(jī)徽分方程是否存在,是否有意義。BackwardStochasticDifferentialEquations121990彭實(shí)戈院士和他的合作者E.Pardoux發(fā)表了“具有適應(yīng)解的倒向隨機(jī)微分方程”一文，提出一般的非線性的倒向隨機(jī)微分方程的框架,并且解決了作為其理論基礎(chǔ)的存在唯一性定理。倒向隨機(jī)微分方程的理論研究的歷史較短,但進(jìn)展卻很迅速.除了其理論本身所具有的有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)之外,還因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了重要的應(yīng)用前景.1992年，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Duffie和Epstein也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)可以用這一方程的一個(gè)特別典型的情況來描述不確定經(jīng)濟(jì)環(huán)境下的消費(fèi)偏好(即效用函數(shù)理論——這是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ).彭通過倒向隨機(jī)微分方程獲得了非線性Feynman-Kac公式,從而可以用來處理諸如反應(yīng)擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程等眾所周知的重要非線性偏微分方程組.法國(guó)數(shù)學(xué)家EiKaroui和Quenez發(fā)現(xiàn)倒向隨機(jī)徽分方程可以應(yīng)用于金融領(lǐng)域,金融市場(chǎng)的許多重要的派生證券(如期權(quán)期貨等)的理論價(jià)格可以用倒向隨機(jī)微分方程解出.特別是應(yīng)用于作為現(xiàn)代金融理論的核心的衍生證券定價(jià)理論。而對(duì)于這個(gè)理論的數(shù)學(xué)—金融數(shù)學(xué)又剛剛起步,所以這個(gè)研究方向引起了人們對(duì)倒向隨機(jī)微分方程很大的興趣。這導(dǎo)致了1996年首屆倒向隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議的召開。13倒向隨機(jī)微分方程的研究之所以大大滯后于正向隨機(jī)微分方程,倒向方程發(fā)展晚得多的主要原因是技術(shù)上和思路上存在障礙。首先,正向隨機(jī)微分方程與倒向隨機(jī)微分方程在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的區(qū)別.所以難以從正向隨機(jī)微分方程出發(fā)猜想出倒向隨機(jī)微分方程的形式.其次,從應(yīng)用的角度講.正向隨機(jī)微分方程考慮的是如何認(rèn)識(shí)一個(gè)客觀存在的隨機(jī)過程,而倒向隨機(jī)微分方程則主要關(guān)心在有隨機(jī)干擾的環(huán)境中如何使一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).從認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)來看這一滯后也是自然的.14彭實(shí)戈，數(shù)學(xué)家，中國(guó)科學(xué)院院士，山東大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)工程學(xué)院博士生導(dǎo)師，山東大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，金融研究院院長(zhǎng)。長(zhǎng)期致力于隨機(jī)控制、金融數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)方面的研究，在隨機(jī)控制理論研究領(lǐng)域，有很高的國(guó)際知名度。他和法國(guó)數(shù)學(xué)家Pardoux教授一起開創(chuàng)了“倒向隨機(jī)微分方程”的新方向，成為研究金融產(chǎn)品定價(jià)的重要工具。以彭實(shí)戈的名字命名的“彭一般原理”、“彭最大值原理”以及他所開創(chuàng)的新領(lǐng)域包括：倒向隨機(jī)微分方程，即“巴赫杜(Pardoux)-彭方程”，在隨機(jī)分析、隨機(jī)控制和金融數(shù)學(xué)界已經(jīng)獲得了很高的國(guó)際知名度。彭實(shí)戈曾十幾次被邀參加國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議并作報(bào)告，是首位受邀赴國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)做一小時(shí)演講的大陸全職學(xué)者。15E.PardouxandS.G.Peng:Adaptedsolutionofabackwardstochasticdifferentialequation.SystemsandControlLetters1990,14(1):55-61.CitedByinScopus(304).截止2014年9月1日，該文已至少被1784篇其他論文/著引用過。被數(shù)學(xué)界專家一致稱為倒向隨機(jī)微分方程理論的奠基性文章：16彭實(shí)戈曾長(zhǎng)期以為，數(shù)學(xué)是純粹的學(xué)術(shù)問題，當(dāng)一位法國(guó)金融學(xué)家告訴他，他的“倒向隨機(jī)微分方程”在金融上有很高的使用價(jià)值時(shí)，他甚至有幾分不悅，認(rèn)為把他心目中圣潔的數(shù)學(xué)與金錢聯(lián)系在一起幾乎是一種。但在研究了金融方面的有關(guān)資料，他發(fā)現(xiàn)，自己的成果確實(shí)能夠應(yīng)用于金融領(lǐng)域。1993年，彭實(shí)戈派學(xué)生調(diào)查、了解期貨市場(chǎng)情況，他敏銳地發(fā)現(xiàn)中國(guó)期權(quán)期貨交易中存在的一些嚴(yán)重問題。當(dāng)時(shí)絕大部分企業(yè)、機(jī)構(gòu)對(duì)期貨、期權(quán)的避險(xiǎn)功能了解甚少，在不清楚這種現(xiàn)代金融工具所隱藏的巨大風(fēng)險(xiǎn)以及如何度量和規(guī)避這種金融風(fēng)險(xiǎn)的情況下，便盲目投資，進(jìn)行境外期貨期權(quán)交易。投資者每做一單交易，輸?shù)母怕蚀笥?0%，而贏的概率少于30%。于是，他寫了兩封信，一封交給潘承洞校長(zhǎng)，潘校長(zhǎng)立即轉(zhuǎn)呈山東省副省長(zhǎng)，另一封，遞交國(guó)家自然科學(xué)基金委。信中，他陳述了自己對(duì)國(guó)際期貨、期權(quán)市場(chǎng)的基本看法，以及中國(guó)當(dāng)時(shí)進(jìn)行境外期貨交易所面臨的巨大風(fēng)險(xiǎn)，并建議從速開展對(duì)國(guó)際期貨市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)分析和控制的研究并加強(qiáng)對(duì)金融高級(jí)人才的培養(yǎng)。彭實(shí)戈還親赴北京，向國(guó)家自然科學(xué)基金委領(lǐng)導(dǎo)當(dāng)面表達(dá)自己的意見。后來，山東省立即停止了境外期貨交易。17對(duì)中國(guó)金融數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)

