高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

3．1指數(shù)函數(shù)3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1．理解根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn))2．掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則．(重點(diǎn))3．了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義．[基礎(chǔ)·初探]教材整理1根式閱讀教材P59～P60例1，完成下列問(wèn)題．1．平方根與立方根的概念如果x2＝a，那么x稱為a的平方根；如果x3＝a，那么x稱為a的立方根．根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)．2．a(chǎn)的n次方根(1)定義：一般地，如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么稱x為a的n次實(shí)數(shù)方根，式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)幾個(gè)規(guī)定：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè)，記作x＝eq\r(n,a)；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)a的正的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示，它們可以合并寫成±eq\r(n,a)(a>0)形式；③0的n次實(shí)數(shù)方根等于0(無(wú)論n為奇數(shù)，還是為偶數(shù))．3．根式的性質(zhì)(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)(eq\r(n,an))＝a(n為大于1的奇數(shù))；(4)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))(n為大于1的偶數(shù))．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)16的四次方根為2.()(2)eq\r(π－42)＝π－4.()(3)eq\r(4,－16)＝－2.()【解析】(1)16的四次方根有兩個(gè)，是±2；(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq\r(4,－16)沒意義．【答案】(1)×(2)×(3)×2．若n是偶數(shù)，eq\r(n,x－1n)＝x－1，則x的取值范圍為________．【解析】x－1≥0，∴x≥1.【答案】x≥1教材整理2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪閱讀教材P60“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”至P61例3，完成下列問(wèn)題．1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義一般地，我們規(guī)定：(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是________．(填序號(hào))【解析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系，(1)(2)正確，(3)(4)錯(cuò)誤．【答案】(1)(2)2．設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝________.【解析】52x－y＝eq\f(52x,5y)＝eq\f(5x2,5y)＝eq\f(42,2)＝8.【答案】8[小組合作型]根式的性質(zhì)求下列各式的值．(1)eq\r(3,－23)；(2)eq\r(4,－32)；(3)eq\r(8,3－π8)；(4)eq\r(a6)；(5)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．【精彩點(diǎn)撥】利用根式的性質(zhì)進(jìn)行求解．【自主解答】(1)eq\r(3,－23)＝－2.(2)eq\r(4,－32)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3).(3)eq\r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3.(4)eq\r(a6)＝eq\r(a32)＝|a3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))(5)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當(dāng)－3<x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當(dāng)1<x<3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))1．解決根式的化簡(jiǎn)或求值問(wèn)題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．2．注意eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)別(eq\r(n,a))n＝a(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a≥0)；eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))n為偶數(shù).))[再練一題]1．(1)化簡(jiǎn)：(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.(2)若eq\r(x2－2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，則yx＝________.【解析】(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.(2)由題知0＝|x－1|＋|y＋3|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y＋3＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))∴yx＝(－3)1＝－3.【答案】(1)a－1(2)－3根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．【精彩點(diǎn)撥】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以及有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．[再練一題]2．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【精彩點(diǎn)撥】將各個(gè)根式化成指數(shù)冪的形式，按照冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．指數(shù)冪與根式運(yùn)算的技巧1．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧(1)運(yùn)算順序：有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)指數(shù)的處理：負(fù)指數(shù)先化為正指數(shù)．(底數(shù)互為倒數(shù))(3)底數(shù)的處理：底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定冪的符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，然后再把底數(shù)盡可能用冪的形式表示．2．根式運(yùn)算技巧(1)各根式(尤其是根指數(shù)不同時(shí))要先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算．(2)多重根式可以從內(nèi)向外逐層變換為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．【答案】(1)ac(2)①②5[探究共研型]條件求值問(wèn)題探究2立方和(差)公式是什么？【提示】a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．【精彩點(diǎn)撥】應(yīng)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算．【答案】19452條件求值問(wèn)題的常用方法1．整體代入：從已知條件中解出所含字母的值，然后再代入求值，這種方法一般是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值．2．求值后代入：所求結(jié)果涉及的某些部分，可以作為一個(gè)整體先求出其值，然后再代入求最終結(jié)果．[再練一題]4．已知a＞0，a2x＝3，求eq\f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)的值．【解】因?yàn)閍＞0，a2x＝3，所以ax＝eq\r(3)，所以a－x＝eq\f(1,\r(3))，a3x＝3eq\r(3)，a－3x＝eq\f(1,3\r(3))，所以eq\f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)＝eq\f(3\r(3)＋\f(1,3\r(3)),\r(3)＋\f(1,\r(3)))＝eq\f(7,3).1．以下說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))①正數(shù)的n次方根是正數(shù)；②負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)；③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；④a的n次方根是eq\r(n,a).【解析】由于正數(shù)的偶次方根有互為相反數(shù)的兩個(gè)方根，故①錯(cuò)；由于負(fù)數(shù)的偶次方根無(wú)意義，故②錯(cuò)；③顯然正確；當(dāng)a＜0時(shí)，只有n為大于1的奇數(shù)時(shí)eq\r(n,a)才有意義，故④錯(cuò)．【答案】③2．計(jì)算：eq\r(x2－2x＋1)＝________.(x<1)【解析】原式＝eq\r(x－12)＝|x－1|＝1－x.【答案】1－x3．計(jì)算[(－eq\r(2))2]的結(jié)果是________．【解析】[(－eq\r(2))2]＝2＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)4．計(jì)算：(eq\r(3,\r(6,a9)))4(eq\r(6,\r(3,a9)))4＝________.【解析】【答案】a45．若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，化簡(jiǎn)：eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).【