高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．3獨立性 第2章事件的獨立性

2.3.2事件的獨立性1．了解兩個事件相互獨立的概念，會判斷兩個事件是否為相互獨立事件．(難點)2．掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算公式，并能利用該公式計算相關(guān)問題的概率．(重點)3．了解互斥事件與相互獨立事件的聯(lián)系與區(qū)別，綜合利用事件的互斥性與獨立性求解綜合問題．(易錯點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理事件的獨立性閱讀教材P59～P60，完成下列問題．1．事件的獨立性的概念(1)概念：若事件A，B滿足P(A|B)＝P(A)，則稱事件A，B獨立．(2)含義：P(A|B)＝P(A)說明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．2．相互獨立事件的概率計算如果任何事件與必然事件獨立，與不可能事件也獨立，那么(1)兩個事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An3．相互獨立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．1．下列說法正確的有________．(填序號)①對事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨立；②若事件A，B相互獨立，則P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))×P(eq\x\to(B))；③如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)；④若事件A與B相互獨立，則B與eq\x\to(B)相互獨立．【解析】若P(B|A)＝P(B)，則P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互獨立，所以①正確；若事件A，B相互獨立，則eq\x\to(A)，eq\x\to(B)也相互獨立，故②正確；若事件A，B相互獨立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故③正確；④B與eq\x\to(B)相互對立，不是相互獨立，故④錯誤．【答案】①②③2．甲、乙兩人投球命中率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則甲、乙兩人各投一次，恰好命中一次的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號：29440046】【解析】事件“甲投球一次命中”記為A，“乙投球一次命中”記為B，“甲、乙兩人各投一次恰好命中一次”記為事件C，則C＝Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B且Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B互斥，P(C)＝P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是,,，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是________，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是________．【解析】三人都達(dá)標(biāo)的概率為××＝.三人都不達(dá)標(biāo)的概率為(1－×(1－×(1－＝××＝.三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－＝.【答案】[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]相互獨立事件的判斷判斷下列各對事件是否是相互獨立事件．(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”．【精彩點撥】(1)利用獨立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷．(2)計算“從8個球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進(jìn)行判斷．(3)利用事件的獨立性定義式判斷．【自主解答】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7)，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件．(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6).∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A與B相互獨立．判斷事件是否相互獨立的方法1．定義法：事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)·P(B)．2．由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．3．條件概率法：當(dāng)P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷．[再練一題]1．同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，令A(yù)＝{第一顆骰子出現(xiàn)奇數(shù)點}，令B＝{第二顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點}，判斷事件A與B是否相互獨立．【解】A＝{第一顆骰子出現(xiàn)1,3,5點}，B＝{第二顆骰子出現(xiàn)2,4,6點}．∴P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3×3,36)＝eq\f(1,4)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互獨立．相互獨立事件發(fā)生的概率面對非洲埃博拉病毒，各國醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有A，B，C三個獨立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3).求：(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率；(3)他們能夠研制出疫苗的概率．【精彩點撥】eq\x(明確已知事件的概率及其關(guān)系)→eq\x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq\x(選擇公式計算求值)【自主解答】令事件A，B，C分別表示A，B，C三個獨立的研究機(jī)構(gòu)在一定時期內(nèi)成功研制出該疫苗，依題意可知，事件A，B，C相互獨立，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)他們都研制出疫苗，即事件ABC同時發(fā)生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,60).(2)他們都失敗即事件eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C))同時發(fā)生．故P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).(3)“他們能研制出疫苗”的對立事件為“他們都失敗”，結(jié)合對立事件間的概率關(guān)系可得所求事件的概率P＝1－P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C)))＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生．[再練一題]2．一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率．【解】記“第1次取出的2個球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(3,100).故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是eq\f(3,100).(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)·eq\f(3,10)＝eq\f(9,50).故第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是eq\f(9,50).[探究共研型]事件的相互獨立性與互斥性探究1甲、乙二人各進(jìn)行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標(biāo)”，B＝“乙擊中目標(biāo)”，試問事件A與B是相互獨立事件，還是互斥事件？事件eq\x\to(A)B與Aeq\x\to(B)呢？【提示】事件A與B，eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)均是相互獨立事件，而eq\x\to(A)B與Aeq\x\to(B)是互斥事件．探究2在探究1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？【提示】“甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C，則C＝eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B).所以P(C)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(B)＋P(A)·P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝.探究3由探究1、2，你能歸納出相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別嗎？【提示】相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作：AB互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B)計算公式P(AB)＝P(A)·P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為,,.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立．求：(1)紅隊中有且只有一名隊員獲勝的概率；(2)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率．【精彩點撥】弄清事件“紅隊有且只有一名隊員獲勝”與事件“紅隊至少兩名隊員獲勝”是由哪些基本事件組成的，及這些事件間的關(guān)系，然后選擇相應(yīng)概率公式求值．【自主解答】設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝，由對立事件的概率公式知P(eq\x\to(D))＝，P(eq\x\to(E))＝，P(eq\x\to(F))＝.(1)紅隊有且只有一名隊員獲勝的事件有Deq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F))，eq\x\to(D)Eeq\x\to(F)，eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F，以上3個事件彼此互斥且獨立．所以紅隊有且只有一名隊員獲勝的概率為P1＝P(Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\x\to(D)Eeq\x\to(F)＋eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F)＝P(Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＋P(eq\x\to(D)Eeq\x\to(F))＋P(eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F)＝××＋××＋××＝.(2)法一：紅隊至少兩人獲勝的事件有：DEeq\x\to(F)，Deq\x\to(E)F，eq\x\to(D)EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to(E)F)＋P(eq\x\to(D)EF)＋P(DEF)＝××＋××＋××＋××＝.法二：“紅隊至少兩人獲勝”與“紅隊最多一人獲勝”為對立事件，而紅隊都不獲勝為事件eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F))，且P(eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F)))＝××＝.∴紅隊至少兩人獲勝的概率為P2＝1－P1－P(eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F)))＝1－－＝.1．本題(2)中用到直接法和間接法．當(dāng)遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．2．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行：(1)列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎舅鼈儯?2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運用概率公式進(jìn)行計算．[再練一題]3．某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若對這三名短跑運動員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測，則求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大．【解】記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有兩人合格的概率：P2＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).綜合(1)(2)可知P1最大．所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大．[構(gòu)建·體系]1．若A與B是相互獨立事件，則下面不是相互獨立事件的是________．①A與eq\x\to(A)；②A與eq\x\to(B)；③B與eq\x\to(A)；④eq\x\to(A)與eq\x\to(B).【解析】A與eq\x\to(A)是互斥事件，不可能是相互獨立事件．【答案】①2．已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(AB)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【解析】∵A，B是相互獨立事件，∴eq\x\to(A)與B也是相互獨立事件．∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝(1－P(A))P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)eq\f(1,3)3．明天上午李明要參加“青年文明號”活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為，則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是________．【解析】設(shè)兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的事件為A，則P(A)＝1－(1－(1－＝1－×＝.【答案】4．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________.【導(dǎo)學(xué)號：29440047】【解析】加工出來的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出來的零件的次品率為1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).【答案】eq\f(3,70)5