2021-2022學(xué)年山西省晉城市高平河西中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省晉城市高平河西中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是(

)。A．2

B．5

C．6

D．8參考答案：C略2.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足,則的值為

（

）A.

B.2

C.

D.參考答案：A3.極坐標(biāo)方程3ρsin2θ+cosθ=0表示的曲線是（）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】3ρsin2θ+cosθ=0兩邊同乘以ρ，可得3ρ2sin2θ+ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，即可判斷出曲線類型．【解答】解：3ρsin2θ+cosθ=0兩邊同乘以ρ，可得3ρ2sin2θ+ρcosθ=0，∵y=ρsinθ，x=ρcosθ，∴3y2+x=0，所以曲線為拋物線．故選：A．4.已知雙曲線C1：（a＞0，b＞0）的離心率為3．若拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為，則拋物線C2的方程為（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可知：雙曲線漸近線為bx±ay=0，e==3，則c=3a，焦點(diǎn)（0，），到bx±ay=0的距離d===，求得p，即可求得拋物線C2的方程．【解答】解：由題意可得雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）漸近線為y=±x，化為一般式可得bx±ay=0，離心率e===3，解得：b=2a，c=3a，又拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為（0，），故焦點(diǎn)到bx±ay=0的距離d===，∴p===4，∴拋物線C2的方程為：x2=8y故選C．5.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則實(shí)數(shù)

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．參考答案：2或6.下列命題中，真命題是（）A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2C．a(chǎn)+b=0的充要條件是=﹣1 D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件參考答案：D【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤；【解答】解：因?yàn)閥=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確；因?yàn)閤=﹣5時(shí)2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a(chǎn)=b=0時(shí)a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確；a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，顯然正確．故選D．7.已知?jiǎng)t關(guān)于的方程有實(shí)根的概率是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=(

)A． B.

C.

D.參考答案：C略10.若則的最小值是

A.2

B.a

C.3

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圖5是樣本容量為200的頻率分布直方圖。根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在［6，10］內(nèi)的頻數(shù)為

，數(shù)據(jù)落在（2，10）內(nèi)的概率約為

．

參考答案：64，0.4略12.已知直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得為直角，則的取值范圍為___________.參考答案：13.如圖是某正方體被一平面截去一部分后剩下的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】作出幾何體的直觀圖，觀察截去幾何體的結(jié)構(gòu)特征，代入數(shù)據(jù)計(jì)算．【解答】解：由三視圖可知正方體邊長(zhǎng)為2，截去部分為三棱錐，作出幾何體的直觀圖如圖所示：故該幾何體的體積為：23﹣=，故答案為：．14.區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為_______．參考答案：15.由數(shù)列的前四項(xiàng):,1,,,……歸納出通項(xiàng)公式an=_____________．參考答案：略16.已知數(shù)列為，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，則____.參考答案：略17.設(shè)函數(shù)f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為9x+y﹣1=0，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為

．參考答案：7x+y=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由切線方程可得g（1）=﹣8，可得f（1）=g（1）+1，求出g′（1）=﹣9，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f′（1）=g′（1）+2，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程．【解答】解：曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為9x+y﹣1=0，可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9，則f（1）=g（1）+1=﹣8+1=﹣7．由f′（x）=g′（x）+2x，可得f′（1）=g′（1）+2=﹣9+2=﹣7，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+7=﹣7（x﹣1），即為7x+y=0，故答案為：7x+y=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（8分）假定在銀行中存款10000元，按11.25％的年利率，即一年后連本帶息將變?yōu)?1125元，若將此款繼續(xù)存人銀行，試問這10000元經(jīng)過幾年就會(huì)連本帶利翻一番？請(qǐng)用直到型或當(dāng)型寫出框圖并寫出相應(yīng)程序.參考答案：直到型：

當(dāng)型：19.（本小題滿分14分）設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；

(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．參考答案：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.………………（3分）

(1)基本事件共12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．…（5分）事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝.

……………（7分）(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．………………（9分）構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．………（11分）所以所求的概率為

………………（14分）20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=．（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=，化為ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．（2）設(shè)與曲線C2平行且與曲線C1的直線方程為y=x+t，代入圓的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行線之間的距離公式可得最小距離，進(jìn)而得出點(diǎn)P．【解答】解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=，化為ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）設(shè)與曲線C2平行且與曲線C1的直線方程為y=x+t，代入圓的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化為t2+2t﹣1=0，解得．取t=﹣1，直線y=x+1與切線的距離d==﹣1，即為曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離．此時(shí)2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化為=0，解得x==，y=，∴P．21.已知函數(shù)f（x）=﹣+2ax2﹣3a2x+1，0＜a＜1． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極大值； （Ⅱ）若x∈[1﹣a，1+a]時(shí)，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)最值的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題；綜合題． 【分析】（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解 （II）由題意可得﹣a≤﹣x2+4ax﹣3a2≤a在[1﹣a，1+a]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2a與區(qū)間[1﹣a，1+a]與的位置分類討論進(jìn)行求解． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，（1分） 當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得a＜x＜3a； 當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得x＜a或x＞3a； ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）； f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，a）和（3a，+∞）．（5分） 故當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1．（6分） （Ⅱ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2， ?。┊?dāng)2a≤1﹣a時(shí)，即時(shí)，f′（x）在區(qū)間[1﹣a，1+a]內(nèi)單調(diào)遞減． ∴[f′（x）]max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a﹣1． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴∴∴． 此時(shí)，．（9分） ⅱ）當(dāng)2a＞1﹣a，且2a＜a+1時(shí)，即，[f′（x）]max=f′（2a）=a2． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即 ∴∴． 此時(shí)，．（12分） ⅲ）當(dāng)2a≥1+a時(shí)，得a≥1與已知0＜a＜1矛盾．（13分） 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（14分） 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題