1996年12月10日，國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)在北京召開專家會(huì)議，審議了彭實(shí)戈的報(bào)告，啟動(dòng)了國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目“金融數(shù)學(xué)、金融工程和金融管理”。此項(xiàng)目由彭實(shí)戈任第一負(fù)責(zé)人，集中中科院、復(fù)旦大學(xué)、南開大學(xué)、浙江大學(xué)、清華大學(xué)、中國(guó)人民銀行、財(cái)政部、國(guó)家稅務(wù)總局等20個(gè)單位的專家學(xué)者，向這一領(lǐng)域發(fā)起全面攻關(guān)。這是“九五”期間國(guó)家自然科學(xué)基金委列入管理和數(shù)學(xué)學(xué)科的唯一重大項(xiàng)目，也標(biāo)志著中國(guó)金融數(shù)學(xué)開始了一個(gè)從無到有的過程。而彭實(shí)戈公式的提出，對(duì)不完全、不規(guī)范條件下的金融市場(chǎng)同樣適用。所以，彭實(shí)戈的文章被稱為“奠基性論文”，為金融數(shù)學(xué)理論大廈埋下了一塊重要的基石。在中國(guó)，金融學(xué)曾一直屬于文科，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于世界水平。彭實(shí)戈的理論建樹使中國(guó)成為這一領(lǐng)域的后起之秀，并躋身國(guó)際金融數(shù)學(xué)界的前列。彭實(shí)戈帶領(lǐng)他的學(xué)生們，在經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)學(xué)、控制等領(lǐng)域做了大量研究工作，針對(duì)許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域迫在眉睫的問題，獲得一系列研究成果，得到中國(guó)國(guó)內(nèi)有關(guān)專家、領(lǐng)導(dǎo)的高度評(píng)價(jià)。18當(dāng)代高科技的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用和深入研究提供了更好的手段。數(shù)學(xué)機(jī)械化的思想也滲透和應(yīng)用到ODE這一分支。用計(jì)算機(jī)求方程的精確解，近似解，對(duì)解的性態(tài)進(jìn)行研究。Maple，MatlabMathematica等數(shù)學(xué)軟件（P389）。第二是由于應(yīng)用問題需要以及由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生的其它近似的解析形式的解的求法。第三是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與發(fā)展對(duì)于常微分方程研究的推動(dòng)及由此產(chǎn)生的成果?；煦绲鹊陌l(fā)現(xiàn)。19秦元?jiǎng)?，葉彥謙到目前為止，本科常微分方程教材基本上都是反映以上這一階段中的一些解法和基本理論。第四是常微分方程理論本身向高維數(shù)、抽象化的方向發(fā)展。203.學(xué)科內(nèi)容及研究方法經(jīng)典部分：以數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)為工具，以求微分方程的解為主要目的；現(xiàn)代部分：主要是用泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等知識(shí)來研究解的性質(zhì)。研究方法：解析法,幾何法(定性),數(shù)值方法

