在自然界和實際生活中,我們會遇到各種各樣的現(xiàn)象

第三章概率3.1隨機事件的概率在自然界和實際生活中，我們會遇到各種各樣的現(xiàn)象．如果從結(jié)果能否預(yù)知的角度來看，可以分為兩大類：

另一類現(xiàn)象的結(jié)果是無法預(yù)知的，即在一定的條件下，出現(xiàn)那種結(jié)果是無法預(yù)先確定的，這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．

一類現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象；我們來看下面的一些事件：（1）“導(dǎo)體通電時，發(fā)熱”；（2）“拋一塊石頭，下落”；（3）“標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；（4）“海南七月下雪”；（5）“某人射擊一次，中靶”；（6）“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”。上面事件發(fā)生與否，各有什么特點？一.隨機事件:在一定條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件.在一定條件S下,一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件,簡稱不可能事件.在一定條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件；簡稱隨機事件.注意：隨機事件要搞清楚什么是隨機事件的條件和結(jié)果。

事件的結(jié)果是相應(yīng)于“一定條件而言的。因此，要弄清某一隨機事件必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產(chǎn)生的結(jié)果。

必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定事件。確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A,B,C……表示.

例1:指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件?(1)某同學(xué)競選學(xué)生會主席的成功性；（2）當(dāng)x是實數(shù)時，x2≥0;（3）技術(shù)充分發(fā)達(dá)后,不需要任何能量的“永動機”將會出現(xiàn)；（4）一個電影院某天的上座率超過50%.（5）某人給朋友打電話，卻忘記了電話號碼的最后一個數(shù)，就隨意的按了一個數(shù)字，剛好是朋友的電話號碼。二.概率的定義: 對于隨機事件,知道它發(fā)生的可能性大小是非常重要的.用概率度量隨機事件發(fā)生的可能性大小能為我們的決策提供關(guān)鍵性的依據(jù).那么,如何才能獲得隨機事件發(fā)生的概率呢? 必然事件發(fā)生的概率為1;不可能事件發(fā)生的概率為0;隨機事件發(fā)生的概率P(A)∈(0,1).1.擲硬幣試驗:第一步:……第二步:……第三步:……第四步:請把全班每個同學(xué)的試驗中正面朝上的次數(shù)收集起來,并用條形圖表示.正面出現(xiàn)次數(shù)的頻數(shù)表第五步:請同學(xué)們找出擲硬幣時“正面朝上”這個事件發(fā)生的規(guī)律性.

隨著試驗次數(shù)的增加,正面朝上的頻率穩(wěn)定于0.5附近.★頻數(shù)與頻率： 在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)； 稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.頻率的取值范圍是[0,1].2.由特殊的事件轉(zhuǎn)到一般事件: 一般說來,隨機事件A在每次試驗中是否發(fā)生是不能預(yù)知的,但是在大量重復(fù)試驗后,隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0,1]中的一個常數(shù)上.3.解釋這個常數(shù)代表的意義: 這個常數(shù)越接近于1,表明事件A發(fā)生的頻率越大,頻數(shù)就越多,也就是它發(fā)生的可能性越大;反過來,事件發(fā)生的可能性越小,頻數(shù)就越少,頻率就越小,這個常數(shù)也就越小. 因此,我們可以用這個常數(shù)來度量事件A發(fā)生的可能性的大小. 對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。因此,可以用頻率fn(A)來估計概率P（A）.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：

(1)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越接近概率.在實際問題中,通常事件的概率未知,常用頻率作為它的近似值.

(2)頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定.

