2021-2022學(xué)年安徽省宣城市四合中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年安徽省宣城市四合中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A.(0,+∞)

B.[0,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)參考答案：A2.已知等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和．若S16>0，且S17<0，則當(dāng)Sn最大時n的值為()A．8

B．9

C．10

D．16參考答案：A略3.已知，則（

）A.2 B.-2 C.3 D.-3參考答案：A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，先化為正弦余弦，再轉(zhuǎn)化為正切,代入求值即可.【詳解】因?yàn)椋蔬xA.4.為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為（）A．64 B．54 C．48 D．27參考答案：B【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【分析】通過圖形求出前兩組中的頻數(shù)，求出第三組頻數(shù)．通過最大頻率為0.32，求出a的值．【解答】解：前兩組中的頻數(shù)為100×（0.05+0.11）=16．∵后五組頻數(shù)和為62，∴前三組頻數(shù)和為38．∴第三組頻數(shù)為22．又最大頻率為0.32，故頻數(shù)為0.32×100=32，∴a=22+32=54，故選B．5.已知集合，則等于(

)(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C6.直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時直線l的方程為A. B.C. D.參考答案：A【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出弦AB最短時直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點(diǎn)P.當(dāng)CP⊥l時，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,邊上的中線長為2,則△ABC面積的最大值為（

）A.2 B. C. D.4參考答案：D【分析】作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因?yàn)?，代入解?過D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，因此E為中點(diǎn)，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.8.若，且，則角的終邊所在象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D9.若函數(shù)的圖象經(jīng)過（）可以得到函數(shù)的圖象．A．向右平移2個單位，向上平移個單位B．向左平移2個單位，向上平移個單位C．向右平移2個單位，向下平移個單位D．向左平移2個單位，向下平移個單位參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】把已知函數(shù)變形為==，利用“左加右減，上加下減”的變換法則即可得出．【解答】解：∵函數(shù)==，∴把函數(shù)向右平移2個單位，向下平移個單位即可得到函數(shù)的圖象．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的“左加右減，上加下減”的平移變換法則，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則a的值------------(

)A.2

B.–2

C.–

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列幾個命題：①方程的有一個正實(shí)根，一個負(fù)實(shí)根，則；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)?；④設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，則函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱；⑤一條曲線和直線的公共點(diǎn)個數(shù)是，則的值不可能是1.其中正確的為______________（寫出相應(yīng)的序號）.參考答案：①⑤

略12.

▲

，

▲

.參考答案：1,2；.

13.為不共線的向量，設(shè)條件；條件對一切，不等式恒成立．則是的

條件．參考答案：充要14.對于下列命題：①

函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對稱；②

的單調(diào)增區(qū)間為；③

已知點(diǎn)N、P在所在平面內(nèi)，且，則N、P依次是的重心、垂心；④

已知向量，且，則三點(diǎn)一定共線。以上命題成立的序號是__________________.參考答案：①③④.15.已知數(shù)列滿足，則

參考答案：0略16.已知，則

。參考答案：17.某工廠8年來某產(chǎn)品產(chǎn)量y與時間t年的函數(shù)關(guān)系如下圖，則：①前3年總產(chǎn)量增長速度增長速度越來越快；②前3年中總產(chǎn)量增長速度越來越慢；③第3年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第3年后，這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變.以上說法中正確的是______________．參考答案：①④

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圓C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直線l過點(diǎn)A（4，0），且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線的一般式方程．【分析】（1）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A（4，0），故可以設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓C1截得的弦長為2，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．（2）與（1）相同，我們可以設(shè)出過P點(diǎn)的直線l1與l2的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l1與l2的方程．【解答】解：（1）由于直線x=4與圓C1不相交；∴直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=k（x﹣4）圓C1的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C1截得的弦長為2∴d==1d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直線l的方程為：y=0或7x+24y﹣28=0（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線l1的方程為y﹣b=k（x﹣a），k≠0則直線l2方程為：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，∴⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有無窮多個，所以或解得或這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P1（，﹣）或點(diǎn)P2（﹣，）19.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x?v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；（Ⅱ）先在區(qū)間（0，20]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f=1200，然后在區(qū)間[20，200]上用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應(yīng)的x值，兩個區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v（x）=60；當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b再由已知得，解得故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為．

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得當(dāng)0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60×20=1200當(dāng)20≤x≤200時，當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時，等號成立．所以，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．答：（Ⅰ）函數(shù)v（x）的表達(dá)式（Ⅱ）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬于中等題．20.（12分）已知函數(shù)f（x）=（1）求f（3）；（2）求函數(shù)y=2f2（x）﹣3f（x）+1在上的零點(diǎn)；（3）寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（不用寫過程）．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）根據(jù)分段函數(shù)f（x），f（3）=f（1）=f（﹣1），而f（﹣1）=1﹣|﹣1+1|=1，從而便求出了f（3）；（2）先求出該函數(shù)在（﹣2，0]上的零點(diǎn)，再根據(jù)解析式求出在（0，2]上的零點(diǎn)；（3）根據(jù)f（x）解析式可看出：該函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，所以去絕對值，求出f（x）在（﹣2，0]上的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)周期求出它在定義域（﹣2，+∞）上的單調(diào)增區(qū)間即可．解答： （1）由f（x）解析式，f（3）=f（1）=f（﹣1）=1；（2）令2f2（x）﹣3f（x）+1=0；∴（2f（x）﹣1）（（f（x）﹣1）=0；∴，或1；∴；∴；又f（1）=f（﹣1），，；∴該函數(shù)在上的零點(diǎn)為；（3）由f（x）解析式知該函數(shù)周期為2，f（x）=1﹣|x+1|=，n∈N；∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣2+2n，﹣1+2n），n∈N．點(diǎn)評： 考查求分段函數(shù)函數(shù)值的方法，函數(shù)零點(diǎn)的