21作為課程，

常微分方程把前階段已獲得的微積分、線性代數(shù)、解析幾何及物理方面的知識(shí)，首次較普遍、較深入地結(jié)合起來，用以初步解決數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問題中出現(xiàn)的一批重要而基本的微分方程。同時(shí)在這個(gè)過程中自然地提出和建立起微分方程本身的基本理論和基本方法，也為后繼課程（數(shù)理方程，數(shù)值方法、偏微分方程、微分幾何、泛函分析等）起到承前啟后的作用，是數(shù)學(xué)理論中不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)科近代知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力有重要作用。22它的理論和方法，過去和現(xiàn)在都對(duì)力學(xué)、天文、物理、化學(xué)、生物，各種技術(shù)科學(xué)及若干社會(huì)科學(xué)（如人口理論、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)等提供了有力的工具，后者反過來也不斷地向它提出新的問題，刺激著它不斷向前發(fā)展。23

學(xué)好微分方程的先決條件:數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)：C級(jí)244.課程內(nèi)容:(1)一階微分方程的初等解法(2)高階微分方程(3)線性微分方程組(4)微分方程解的存在唯一性定理(5)應(yīng)用

255.教材

常微分方程（第三版）王高雄等編

6.

參考書

iii.常微分方程習(xí)題解，莊萬(wàn)iv.常微分方程習(xí)題集，周尚仁v.常微分方程解題方法，錢祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991（第一版），2004（第二版）。

ii.常微分方程講義(第二版)，葉彥謙，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，竇雯虹vii.常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解，石瑞青等267.課程評(píng)價(jià):平時(shí)成績(jī)(20%-30%)：作業(yè)(20%)答質(zhì)疑(10%)章節(jié)總結(jié)(20%)小測(cè)驗(yàn)、自主命題(20%)課堂參與、筆記(10%)出勤(20%)期末考試(70-80%)剽竊反饋sshrong@163.com27聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，稱之為微分方程。注：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是不可缺少的例：28客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程中量與量之間的關(guān)系簡(jiǎn)單問題直接寫出關(guān)系式：函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜關(guān)系不易寫出函數(shù)關(guān)系式，但易建立變量滿足的微分方程29在這一節(jié)中列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際例子，說明怎樣從實(shí)際問題列成微分方程的問題。例子雖然簡(jiǎn)單，但是從中能夠簡(jiǎn)明地誘導(dǎo)出微分方程的一些基本概念，成為進(jìn)一步探討其它較復(fù)雜問題的借鑒。掌握好這些例子，會(huì)有助于增進(jìn)我們分析問題的能力。30例1

物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻時(shí),測(cè)量得它的溫度為10分鐘后測(cè)得溫度為我們要求決定此物體的溫度和時(shí)間的關(guān)系，并計(jì)算20分鐘后物體的溫度.這里我們假定空氣的溫度保持為§1.1常微分方程模型31在一定的溫度范圍內(nèi)（其中包括了上述問題的溫度在內(nèi))，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體溫度和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例。解：牛頓（Newton）冷卻定律：32設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為則溫度的變化速度為由牛頓冷卻定律得這里是比例常數(shù)。方程（1.1）就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.(1.1)注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，知溫差又因物體將隨時(shí)間而逐漸冷卻，模型建立因而由33由(1.2)可得這里令，即得因此是“任意常數(shù)”。34由已知：