(3)概率是一個確定的數(shù),是客觀存在的,與每次試驗無關(guān). 比如一輛汽車在一年內(nèi)出交通事故的概率就是未知的,保險公司收取汽車的保險費就與此概率有關(guān),一般以當(dāng)?shù)亟煌ú块T的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為依據(jù),得到該事件發(fā)生的頻率作為一年內(nèi)出交通事故的概率的估計值.做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到事件的頻率會不同,比如全班每人做了10次擲硬幣的試驗,但得到正面朝上的頻率可以是不同的. 比如,如果一個硬幣是質(zhì)地均勻的,則擲硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率就是0.5,與做多少次試驗無關(guān).注意以下幾點：

（1）求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗；

（3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；（2）只有當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)才叫做事件的概率；（4）概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小；（5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

三.求隨機事件概率的必要性: 知道事件的概率可以為人們做決策提供依據(jù).

概率是用來度量事件發(fā)生可能性大小的量.小概率事件很少發(fā)生,而大概率事件經(jīng)常發(fā)生.例如天氣預(yù)報報道“今天降水的概率是10%”,可能絕大多數(shù)人出門都不會帶雨具;而如果天氣預(yù)報報道“今天降水的概率是90%”,那么大多數(shù)人出門都會帶雨具.例1盒中裝有4個白球5個黑球，從中任意的取出一個球。

（1）“取出的是黃球”是什么事件？概率是多少？

（2）“取出的是白球”是什么事件？概率是多少？

（3）“取出的是白球或者是黑球”是什么事件？概率是多少？是不可能事件，概率是0是隨機事件，概率是4/9是必然事件，概率是1例2某射擊手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m9194592178455擊中靶心的頻率（1）填寫表中擊中靶心的頻率；（2）這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？0.920.900.950.900.910.89解（2）由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.90，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.90。 小結(jié)：概率實際上是頻率的科學(xué)抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而估計。例3某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶，則此人中靶的概率大約是________，假設(shè)此人射擊1次，試問中靶的概率約為______,中10環(huán)的概率約為_________.0.90.90.2課堂練習(xí)：1．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是（）

A．必然事件B．隨機事件

C．不可能事件D．無法確定2．下列說法正確的是（）

A．任一事件的概率總在（0.1）內(nèi)

B．不可能事件的概率不一定為0 C．必然事件的概率一定為1D．以上均不對BC

課堂小結(jié)1.隨機事件;2.頻數(shù)和頻率;3.概率;4.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.3.1.2概率的意義3.〖教學(xué)情境設(shè)計〗

[復(fù)習(xí)回顧]你能回憶一下隨機事件發(fā)生的概率的定義嗎? 對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。1.概率的正確理解:

〖思考1〗有人說,既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5,那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你認(rèn)為這種想法正確嗎?做做試驗試試看. 點評:這種想法是錯誤的.因為連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣僅僅是做兩次重復(fù)的試驗,試驗的結(jié)果仍然是隨機的,當(dāng)然可以兩次均出現(xiàn)正面朝上或兩次均出現(xiàn)反面朝上.

〖思考2〗連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,你能說說:兩次均正面朝上、一次正面朝上,一次反面朝上、兩次均反面朝上的概率分別是多少嗎? 因為連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果有四種:正正、正反、反正、反反.所以P(兩次均正面朝上)=0.25; P(兩次均反面朝上)=0.25; P(一次正面朝上,一次反面朝上)=0.5.

〖思考3〗做連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣100次,預(yù)測一下“兩個正面朝上”、“一個正面朝上,一個反面朝上”、“兩個反面朝上”大約各出現(xiàn)多少次? 因為同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果有四種:正正、正反、反正、反反.所以P(兩個均正面朝上)=0.25; P(兩個均反面朝上)=0.25; P(一個正面朝上,一個反面朝上)=0.5.

做連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣100次,可以預(yù)見“兩個正面朝上”大約出現(xiàn)25次、“一個正面朝上,一個反面朝上”大約出現(xiàn)50次、“兩個反面朝上”大約出現(xiàn)25次.出現(xiàn)“一個正面朝上,一個反面朝上”的機會要大.歸納小結(jié):

隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的,但隨機中含有規(guī)律性.認(rèn)識了這種隨機性中的規(guī)律性,就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機事件發(fā)生的可能性. 例如:把同樣大小的9個白色乒乓球和1個黃色乒乓球放在一個不透明的袋子中,每次摸出1球后放回袋中,這樣摸10次, (1)每次摸到白球的可能性大還是黃球的可能性大? (2)摸的10次中是否一定至少有1次摸到黃球? 點評:每次摸到白球的概率是0.9,而每次摸到黃球的概率為0.1,因此每次摸到白球的可能性要大.

