高中數(shù)學(xué)人教B版1第二章圓錐曲線與方程2．3拋物線 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)第2章23

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．拋物線的焦點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝－y B．x2＝y(tǒng)C．y2＝x D．y2＝－x【解析】易知－eq\f(p,2)＝－eq\f(1,4)，∴p＝eq\f(1,2)，焦點(diǎn)在x軸上，開口向左，其方程應(yīng)為y2＝－x.【答案】D2．拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2【解析】∵y＝eq\f(1,4)x2，∴x2＝4y.∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.【答案】A3．經(jīng)過點(diǎn)(2,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650079】A．y2＝8x B．x2＝y(tǒng)C．y2＝8x或x2＝y(tǒng) D．無法確定【解析】由題設(shè)知拋物線開口向右或開口向上，設(shè)其方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，將點(diǎn)(2,4)代入可得p＝4或p＝eq\f(1,2)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x或x2＝y(tǒng)，故選C.【答案】C4．若拋物線y2＝ax的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－2,0) B．(2,0)C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0)【解析】由拋物線的定義得，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝4，解得a＝±8.當(dāng)a＝8時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)；當(dāng)a＝－8時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)．故選C.【答案】C5．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A．－2 B．2C．－4 D．4【解析】易知橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，即p＝4.【答案】D二、填空題6．已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切，則p＝________.【解析】由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為4，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，由題意知3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.【答案】27．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x＋2＝0的距離相等，則P的軌跡方程是________．【解析】由題意知，P的軌跡是以點(diǎn)F(2,0)為焦點(diǎn)，直線x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.【答案】y2＝8x8．對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)．其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號(hào))【解析】拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上一點(diǎn)，則|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，過該焦點(diǎn)的直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))).若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k＝－2，此時(shí)存在，所以④滿足．【答案】②④三、解答題9．若拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解】由拋物線定義，焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，則準(zhǔn)線為x＝eq\f(p,2).由題意，設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MN|，則|MN|＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10.∴p＝2.故拋物線方程為y2＝－4x，將M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．10．若動(dòng)圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650080】【解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2,0)，半徑r＝1.∵兩圓外切，∴|MC|＝R＋1.又動(dòng)圓M與已知直線x＋1＝0相切．∴圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.∴|MC|＝d＋1，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)C(2,0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．由拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以C為焦點(diǎn)，x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程為y2＝8x.[能力提升]1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線的距離是()\f(1,2) \f(\r(3),2)C．1 \r(3)【解析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x－y＝0或eq\r(3)x＋y＝0，則焦點(diǎn)到漸近線的距離d1＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)或d2＝eq\f(|\r(3)×1＋0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2).【答案】B2．已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是()\r(3) \r(5)C．2 \r(5)－1【解析】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.【答案】D3．如圖2-3-2所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m．水位下降1m后，水面寬________m.圖2-3-2【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則A(2，－2)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.當(dāng)水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2y得xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝eq\r(6).∴水面寬|CD|＝2eq\r(6)m.【答案】2eq\r(6)4．若長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2＝2x上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650081】【解】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，連結(jié)AF，BF，如圖，拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線為l：x＝－eq\f(1,2)，過A，B，M分別作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分別為A′，B′，M′.由拋物線定義，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M為AB中點(diǎn)，由梯形中位線定理，得|MM′|＝eq\f(1