高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 省賽獲獎(jiǎng)

1．定積分的概念1．了解定積分的概念．2．會(huì)用定義求一些簡(jiǎn)單的定積分．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．定積分的概念：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1,n,)f(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積，記作f(x)dx，即f(x)dx＝eq\i\su(i＝1,n,)_eq\f(b－a,n)f(ξi)．其中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．2．定積分的幾何意義：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．3．定積分的性質(zhì)．(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．想一想：直線x＝0,x＝π，y＝0與曲線y＝sinx所圍成的圖形的面積用積分表示為sin_xdx．想一想：用定積分表示下圖中陰影部分的面積．答案：S＝f1(x)dx－f2(x)dx想一想：定積分x3dx的取值的符號(hào)為正，x3dx的取值的符號(hào)為負(fù)，x3dx的取值的符號(hào)為0．eq\x(自)eq\x(測(cè))eq\x(自)eq\x(評(píng))1．當(dāng)a<b，且f(x)>0，則f(x)dx的值(A)A．一定是正的B．一定是負(fù)的C．當(dāng)0<a<b時(shí)是正的，當(dāng)a<b<0時(shí)是負(fù)的D．正、負(fù)都有可能解析：由定積分的幾何意義知，當(dāng)a<b，且f(x)>0時(shí)，f(x)dx>0.2．下列等式不成立的是(C)A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dxB.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dxxdx＝sinxdx＋sinxdx解析：利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷，C不成立．例如xdx＝eq\f(1,2)，x2dx＝eq\f(1,3)，x3dx＝eq\f(1,4).但x3dx≠xdx·x2dx.3．計(jì)算：eq\r(16－x2)dx＝(C)A．8πB．16πC．4πD．32π解析：eq\r(16－x2)dx表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的eq\f(1,4)圓的面積，∴eq\r(16－x2)dx＝eq\f(1,4)π·42＝4π.eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．定積分f(x)dx的大小(A)A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]及ξi的取法無(wú)關(guān)C．與f(x)及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無(wú)關(guān)D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)2．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是(C)①x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,·)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)②x3dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(（i－1）3,n3)·eq\f(1,n)③x3dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)A．0B．1C．2D．3解析：由定積分的定義知，②、③成立，故選C.3．(2023·高考陜西卷)定積分(2x＋ex)dx的值為(C)A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故選C.4.eq\r(4－x2)dx＝________．解析：積分eq\r(4－x2)dx表示如下圖所示的圓的面積的eq\f(1,4).所以S＝eq\f(1,4)π(2)2＝π.答案：πeq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．定積分(－3)dx等(A)A．－6B．6C．－3D．3解析：3dx表示圖中陰影部分的面積S＝3×2＝6，(－3)dx＝－3dx＝－6.故選A.6．設(shè)a＝xeq\s\up6(\f(1,3))dx，b＝x2dx，c＝x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是(B)A．c＞a＞bB．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＝b＞cD．a(chǎn)＞c＞b解析：根據(jù)定積分的幾何意義，易知x3dx＜x2dx＜xeq\s\up6(\f(1,3))dx，即a＞b＞c，故選B.7．(2023·天津高二檢測(cè))曲線y＝eq\f(1,x)與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為_____________________．解析：如圖所示，陰影部分的面積可表示為xdx－eq\f(1,x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx8．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))則f(x)dx＝__________．解析：∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))∴f(x)dx＝(x＋1)dx＋(－2x＋4)dx.又由定積分的幾何意義得(x＋1)dx＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，(－2x＋4)dx＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴f(x)dx＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)9．簡(jiǎn)化下列各式，并畫出各題所表示的圖形的面積．(1)x2dx＋x2dx；(2)(1－x)dx＋(x－1)dx.解析：(1)原式＝x2dx，如下圖(1)所示．(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，如圖(2)所示．10．計(jì)算定積分：[eq\r(1－（x－1）2)－x]dx.解析：[eq\r(1－（x－1）2)－x]dx＝eq\r(1－（x－1）2)dx－xdx，令S1＝eq\r(1－（x－1）2)dx，S2＝xdx.S1、S2的幾何意義如圖(1)、(2)所示．對(duì)S1＝eq\r(1－（x－1）2)dx，令y＝eq\r(1－（x－1）2)≥0，則(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)由定積分幾何意義知S