盡管每次摸到黃球的概率為0.1,但摸10次球,不一定能摸到黃球.

〖思考4〗如果某種彩票的中獎率為,那么買1000張這種彩票一定能中獎嗎?(假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù).)請用概率的意義解釋. 點評:不一定.因為每張彩票是否中獎是隨機的,1000張彩票有幾張中獎也是隨機的.這就是說,每張彩票既可能中獎也可能不中獎,因此1000張彩票中可能沒有一張中獎,也可能有一張、兩張乃至多張中獎. 雖然中獎張數(shù)是隨機的,但這種隨機性中具有規(guī)律性.即隨著所買彩票張數(shù)的增加,其中中獎彩票所占的比例可能越接近于1/1000.2.游戲的公平性: 在各類游戲中,如果每人獲勝的概率相等,那么游戲就是公平的.這就是說,是否公平只要看獲勝的概率是否相等. 例:在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球，請用概率的知識解釋其公平性. 解：這個規(guī)則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5，也就是每個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5。 小結(jié)：事實上，只要能使兩個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)則都是公平的。3.決策中的概率思想:

〖思考1〗連續(xù)擲硬幣100次,結(jié)果100次全部是正面朝上,出現(xiàn)這樣的結(jié)果,你會怎樣想?如果有51次正面朝上,你又會怎樣想?

〖思考2〗如果一個袋中或者有99個紅球,1個白球,或者有99個白球,1個紅球,事先不知道到底是哪種情況.一個人從袋中隨機摸出1球,結(jié)果發(fā)現(xiàn)是紅球,你認(rèn)為這個袋中是有99個紅球,1個白球,還是有99個白球,1個紅球呢?

〖思考3〗如果連續(xù)10次擲一枚正方體骰子,結(jié)果都是出現(xiàn)1點.你認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地均勻嗎?為什么? 點評:如果這枚骰子是均勻的,那么擲一次出現(xiàn)1點的概率是, 連續(xù)擲10次出現(xiàn)1點的概率為 這在一次試驗(即連續(xù)10投擲一枚骰子)中是幾乎不可能發(fā)生的.而當(dāng)骰子不均勻時,特別是當(dāng)6點的那面比較重時(例如灌了鉛或水銀),會使出現(xiàn)1點的概率最大,更有可能連續(xù)10次出現(xiàn)1點.因此我們可以判斷這枚骰子的質(zhì)地不均勻.擲一枚骰子的模擬極大似然法

-------如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù),那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則,這種判斷問題的方法稱為極大似然法.

極大似然法是統(tǒng)計中重要的統(tǒng)計思想方法之一.4.天氣預(yù)報的概率解釋:

〖思考〗某地氣象局預(yù)報說,明天本地降水概率為70%,你認(rèn)為下面兩個解釋中哪一個代表氣象局的觀點? (1)明天本地有70%的區(qū)域下雨,30%的區(qū)域不下雨; (2)明天本地下雨的機會是70%.√ 天氣預(yù)報是氣象專家根據(jù)觀測到的氣象資料和專家們的實際經(jīng)驗,經(jīng)過分析推斷得到的.它不是本書上定義的概率,而是主觀概率的一種. 例:生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預(yù)報說昨天降水概率為90%，結(jié)果根本一點雨都沒下，天氣預(yù)報也太不準(zhǔn)確了。”學(xué)了概率后，你能給出解釋嗎？ 解：天氣預(yù)報的“降水”是一個隨機事件，概率為90%指明了“降水”這個隨機事件發(fā)生的概率，我們知道：在一次試驗中，概率為90%的事件也可能不出現(xiàn)，因此，“昨天沒有下雨”并不說明“昨天的降水概率為90%”的天氣預(yù)報是錯誤的。5.試驗與發(fā)現(xiàn)(P110)6.遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律(P110) 課堂小結(jié) 概率是一門研究現(xiàn)實世界中廣泛存在的隨機現(xiàn)象的科學(xué)，正確理解概率的意義是認(rèn)識、理解現(xiàn)實生活中有關(guān)概率的實例的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有意識形成概率意識，并用這種意識來理解現(xiàn)實世界，主動參與對事件發(fā)生的概率的感受和探索。作業(yè):課本P111頁T2,T3.課本P117頁T6.3.1.3概率的基本性質(zhì)〖教學(xué)情境設(shè)計〗

