向量參數(shù)曲面及其面積變換

向量參數(shù)曲面及其面積變換參數(shù)曲面定義：用兩個(gè)參數(shù)u和v的向量函數(shù)r(u,v)表示一個(gè)曲面，假定是一個(gè)定義在平面上的區(qū)域D上的向量值函數(shù)，則的分量函數(shù)是區(qū)域D上的關(guān)于和v的函數(shù)，上所有滿足點(diǎn)的集合稱為參數(shù)曲面S，其中u和v在D上變化。切平面我們求一個(gè)向量函數(shù)，表示參數(shù)曲面S在位置向量為的點(diǎn)的切平面如果我們?nèi)。礊槌?shù)，那么是一個(gè)關(guān)于參數(shù)的向量函數(shù)，定義在S上的一條網(wǎng)格線，如圖（a），在點(diǎn)的切向量通過對(duì)關(guān)于秋偏導(dǎo)得：（1)v。。0u同樣，當(dāng)取時(shí)，表示S上的一條網(wǎng)格線，它在的切向量為：（2）如果非零，那么曲面S稱為光滑的，因此，對(duì)一個(gè)光滑曲面切平面是一個(gè)包含和的平面，且是切平面的一個(gè)法向量。曲面面積我們從一般的參數(shù)曲面面積開始，為簡單起見，從參數(shù)域D為矩形的曲面談起，將D分成小矩形塊，令為的左下角，如圖（b）,曲面S對(duì)應(yīng)于的那部分稱為面積片，且位置向量以點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)，它們分別為公式（1）（2）的切向量（d）圖給出在相交的面積片的兩條邊是怎樣由兩個(gè)向量近似，接著這些向量可由近似，因此，我們可以用行四邊形面積為確定的平行四邊形去近似，如圖（c）,且在點(diǎn)S的切平面中，這個(gè)平S的面積近似為實(shí)質(zhì)上這個(gè)二重和是二重積分的黎曼和。定義：如果一個(gè)光滑的參數(shù)曲面S由下面的方程給出且當(dāng)在整個(gè)參數(shù)域D上變化時(shí)，S只覆蓋一次，那么S的面積為應(yīng)用：求半徑為的球面面積。解：由球面參數(shù)方程有：于是對(duì)于顯形方程只是上面的一種特殊情況，它的參數(shù)方程為：于是（3）曲面面積變換由《數(shù)學(xué)分析》page253知：=其中為曲面的法向量與軸正向夾角的余弦，這里不再證明。其實(shí)由上面的（3）式的推導(dǎo)可知：對(duì)于一般的向量參數(shù)方程：，其中在D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，不全為零。由前面的（1）（2）兩式有：其中為法線方向數(shù)。因此，我們有法向量n與z軸的夾角的余弦絕對(duì)值為=（5）其中這就是所謂的高斯系數(shù)。我們記上面的（4）式對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系數(shù)為A,B,C,即則參數(shù)曲面的法線方向余弦可表示為：由上面的（3）（4）（5）式推知有下面的等式成立=(6)對(duì)應(yīng)相等可知結(jié)論:由向量函數(shù)的定義可知，曲面的參數(shù)方程是n=2,m=3的向量函數(shù)，我們把三維（x,y,z）空間轉(zhuǎn)換到二維uov平面上，其中由變換系數(shù)能夠推導(dǎo)出空間面積變換系數(shù)的所有表達(dá)形式。參考文獻(xiàn)：《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)第三