當(dāng)時(shí)，于是（1.3）模型求解35又時(shí)，，得到從而由此，將和代入，得（1.4）模型求解36根據(jù)方程（1.4），可以計(jì)算出任何時(shí)刻t物體的溫度u的數(shù)值了。模型應(yīng)用37

微分方程的“解”的圖形表示t(分)7010015024O1020406080u(0C)圖(1.1)38

利用微分方程解決實(shí)際問題的基本步驟:（1）建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個(gè)實(shí)際問題的微分方程；（2）求解這個(gè)微分方程；（3）用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實(shí)際問題。39

建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型一般比較困難的，因?yàn)檫@需要對(duì)與問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個(gè)清晰的了解（例如,例1中就要了解熱力學(xué)中的牛頓冷卻定律），同時(shí)也需要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。40我們?cè)诮⑽⒎址匠痰臅r(shí)候，只能考慮影響這個(gè)物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么我們所得到的微分方程，它的解和所考慮的物理現(xiàn)象比較接近的。這時(shí)，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用；否則，我們還應(yīng)該考慮其他的一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型。41例2電路

如圖所示的R-L-C電路.它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t).設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I

與時(shí)間t

之間的關(guān)系.

42電容電阻電感解：或又由基爾霍夫第二定律43若常數(shù)，又進(jìn)一步，R=0，則（1.6）（1.7）（1.8）則44數(shù)學(xué)擺例3

數(shù)學(xué)擺是系于一根長(zhǎng)度為的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動(dòng).如圖所示.試確定擺的運(yùn)動(dòng)方程.45解：的正方向，得由Newton第二定律得即取反時(shí)針運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?jì)算擺與鉛垂線所成的角（1.9）46注1：若只研究擺的微少振動(dòng)，即較少的情況，則注2：若在假設(shè)擺在一個(gè)粘性的介質(zhì)中擺動(dòng)，設(shè)阻力系數(shù)為則即（1.10）（1.11）47注3：若沿著擺的運(yùn)動(dòng)方向恒有一個(gè)外力F(t)，則（1.12）48背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一.研究人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提.491、指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）：英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）3、更復(fù)雜的人口模型隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等