(1)集合有相等、包含關(guān)系,如{1，3}={3，1},{2，4}{2，3，4，5}等；

(2)在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C1={出現(xiàn)1點}，C2={出現(xiàn)2點}，C3={出現(xiàn)1點或2點}，C4={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}……

觀察上例，類比集合與集合的關(guān)系、運算，你能發(fā)現(xiàn)事件的關(guān)系與運算嗎？1.事件的關(guān)系與運算事件的關(guān)系與運算條件符號事件B包含事件A事件的相等并事件(或和事件)交事件(或積事件)如果事件A發(fā)生,那么事件B一定發(fā)生如果事件A發(fā)生,那么事件B一定發(fā)生,反過來也對.A=B某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生.A∪B(或A+B)某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生.A∩B(或AB)事件的關(guān)系與運算條件含義互斥事件對立事件A∩B為不可能事件(A∩B=)事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生.A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件.事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.3.例題分析： 例1一個射手進(jìn)行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件?事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán). 分析：要判斷所給事件是對立還是互斥，首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎(chǔ)上，兩個事件中一個不發(fā)生，另一個必發(fā)生。解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D.

對立事件有:C和D.練習(xí)：從1，2，…，9中任取兩個數(shù)，其中（1）恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；

（2）至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；（3）至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；

（4）至少有一個偶數(shù)和至少有一個奇數(shù)。

在上述事件中是對立事件的是（

）

A.(1)B.(2)(4)C.(3)D.(1)(3)C練習(xí)：判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由。

從40張撲克牌（紅桃，黑桃，方塊，梅花點數(shù)從1-10各10張）中，任取一張。

（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”。是互斥事件，不是對立事件既是互斥事件，又是對立事件不是互斥事件，也不是對立事件2.概率的幾個基本性質(zhì):(1)任何事件的概率在0~1之間,即0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率為1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率為0,即(4)如果事件A與事件B互斥,則

P(A∪B)=P(A)+P(B)(5)如果事件B與事件A是互為對立事件,則

P(B)=1-P(A)例2如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心（事件A）的概率是0.25，取到方塊（事件B）的概率是0.25，問：（1）取到紅色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 分析：事件C=A∪B，且A與B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C與事件D是對立事件，因此P(D)=1-P(C)．解:(1)P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5;(2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3甲，乙兩人下棋，和棋的概率為1/2，乙獲勝的概率為1/3，求：（1）甲獲勝的概率；（2）甲不輸?shù)母怕?。分析：甲乙兩人下棋，其結(jié)果有甲勝，和棋，乙勝三種，它們是互斥事件。解（1）“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以甲獲勝的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。（2）解法1，“甲不輸”看作是“甲勝”，“和棋”這兩個事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。解法2，“甲不輸”看作是“乙勝”的對立事件，P=1-1/3=2/3。練習(xí)某射手射擊一次射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，計算這名射手射擊一次

（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；

（2）至少射中7環(huán)的概率。（1）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52。（2）因為它們是互斥事件，所以至少射中7環(huán)的概率是0.24+0.28+0.19+0.16=0.87練習(xí)：某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：

年降水量（mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.12