2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市第五職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市第五職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A．（0，1） B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)函數(shù)y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)y=ax在[0，+∞）上是減函數(shù)，最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可．【解答】解：由題意可得f（x）=ax是減函數(shù)∴0＜a＜1又∵是R上的減函數(shù)∴當(dāng)x=0時(shí)3a≥a0即3a≥1∴a又∵0＜a＜1∴∴a的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】分別判斷出各段函數(shù)在其定義區(qū)間的單調(diào)性，再根據(jù)最值的大小保證函數(shù)在R上具有單調(diào)性．2.對(duì)可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí)恒有.若已知是一個(gè)銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,且,記.則下列等式正確的是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若,，那么等于（

）A．4

B．5

C．9

D．18參考答案：B4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（） A．（1，1） B． （﹣1，1） C． （1，﹣1） D． （﹣1，﹣1）參考答案：略5.已知是不共線的向量那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D6.某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則（）A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=5 C．a(chǎn)=6 D．a(chǎn)=7參考答案：A考點(diǎn)： 程序框圖．專題： 算法和程序框圖．分析： 根據(jù)已知流程圖可得程序的功能是計(jì)算S=1++…+的值，利用裂項(xiàng)相消法易得答案．解答： 解：由已知可得該程序的功能是計(jì)算并輸出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則2﹣=．∴a=4，故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，其中分析出程序的功能是解答的關(guān)鍵．7.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的公比（

）A．0 B． C．

D．2參考答案：C略8.已知A，B是函數(shù)（其中常數(shù)）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最小值為0，則函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．參考答案：B函數(shù)（其中）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)的的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，設(shè)與相切于點(diǎn)，設(shè)，，，解得，的最小值為，，，，，故選B.

9.定義在R上的函數(shù)滿足，．當(dāng)x∈時(shí)，，則的值是（

）A．－1

B．0

C．1

D．2參考答案：B10.若，則“關(guān)于的方程無實(shí)根”是“（其中表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的……………（

）.充分非必要條件.

.必要非充分條件.

.充要條件.

.既非充分又非必要條件.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，則x+y+z的取值范圍是__________參考答案：略12.已知集合P＝，集合Q＝，若PQ，則的最小值為

．參考答案：4畫出集合P的圖象如圖所示，第一象限為四分之一圓，第二象限，第四象限均為雙曲線的一部分，且漸近線均為，所以k＝?1，所求式為兩直線之間的距離的最小值，所以，與圓相切時(shí)最小，此時(shí)兩直線間距離為圓半徑4，所以最小值為4．

13.已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且滿足.則.參考答案：400914.若函數(shù)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：答案：

15.在正方形中，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)且//平面，則與平面所成角的正切值得取值范圍為______________.參考答案：略16.四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD,則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大?。虎廴酎c(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體.其中正確命題的序號(hào)是

（填上所有正確命題的序號(hào)）.參考答案：①③④略17.從直線上一動(dòng)點(diǎn)出發(fā)的兩條射線恰與圓都相切，則這兩條射線夾角的最大值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)。（1）若解不等式；（2）如果關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍。參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，

由，得，①當(dāng)時(shí)，不等式化為即

所以，原不等式的解為②當(dāng)時(shí)，不等式化為即

所以，原不等式無解.③當(dāng)時(shí)，不等式化為即

所以，原不等式的解為

綜上，原不等式的解為

（說明：若考生按其它解法解答正確，相應(yīng)給分）（2）因?yàn)殛P(guān)于的不等式有解，所以，

因?yàn)楸硎緮?shù)軸上的點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和，所以，

解得，所以，的取值范圍為。19.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量=（，），=（，），若=0且橢圓的離心率e=，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）依題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．（2）先看當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1=x2，y1=y2，根據(jù)=0代入求得x12﹣=0把點(diǎn)A代入橢圓方程，求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式代入=0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面積公式中求得求得△AOB的面積的值為定值．最后綜合可得答案．【解答】解：（1）依題意知2b=2，∴b=1，e===∴a=2，c==∴橢圓的方程為（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1=x2，y1=﹣y2，∵=0∴x12﹣=0∴y12=4x12又A（x1，y1）在橢圓上，所以x12+=1∴|x1|=，|y1|=s=|x1||y1﹣y2|=1所以三角形的面積為定值．②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0而=0，∴x1x2+=0即x1x2+=0代入整理得2b2﹣k2=4S=|AB|===1綜上三角形的面積為定值1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．20.（本小題滿分10分）如圖，直線經(jīng)過⊙上的點(diǎn)，并且⊙交直線于，，連接．（1）求證：直線是⊙的切線；（2）若⊙的半徑為3，求的長．參考答案：（Ⅰ）如圖，連接OC,OA=OB,CA=CB,是圓的半徑，是圓的切線．

（3分）（Ⅱ）是直徑，又2

（<21.已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，記f（θ）=（1）求f（θ）關(guān)于θ的表達(dá)式；（2）求f（θ）的值域及單調(diào)區(qū)間．參考答案：解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），故f（θ）=?=sin（﹣θ）?sinθ?cos（π﹣）=sin（﹣θ）?sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（sinθcosθ﹣sin2θ）==sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域?yàn)椋?，]，當(dāng)2θ+∈（，），即θ∈（0，）時(shí)，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)2θ+∈（，），即θ∈（，）時(shí)，f（θ）是減函數(shù)，∴f（θ）的遞增區(qū)間是（0，），遞減區(qū)間是（，）．考點(diǎn)：正弦定理；正弦函數(shù)的圖象．專題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）由條件利用正弦定理、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡函數(shù)f（θ）的解析式．（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（θ）的值域，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（θ）的單調(diào)區(qū)間．解答：解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），故f（θ）=?=sin（﹣θ）?sinθ?cos（π﹣）=sin（﹣θ）?sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（sinθcosθ﹣sin2θ）==sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域?yàn)椋?，]，當(dāng)2θ+∈（，），即θ∈（0，）時(shí)，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)2θ+∈（，），即θ∈（，）時(shí)，f（θ）是減函數(shù)，∴f（θ）的遞增區(qū)間是（0，），遞減區(qū)間是（，）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求證：曲線=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為定值；（Ⅱ）若x≥0時(shí)，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問題．【專題】分類討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，令x=0，即可得證；（Ⅱ）由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，即ex+mx﹣m2≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，則（ex+mx﹣m2）min≥0，記g（x）=ex+mx﹣m2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到m的范圍．【解答】（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，則切線方程為y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=為定值；

（Ⅱ）解：由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，得xex+mx2﹣m2x≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，即ex+mx﹣m2≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，則（ex+mx﹣m2）min≥0，記g（x）=ex+mx﹣m2，g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，∴，則有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，則當(dāng)x∈（0，ln（﹣m）