數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。例4人口模型宋健等首創(chuàng)了人口控制論新交叉學(xué)科，研究建立了人口控制模型．(1837年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst)50指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)N(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口凈(相對(duì))增長(zhǎng)率r（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)。隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng).51指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)(2510年，2000億)52阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(N很小時(shí))Nm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是N的減函數(shù)(Verhulst,1837)53NmtN0N(t)~S形曲線,N增加先快后慢N0Nm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)54模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,Nm=434.0N(2010)=306.055例5傳染病模型假設(shè)傳染病傳播期間某地區(qū)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n.開始時(shí)染病人數(shù)為在時(shí)刻t的健康人數(shù)為y(t),染病人數(shù)為x(t),則設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k,則56SI模型無免疫性的傳染病設(shè)單位時(shí)間治愈率為則SIS模型此傳染病的平均傳染期整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)57有很強(qiáng)免疫性的傳染病設(shè)在時(shí)刻t的愈后免疫人數(shù)為r(t),治愈率為常數(shù)l,則而SIR模型及58在生物界有一種捕食與被捕食的關(guān)系.例如在南極海洋中生活的須鯨和南極蝦就是這種關(guān)系.設(shè)被食魚的數(shù)量是x(t),捕食魚的數(shù)量是y(t),若沒有捕食魚,被食魚的數(shù)量將指數(shù)式地增長(zhǎng):沃特拉（Volterra）被捕食-捕食模型但有了捕食魚時(shí),其增長(zhǎng)率降低。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)捕食魚與被食魚相遇的次數(shù)為bxy(b>0)因此捕食魚與被食魚相遇被食魚被吃掉的速度例6兩生物種群生態(tài)模型59而捕食魚的自然減少率與它們存在的數(shù)量成正比，即-cy,同類相爭(zhēng)造成的死亡速度自然增長(zhǎng)率與它們存在的數(shù)量及食物的數(shù)量成正比，即dxy,于是60競(jìng)爭(zhēng)模型甲乙兩種群競(jìng)爭(zhēng)同一資源時(shí)的成長(zhǎng)情況：b,d<0時(shí)，兩種群相互促進(jìn)，相互依賴--共生模型61有相互關(guān)系的甲乙兩種群的成長(zhǎng)情況：其中a,b,c,d,e,可正可負(fù)。一般可分為競(jìng)爭(zhēng)，共生，捕食-被捕食等類型。注：對(duì)一個(gè)種群，若其內(nèi)部存在密度制約關(guān)系時(shí)，即為L(zhǎng)ogistic模型。62更一般地，兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)可表示為M，N為相對(duì)于x,y的增值率。63例7Lorenz方程其中a,c,b為變化區(qū)域有一定限制的實(shí)參數(shù)。該方程形式簡(jiǎn)單，表面上看并無驚人之處，但由該方程揭示出的許多現(xiàn)象，促使"混沌“成為數(shù)學(xué)研究的嶄新領(lǐng)域，在實(shí)際應(yīng)用中也產(chǎn)生了巨大的影響。64Lorenz（1960）研究“長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)”問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)方程組的參數(shù)取某些值的時(shí)候，軌線運(yùn)動(dòng)會(huì)變的復(fù)雜和不確定，具有對(duì)初始條件的敏感依賴性，也就是初始條件最微小的差異都會(huì)導(dǎo)致軌線的行為的無法預(yù)測(cè)。根據(jù)數(shù)值分析，Lorenz得出結(jié)論說天氣的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)是不可能的，形象化的說法就是所謂的蝴蝶效應(yīng)。他說“巴西境內(nèi)的一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀，可能引起德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)”把混沌這個(gè)術(shù)語(yǔ)引入的是美國(guó)的數(shù)學(xué)教授約克和他的學(xué)生李天巖。65 1961年美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的可能性。 有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬(wàn)里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！66后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識(shí)到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感，而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。67蝴蝶效應(yīng)是說，初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對(duì)其未來狀態(tài)會(huì)造成極其巨大的差別。有些小事可以糊涂，有些小事如經(jīng)系統(tǒng)放大，則對(duì)一個(gè)組織、一個(gè)國(guó)家來說是很重要的，就不能糊涂。一個(gè)壞的微小的機(jī)制，如果不加以及時(shí)地引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會(huì)給社會(huì)帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”；一個(gè)好的微小的機(jī)制，只要正確指引，經(jīng)過一段時(shí)間的努力，將會(huì)產(chǎn)生轟動(dòng)效應(yīng)，或稱為“革命”。68今天，“蝴蝶效應(yīng)”幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞。把混沌這個(gè)術(shù)語(yǔ)引入的是美國(guó)的數(shù)學(xué)教授約克和他的學(xué)生李天巖。洛倫茲曲線6970不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型這一事實(shí)，是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論依據(jù)。例如，利用電路來模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)械系統(tǒng)等等在現(xiàn)時(shí)已相當(dāng)普遍。模擬式電子計(jì)算機(jī)就是根據(jù)這一思想設(shè)計(jì)制造的。71小結(jié)1.微分方程數(shù)學(xué)模型的建立。構(gòu)造ODE的數(shù)學(xué)模型的常用方法：（1）從物理、力學(xué)等已確定的自然規(guī)律出發(fā)；（2）利用類比的方法；（3）通過分析已有數(shù)據(jù)的相互關(guān)系并加以合理的邏輯推導(dǎo)，尋找出相關(guān)規(guī)律。(4)根據(jù)一定目的，通過反復(fù)試驗(yàn)，尋找適合要求的模型。722.常微分方程是一門與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)課程，注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用；而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上。73作業(yè)：習(xí)題1.28（1），（3）74補(bǔ)充作業(yè)：設(shè)警方對(duì)司機(jī)飲酒后駕車時(shí)血液中酒精含量的規(guī)定為不超過80%(mg/ml).現(xiàn)有一起交通事故,在事故發(fā)生3個(gè)小時(shí)后,測(cè)得司機(jī)血液中酒精含量是56%(mg/ml),又過兩個(gè)小時(shí)后,測(cè)得其酒精含量降為40%(mg/ml),試判斷:事故發(fā)生時(shí),司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定?75§1.2基本概念

