高中數(shù)學(xué)人教B版2第二章推理與證明直接證明與間接證明 第2章

直接證明與間接證明2．綜合法與分析法1．理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn)．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)用綜合法、分析法解決問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1綜合法閱讀教材P63，完成下列問(wèn)題．1．直接證明(1)直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的__________、__________、__________，直接推證結(jié)論的真實(shí)性．(2)常用的直接證明方法有__________與__________．【答案】1.(1)定義公理定理(2)綜合法分析法2．綜合法(1)定義：綜合法是從__________推導(dǎo)到__________的思維方法，也就是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論．(2)符號(hào)表示：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論)．【答案】2.(1)原因結(jié)果已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.證明過(guò)程如下：∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(b＋c,a)>0，eq\f(1,b)－1＝eq\f(a＋c,b)>0，eq\f(1,c)－1＝eq\f(a＋b,c)>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＝eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，∴不等式成立．這種證法是__________(填綜合法、分析法)．【解析】本題從已知條件出發(fā)，不斷地展開(kāi)思考，去探索結(jié)論，這種證法是綜合法．【答案】綜合法教材整理2分析法閱讀教材P64～P65，完成下列問(wèn)題．1．定義：分析法是一種從__________追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的__________的思維方法．也就是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的__________條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．2．符號(hào)表示：B(結(jié)論)?B1?B2?…?Bn?A(已知)【答案】1.結(jié)果原因充分判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法．()(2)分析法就是從結(jié)論推向已知．()(3)綜合法的推理過(guò)程實(shí)際上是尋找它的必要條件的過(guò)程．分析法的推理過(guò)程實(shí)際上是尋求結(jié)論成立的充分條件的過(guò)程．()【答案】(1)×(2)×(3)√[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]綜合法的應(yīng)用(1)在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，則△ABC的形狀一定是__________．(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，則|m－n|＝__________.(3)下面的四個(gè)不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________．【自主解答】(1)∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cosC<0，又0<C<π，∴eq\f(π,2)<C<π，所以△ABC是鈍角三角形．(2)設(shè)方程的四個(gè)根分別為x1，x2，x3，x4，則由題意可知，x1＝eq\f(1,2)，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.設(shè)公比為q，則x4＝x1q3，∴4＝eq\f(1,2)·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，m＝x1＋x4＝eq\f(9,2)，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝eq\f(3,2).(3)①a2＋b2＋3＝eq\f(a2,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(b2,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)≥2eq\r(\f(a2,2)×\f(b2,2))＋2eq\r(\f(a2,2)×\f(3,2))＋2eq\r(\f(b2,2)×\f(3,2))＝ab＋eq\r(3)(a＋b)(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝b2＝3時(shí)，等號(hào)成立)．②a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4).③當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，不成立．④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．【答案】(1)鈍角三角形(2)eq\f(3,2)(3)①②④1．綜合法處理問(wèn)題的三個(gè)步驟2．用綜合法證明不等式時(shí)常用的結(jié)論(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)a＋b≥2eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．[再練一題]1．綜合法是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410044】A．執(zhí)果索因的逆推證法B．由因?qū)Ч捻樛谱C法C．因果分別互推的兩頭湊法D．原命題的證明方法【答案】B分析法的應(yīng)用設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．【精彩點(diǎn)撥】待證不等式中含有根號(hào)，用平方法去根號(hào)是關(guān)鍵．【自主解答】當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當(dāng)a＋b>0時(shí)，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式成立．1．當(dāng)已知條件簡(jiǎn)單而證明的結(jié)論比較復(fù)雜時(shí)，一般采用分析法，在敘述過(guò)程中“要證”“只需證”“即要證”這些詞語(yǔ)必不可少，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．逆向思考是用分析法證題的主題思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向，使問(wèn)題順利獲解．[再練一題]2．已知a>0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，求證：eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b)).【證明】由已知eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1及a>0可知0<b<1，要證eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需證1＋a－b－ab>1，只需證a－b－ab>0，即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，這是已知條件，所以原不等式得證．[探究共研型]綜合法與分析法的綜合應(yīng)用探究1綜合法與分析法的推理過(guò)程是合情推理還是演繹推理？【提示】綜合法與分析法的推理過(guò)程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2綜合法與分析法有什么區(qū)別？【提示】綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【精彩點(diǎn)撥】先求出角B，然后利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系解決．【自主解答】法一：(分析法)要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，只需證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化簡(jiǎn)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需證c2＋a2＝b2＋ac.因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(綜合法)因?yàn)椤鰽BC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，兩邊加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，兩邊同時(shí)除以(a＋b)(b＋c)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋1))＝3，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過(guò)程.[再練一題]3．設(shè)x≥1，y≥1，證明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.【證明】因?yàn)閤≥1，y≥1，所以要證明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，只需證明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.將上式中的右式減左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因?yàn)閤≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而可得不等式x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy成立．[構(gòu)建·體系]1．下面敘述正確的是()A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法，分析法是間接證法C．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的D．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定的【解析】直接證明包括綜合法和分析法．【答案】A2．欲證不等式eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)＜eq\r(8)成立，只需證()A．(eq\r(3)－eq\r(5))2＜(eq\r(6)－eq\r(8))2B．(eq\r(3)－eq\r(6))2＜(eq\r(5)－eq\r(8))2C．(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2D．(eq\r(3)－eq\r(5)－eq\r(6))2＜(－eq\r(8))2【解析】要證eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需證eq\r(3)＋eq\r(8)＜eq\r(6)＋eq\r(5)成立，只需證(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2成立．【答案】C3．將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補(bǔ)充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證__________，即證__________．由于__________顯然成立，因此原不等式成立．【解析】用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟為：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證a2＋b2－2ab≥0，即證(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0顯然成立，所以原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410045】【解析】因?yàn)閍＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＝3＋6＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．【答案】95．已知a＞0，b＞0，求證：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).(要求用兩種方法證明)【證明】法一：(綜合法)因?yàn)閍＞0，b＞0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)