高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體 第一章單元檢測(cè)

第一章單元檢測(cè)班級(jí)____姓名____考號(hào)____分?jǐn)?shù)____本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說(shuō)法中不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形B．圓錐中過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)中平行于底面的截面是圓面答案：C解析：本題考查了對(duì)基本概念的理解，根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義和性質(zhì)知，應(yīng)選C.2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1上下底面中心分別為O1、O2，將正方體繞直線O1O2旋轉(zhuǎn)一周，其中由線段BC1旋轉(zhuǎn)所得圖形是答案：D解析：由圖形的形成過(guò)程可知，在圖形的面上能夠找到直線，在B，D中選，顯然B不對(duì)．因?yàn)锽C1中點(diǎn)繞O1O2旋轉(zhuǎn)得到的圓比B點(diǎn)和C1點(diǎn)的小，故選D.3．長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3,4，x，表面積為108，則x等于()A．2B．3C．5D．答案：D解析：該長(zhǎng)方體的表面積為2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.4．過(guò)圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：B解析：由條件知圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，所以體積為eq\f(\r(3)π,3).5．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側(cè)面積等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為5cm的圓錐，其側(cè)面積為πrl＝π×3×5＝15π6.已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形答案：A解析：依據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2.故△ABC是等邊三角形．7．如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為1，M為線段AB的中點(diǎn)，則三棱錐C－MC1D1的體積為\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1D1C·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).8．設(shè)正方體的表面積為24，那么其內(nèi)切球的體積是()\r(6)π\(zhòng)f(4,3)π\(zhòng)f(8,3)π\(zhòng)f(32,3)π答案：B解析：正方體棱長(zhǎng)為2，內(nèi)切球半徑為1.9．一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π＋eq\f(8\r(5),3)，則正視圖中x的值為()A．5B．4C．3D答案：C解析：該幾何體上部為正四棱錐(底面為正方形且頂點(diǎn)在底面的射影是正方形中心的四棱錐)，四棱錐的高為eq\r(32－22)＝eq\r(5)，底面正方形的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)；下部為圓柱，圓柱的高為x，底面圓的直徑為4.V四棱錐＝eq\f(1,3)×(2eq\r(2))2×eq\r(5)＝eq\f(8\r(5),3)，V圓柱＝π×22×x＝4πx，V四棱錐＋V圓柱＝eq\f(8\r(5),3)＋4πx＝eq\f(8\r(5),3)＋12π，所以x＝3，故選C.10．若正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，則在該正方體表面上，點(diǎn)M到頂點(diǎn)C′的最短距離是()A．6B．10C．2eq\r(17)D．2eq\r(13)答案：D解析：將正方體展成一個(gè)平面再求最短距離．11．如右圖所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PD的最小值為()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展開成一個(gè)平面，如圖，作AE∥BC，延長(zhǎng)DC交AE于E，則AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).12．如圖，如果底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下的部分的體積是()\f(1,3)πr2(a＋b)\f(1,2)πr2(a＋b)C．πr2(a＋b)D．2r2(a＋b)答案：B解析：將這樣兩個(gè)完全相同的幾何體拼在一起組成一個(gè)高為a＋b的圓柱．故圓柱被截下后剩下部分的體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．若兩個(gè)球的半徑之比為1：2，且它們的體積之和為12π，則它們的表面積之和為________．答案：20π解析：設(shè)兩球半徑分別為r,2r，則體積之和為12πr3＝12π，r＝1，表面積之和為4π(r2＋4r2)＝20π.14．一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面積分別為π、9π，中截面面積等于圓臺(tái)的側(cè)面積，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為________．答案：1解析：如圖所示，r1＝1，r3＝3，r2＝2，則π(1＋3)l＝π×4.∴l(xiāng)＝1.15．如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為________答案：2eq\r(3)解析：由題意知該三棱柱的側(cè)視圖為矩形，該矩形的長(zhǎng)為2，寬為底面正三角形的高，其值為eq\r(3)，所以其側(cè)視圖的面積是2eq\r(3).16．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個(gè)幾何體的表面積是________．答案：2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2)解析：此幾何體是半個(gè)圓錐，直觀圖如圖所示，先求出圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)π，S底＝π×22＝4π，S△SAB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2).所以S表＝eq\f(4\r(3)π,2)＋eq\f(4π,2)＋4eq\r(2)＝2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2).三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2和5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．解：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、R，母線為l，則有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝eq\f(πr2＋πR2,πr＋R)＝eq\f(22＋52,2＋5)＝eq\f(29,7).即該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為eq\f(29,7).18．(12分)已知三棱柱三個(gè)側(cè)面都是矩形，若底面的一邊長(zhǎng)為2cm，另兩邊長(zhǎng)都為3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為解：由題意設(shè)AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，則底面BC邊上的高為eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，所以體積為V＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)cm3，表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋(3＋3＋2)×4＝4eq\r(2)＋32(cm2)．19．(12分)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，其中V1是三棱臺(tái)AEF－A1B1C1的體積，V2是多面體BCFEB1C1的體積，求V解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因?yàn)镋、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1：V2＝7：5.20．(12分)已知一圓錐的母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為(1)求它的高；(2)若該圓錐內(nèi)有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的體積．解：(1)高為eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm)．(2)其軸截面如圖，設(shè)球的半徑為rcm，△SCE與△SBD相似，則eq\f(r,5)＝eq\f(5\r(3)－r,10)，解得r＝eq\f(5\r(3),3).于是，所求球的體積V球＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)))3＝eq\f(500\r(3)π,27)(cm3)21．(12分)如圖的三個(gè)圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖和正視圖、側(cè)視圖(單位：cm)．(1)請(qǐng)畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積和表面積；(3)若將五邊形ADD′GE繞直線DD′旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積和體積．解：(1)俯視圖如圖所示．(2)所求多面體體積V＝V長(zhǎng)方體－V主棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．易求得EF＝EG＝FG＝2eq\r(2)，△EFG的面積S△EFG＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)(cm2)，所以表面積S表＝2×(4×4＋4×6＋4×6)－3×(eq\f(1,2)×2×2)＋2eq\r(3)＝112＋2eq\r(3)(cm2)．(3)五邊形ADD′GE繞直線DD′旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一個(gè)底面半徑為4，高為2的圓柱與一個(gè)上底半徑為2，下底半徑為4，高為2的圓臺(tái)的組合體，其體積＝V圓柱＋V圓臺(tái)＝π×42×2＋eq\f(1,3)×(4π＋16π＋eq\r(4π×16π))×2＝eq\f(152,3)π(cm3)．該幾何體的表面積＝S圓臺(tái)表＋S圓柱表＝π(2＋4)×2eq\r(2)＋4π＋16π＋2π×4×2＝36π＋12eq\r(2)π(cm2)．22．(14分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高4m，養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多的食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4m(高不變(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？解：(1)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×(eq\f(16,2))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π