76微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。Definition

微分方程（DifferentialEquation）Remark:微分方程中的未知量是函數(shù).注意與代數(shù)方程的區(qū)別。77常微分方程

(ODE)-自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation）分類：偏微分方程(PDE)-自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程。78微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。(2)微分方程的階數(shù):Example:(1),(5)與(6)為一階DE,而(2),(3),（4），（7），（8）為二階DE。

79Example:80二階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：為自變量，為的函數(shù)的一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：81一般地，

階常微分方程具有形式

的已知函數(shù)，而且一定含有

是注1：隱式形式注2：顯式形式82練習(xí)1指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是常微分方程還是偏微分方程：83（3）線性和非線性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

則稱(1）為

的左端為階線性微分方程。（1）84這里

是的已知函數(shù)。階線性微分方程具有形式一般地，不是線性方程的方程稱為非線性方程。例如，方程

是二階非線性方程，而方程是一階非線性方程。85Example:86練習(xí)2指出下面微分方程的階數(shù)，并回答是否線性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy87（4）解和隱式解如果將函數(shù)

（1）代入方程為方程（1）的解。

能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱函數(shù)

后，88確定的隱函數(shù)

的解，則稱

為方程（1）的隱式解。如果關(guān)系式是（1）89有解

和

而關(guān)系式

為方程的隱式解。例如，一階微分方程事實(shí)上，由得所以為的解。由得所以90Remark：解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。91練習(xí)3驗(yàn)證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：(c是任意常數(shù))92（5）通解和特解

含有

個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)

的解

稱為

階方程的通解（隱式通解）。93

Remark:為n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)

解n個(gè)任意常數(shù)94Remark：通解不一定包含方程的所有解。例：的通解為也為其解，但它不包含在通解中。95實(shí)際問題中經(jīng)常需要尋找微分方程滿足某種特定條件的解，這個(gè)特定條件就是定解條件。定解條件：初值條件，邊界條件96是給定的

個(gè)常數(shù)。時(shí)，

當(dāng)階微分方程個(gè)條件：

的初始條件是指如下的

注：這里97初始條件有時(shí)可寫為98求微分方程滿足初始條件解的問題，稱為初值問題（IVP）或Cauchy問題。滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。求微分方程滿足邊值條件解的問題，稱為邊值問題（BVP）。求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題。99的解

就是一階方程就是滿足初始條件當(dāng)

時(shí)，

的特解。的通解；例如，在§1.1的例1中，含有一個(gè)任意常數(shù)C而滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。100階微分方程的初值問題可表示為一階微分方程的初值問題可表示為或101102103（1）求出它的通解；（2）求通過點(diǎn)（1，4）的特解。例2

給定一階微分方程解：C為任意常數(shù)。（2）將x=1,y=4

代入（1），得C=2，所以所求特解為104（6）積分曲線和方向場(chǎng)微分方程（2）的通解一階微分方程

（2）的解

稱之為微分方程（２）的積分曲線。滿足初始條件

的特解就是通過點(diǎn)

的一條積分曲線。稱之為微分方程（２）的積分曲線族。105106方程的切線斜率上恰好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值；函數(shù)反之,如果在一條曲線每點(diǎn)上其切線斜率剛好等于的值，則這一條曲線就是方程在這點(diǎn)的值，則這條曲線就是方程積分曲線與的關(guān)系的積分曲線。的積分曲線的每一點(diǎn)107ConsiderthefollowingIVP(1)UsetheExistenceandUniquenessTheoremtoshowthat(1)hasauniquesolut