工程測試測試系統(tǒng)動態(tài)特性小結(jié)

工程測試測試系統(tǒng)動態(tài)特性小結(jié)第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日從數(shù)學(xué)上可以用常系數(shù)線性微分方程表示系統(tǒng)的輸出量y與輸入量x的關(guān)系，這種方程的通式如下：式中，an、an-1、…、a1、a0和bm、bm-1、…、b1、b0均為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)但與時間無關(guān)的常數(shù)。測量系統(tǒng)的動態(tài)特性是指系統(tǒng)對激勵（輸入）的響應(yīng)（輸出）特性。動態(tài)特性的數(shù)學(xué)描述第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日任何一個系統(tǒng)均可視為是由多個一階、二階系統(tǒng)的并聯(lián)。也可將其轉(zhuǎn)換為若干一階、二階系統(tǒng)的串聯(lián)。研究一階、二階系統(tǒng)。第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日定義其初始值為零時，輸出的拉氏變換和輸入的拉氏變換之比稱為測量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并記為，則引入傳遞函數(shù)概念之后，在、和三者之中，知道任意兩個，第三個便可求得。描述動態(tài)特性可用：傳遞函數(shù)第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日稱為測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱為頻率響應(yīng)或頻率特性。

頻率響應(yīng)是傳遞函數(shù)的一個特例。定義：測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是在初始條件為零時，輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比，是在“頻域”對系統(tǒng)傳遞信息特性的描述。頻率響應(yīng)函數(shù)是一個復(fù)數(shù)函數(shù)，用指數(shù)形式表示：頻率響應(yīng)函數(shù)第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

脈沖響應(yīng)函數(shù)由于，將其代入式得對上式兩邊取拉氏逆變換，且令則有第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日對于任意輸入所引起的響應(yīng)，可利用兩個函數(shù)的卷積關(guān)系，即系統(tǒng)的響應(yīng)等于沖激響應(yīng)函數(shù)同激勵的卷積，即

脈沖響應(yīng)函數(shù)用于求任意輸入的響應(yīng)第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日線性系統(tǒng)性質(zhì)：a)疊加性

系統(tǒng)對各輸入之和的輸出等于各單個輸入的輸出之和，即若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)則x1(t)±x2(t)→y1(t)±y2(t)b)比例性

常數(shù)倍輸入所得的輸出等于原輸入所得輸出的常數(shù)倍，即:若x(t)→y(t)則kx(t)→ky(t)第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日c)微分性

系統(tǒng)對原輸入信號的微分等于原輸出信號的微分，即若x(t)→y(t)則x'(t)→y'(t)d)積分性

當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)對原輸入信號的積分等于原輸出信號的積分，即若x(t)→y(t)則∫x(t)dt→∫y(t)dt第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日e)頻率保持性

若系統(tǒng)的輸入為某一頻率的諧波信號，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將為同一頻率的諧波信號，即

若x(t)=Acosωt

則y(t)=Bcos(ωt+φ)線性系統(tǒng)的這些主要特性，特別是符合疊加原理和頻率保持性，在測量工作中具有重要作用。第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日一階系統(tǒng)的動態(tài)特性靈敏度歸一化后，式寫成傳遞函數(shù)：頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日得到脈沖響應(yīng)函數(shù)為由一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)：

頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：二階系統(tǒng)動態(tài)特性：靈敏度歸一化后方程第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)：

頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日得到脈沖響應(yīng)函數(shù)為由二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日 系統(tǒng)對任意激勵信號的響應(yīng)是該輸入激勵信號與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。

根據(jù)卷積定理，上式的復(fù)數(shù)域表達(dá)式則為

一階和二階系統(tǒng)對各種典型輸入信號的響應(yīng)第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日圖2-20一階系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)

當(dāng)時間t=4τ，y(t)=0.982，此時系統(tǒng)輸出值與系統(tǒng)穩(wěn)定時的響應(yīng)值之間的差已不足2%，可近似認(rèn)為系統(tǒng)已到達(dá)穩(wěn)態(tài)。一階裝置的時間常數(shù)應(yīng)越小越好。階躍輸入方式簡單易行，因此也常在工程中采用來測量系統(tǒng)的動態(tài)特性。

第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日二階系統(tǒng)對單位階躍的響應(yīng)第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日一正弦信號（單一頻率）輸入到一個一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為將

代入后可求解出微分方程

一階系統(tǒng)單位頻率（單位正弦）輸入響應(yīng)第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)輸入拉氏變換輸出拉氏變換可分解成系數(shù)c計算系數(shù)a,b計算得到系數(shù)a,b第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日代入得：全響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+衰減響應(yīng)其中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)衰減響應(yīng)第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日若一個二階系統(tǒng)微分方程為

將

代入求解得式中

穩(wěn)態(tài)項(xiàng)衰減項(xiàng)結(jié)論無論一階還是二階系統(tǒng)，其時域響應(yīng)均可認(rèn)為是由衰減項(xiàng)與不衰減項(xiàng)組成。衰減項(xiàng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)分量，它將隨時間逐漸衰減到零，反映了系統(tǒng)的固有特性。不衰減項(xiàng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，隨時間增長而趨于穩(wěn)定的部分。第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日單位斜坡輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)

單位斜坡函數(shù)一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)傳遞函數(shù)為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為系統(tǒng)的輸出總滯后于輸入一個時間τ，因此系統(tǒng)始終存在有一個穩(wěn)態(tài)誤差。特別：輸入：

則響應(yīng)：系統(tǒng)的輸出滯后于輸入一個時間τ。單位斜坡函數(shù)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日二階系統(tǒng)的斜坡輸入響應(yīng)為：欠阻尼情況：其中其傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日一階和二階系統(tǒng)對各種典型輸入信號的響應(yīng)第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日上表中第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日例已知：求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出幅值相位差幅值相位差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)例子例：一階溫度計時間常數(shù)為6秒，在75oC時突然將其承受一個從75oC-300oC的階躍溫度變化，求在過程開始后10秒溫度計顯示的溫度。解：溫度方程一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)開始時溫度為75oC考慮到初始溫度的解為：10秒時度計顯示溫度為：第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日例：上例中，變成在300oC時突然將其承受一個從300oC-75oC的階躍溫度變化，求在過程開始后10秒溫度計顯示的溫度。解：溫度方程開始時溫度為300oC考慮到初始溫度的解為：溫度計顯示溫度為：第三十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日一階系統(tǒng)頻率輸入響應(yīng)例子例：一階溫度計時間常數(shù)為10秒，測量在75oC-300oC之間按余弦函數(shù)形式變化的氣體溫度，周期為20秒，求溫度計顯示的溫度?