山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三12月月考數(shù)學(xué)(理)試題(答案不全)

山西大學(xué)附中2023—2023學(xué)年高三第一學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（理）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一．選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分.）1．若，其中，是虛數(shù)單位，則(C)A.B.C.D.2．已知，，則（D）A．B．C．D．3．下列說(shuō)法中正確的是（D）A．“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件B．若，，則，C．若為假命題，則，均為假命題D．“若，則”的否命題是“若，則4．若，且（B）A．B．C．D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填（A）A．B．C．D．6．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為（B）A．B．C．D．7.已知變量滿足，則的取值范圍是（B）（A）（B）（C）（D）8.已知（）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則該展開(kāi)式中的系數(shù)（A）A．B．C．D．8(文).對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為，則的值等于（B）A．B．C．D．9．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式的解集為（B）A．B．C．D．隨的值而變化10．三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（A）A．B．C．D．11.如圖，、是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（B）A．B．C．D．12．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則，，...，中最大的項(xiàng)為（D）A．B．C．D．二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則=_______.14.（理）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分中的概率為．14.（文）記集合，集合表示的平面區(qū)域分別為．若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域中的概率為_(kāi)___．15．已知菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)，分別在邊、上，，．若，則的值為16．已知函數(shù)（）滿足，且的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為三.解答題(本大題共6小題,共70分.)17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）設(shè)，且，求的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值．解：（1）==．由，得，于是，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由?）知．因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以，于是①．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b．由余弦定理得，所以②由①②可得或于是．由正弦定理得，所以．（第18題圖）18．(文)如圖，直四棱柱的底面ABCD是菱形，∠ADC=，，點(diǎn)分別是上下底菱形對(duì)角線的交點(diǎn)．（第18題圖）（1）求證：∥平面；（2）求點(diǎn)O到平面的距離．又∵平面，平面，∴∥平面．（2）法一：等積變換．設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為h．∵平面ABCD，∴．∵AC、BD為菱形ABCD的對(duì)角線，∴CO⊥BD．∵，∴平面．在菱形ABCD中，BC=1，∠BCD=，．∵，，∴△的面積．∴三棱錐的體積．在△中，，△的面積．由=，得．因此，點(diǎn)O到平面的距離為．法二、作垂線．∵平面，∴．∵、為菱形的對(duì)角線，∴．∵，∴⊥平面．∴平面⊥平面．在平面內(nèi)，作⊥，為垂足，則⊥平面，線段的長(zhǎng)為點(diǎn)O到平面的距離.在矩形中，∠=∠，，，∴，．因此，點(diǎn)O到平面的距離為．18．（理）（本小題滿分12分）如圖，矩形所在的平面與等邊所在的平面垂直，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：第一問(wèn)根據(jù)等邊三角形，確定出，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出平面，從而得出，根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，得出，從而根據(jù)線面垂直的判定定理，得出平面，從而得證，第二問(wèn)應(yīng)用平面的法向量求得二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：連接,，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，故．又因?yàn)槠矫嫫矫?，面面，面，故平面．因?yàn)槊?，于是．又矩形，，所以．又因?yàn)?，故平面，所以．?）由（1）得，，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系。因?yàn)?，所以，，于是有，從而，，設(shè)平面的法向量，由得得，同理，可求得平面的一個(gè)法向量，設(shè)的夾角為，則，由于二面角為鈍二面角，所以所求余弦值為．考點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)，二面角的余弦值．19.（文）(本小題滿分12分)某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔一小時(shí)抽一包產(chǎn)品，稱其重量（單位：克）（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品重量的均值與方差，并說(shuō)明哪個(gè)車間的產(chǎn)品的重量相對(duì)穩(wěn)定；（Ⅱ）（1）甲相對(duì)穩(wěn)定。，（2）從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，共有15種不同的取法：（108，109），

（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），

（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），

（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．

設(shè)A表示隨機(jī)事件“所抽取的兩件樣品的重量之差不超過(guò)2克”，

則A的基本事件有4種：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．

故所求概率為P(A)=．.10分19.（理）已知一個(gè)袋子中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．（Ⅰ）每次從袋中取出一個(gè)球，取出后不放回，直到取到一個(gè)紅球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）每次從袋中取出一個(gè)球，取出后放回接著再取一個(gè)球，這樣取3次，求取出紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）分布列見(jiàn)解析，；（Ⅱ）【解析】試題分析：第一問(wèn)根據(jù)題中的條件，確定出的取值，根據(jù)題意，確定出相應(yīng)的概率，根據(jù)期望公式，求得隨機(jī)變量的期望，第二問(wèn)條件中為有放回的抽取，所以服從于二項(xiàng)分布，利用公式求得．試題解析：（Ⅰ）的所有可能值為1，2,3,4．2分，，，．6分故的分布列為234．8分（Ⅱ）取出后放回，取3次球，可看做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，所以．12分20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且，點(diǎn)在該橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2，點(diǎn)（1，）在該橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閨|=2，所以．又點(diǎn)（1，）在該橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義可求出的值，從而求出．（Ⅱ）首先應(yīng)考慮直線⊥x軸的情況，此時(shí)A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，．設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：，用弦長(zhǎng)公式可得|AB|=，用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓的半徑r=，這樣根據(jù)題中所給面積可求出的值，從而求出半徑，進(jìn)而得到圓的方程為．試題解析：（Ⅰ）因?yàn)閨|=2，所以．又點(diǎn)（1，）在該橢圓上，所以．所以．所以橢圓C的方程為（4分）（Ⅱ）①當(dāng)直線⊥x軸時(shí)，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．（6分）②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：，顯然＞0成立，設(shè)A，B，則，，可得|AB|=．．（9分）又圓的半徑r=，∴AB的面積=|AB|r==，化簡(jiǎn)得：17+-18=0，得k=±1，∴r=，圓的方程為．．（13分）考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．21．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處切的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的范圍；②證明：【答案】（1）；（2），證明詳見(jiàn)解析．【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，將代入，對(duì)求導(dǎo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，斜率為，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，令，將函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的正根，利用二次函數(shù)的圖象分析列出不等式，解出a的取值范圍；對(duì)求導(dǎo)，求出的根，得到的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即證明了結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，，，則，，所以切線方程為．4分（2）（），令，得，①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的正根，設(shè)，所以，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，②由，得，則，，，在區(qū)間上遞減，，所以請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答(在答題卡相應(yīng)位置填涂)，如果多做，則按所做的第一題記分22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，半圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程是，射線OM：與半圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）4．【解析】試題分析：本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力．第一問(wèn)，先利用參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化公式將圓C的方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；第二問(wèn)，利用圓C的極坐標(biāo)方程求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)，再利用直線的極坐標(biāo)方程求出點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，最后利用計(jì)算即可．試題解析：（Ⅰ）半圓C的普通方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以半圓C的極坐標(biāo)方程是SKIPIF1<0．（5分）（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，則有SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，則有SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以PQ的長(zhǎng)為4．（10分）考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程