高中數(shù)學(xué)人教B版第一章解三角形 市獲獎(jiǎng)

第一章第2課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，則a等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542047)(A)A．5 B．4C．3 D．10[解析]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝52＋(5eq\r(3))2－2×5×5eq\r(3)×cos30°，∴a2＝25，∴a＝5.2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542048)(C)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[解析]∵a2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，又∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).3．(2023·全國卷Ⅰ文，4)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542049)(D)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3[解析]由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5.整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D．4．在△ABC中，a︰b︰c＝1︰1︰eq\r(3)，則cosC的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542050)(D)A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]設(shè)a＝b＝k，c＝eq\r(3)k(k>0)，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(k2＋k2－3k2,2k2)＝－eq\f(1,2)，故選D．5．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542051)(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)[解析]∵b2＝ac，且c＝2a得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－a×2a,2a·2a)＝eq\f(3,4).6．(2023·廣東文，5)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，且b＜c，則b＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542052)(C)A．3 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(3)[解析]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，∴b＝2或b＝4.又∵b<c，∴b＝2.二、填空題7．以4、5、6為邊長的三角形一定是銳角三角形．(填：銳角、直角、鈍角)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542053)[解析]由題意可知長為6的邊所對的內(nèi)角最大，設(shè)這個(gè)最大角為α，則cosα＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)>0，因此0°<α<90°.8．若2、3、x為三邊組成一個(gè)銳角三角形，則x的取值范圍為(eq\r(5)，eq\r(13)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542054)[解析]長為3的邊所對的角為銳角時(shí)，x2＋4－9>0，∴x>eq\r(5)，長為x的邊所對的角為銳角時(shí)，4＋9－x2>0，∴x<eq\r(13)，∴eq\r(5)<x<eq\r(13).三、解答題9．在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求邊\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542055)[解析]∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).當(dāng)C＝eq\f(π,6)時(shí)，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此時(shí)，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.當(dāng)C＝eq\f(5π,6)時(shí)，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此時(shí)，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7).10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為eq\r(2)，求cosA與a的值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542056)[解析]由三角形面積公式，得S＝eq\f(1,2)×3×1·sinA＝eq\r(2)，∴sinA＝eq\f(2\r(2),3)，∵sin2A＋cos2A＝1.∴cosA＝±eq\r(1－sin2A)＝±eq\r(1－\f(8,9))＝±eq\f(1,3).①當(dāng)cosA＝eq\f(1,3)時(shí)，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×eq\f(1,3)＝8，∴a＝2eq\r(2).②當(dāng)cosA＝－eq\f(1,3)時(shí)，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×(－eq\f(1,3))＝12，∴a＝2eq\r(3).能力提升一、選擇題1．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542057)(B)A．eq\f(3\r(2),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3eq\r(3)[解析]由余弦定理，可得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(42＋32－\r(13)2,2×3×4)＝eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).則AC邊上的高h(yuǎn)＝ABsinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故選B．2．在△ABC中，三邊長AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542058)(D)A．19 B．－14C．－18 D．－19[解析]在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，則cosB＝eq\f(49＋25－36,2×5×7)＝eq\f(19,35).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB＝－7×5×eq\f(19,35)＝－19.3．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，則ab的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542059)(A)A．eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)C．1 D．eq\f(2,3)[解析]∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab.又∵∠C＝60°，由余弦定理，得cos60°＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即a2＋b2－c2＝ab.∴4－2ab＝ab，則ab＝eq\f(4,3).4．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則C的大小為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542060)(B)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).二、填空題5．(2023·重慶文，13)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542061)[解析]∵3sinA＝2sinB，∴3a＝2b，又∵a＝2，∴b由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝22＋32－2×2×3×(－eq\f(1,4))＝16，∴c＝4.6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC＝2BD，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(8,3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542062)[解析]由余弦定理，得BC2＝22＋12－2×2×1×(－eq\f(1,2))＝7，∴BC＝eq\r(7)，∴cosB＝eq\f(4＋7－1,2×2×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2×eq\r(7)×eq\f(5\r(7),14)＋eq\f(\r(7),3)×eq\r(7)×1＝－eq\f(8,3).三、解答題7．如圖，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542063)[解析]在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，即∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，于是AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).8．在△ABC中，已知lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，且B為銳角，試判斷△ABC的形狀.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542064)[解析]由lgsinB＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2).又B為銳角，所以B＝45°.由lga－lgc＝－lgeq\r(2)，得eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\r(2)a.又因?yàn)閎2＝a2＋c2－2accosB，所以b2＝a2＋2a2－2eq\r(2)a2×eq\f(\r(2),2)＝a2所以a＝b，即A＝B．又B＝45°，所以△ABC為等腰直角三角形．9．已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對的邊分別為a、b、c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542065)(1)求角A