2021-2022學(xué)年江蘇省南京市天印中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市天印中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若某幾何體的三視圖如圖1所示，則此幾何體的表面積是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡化算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式問題的最優(yōu)算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式問題的最優(yōu)算法，其算法的程序框圖如圖所示，若輸入的a0，a1，a2，…，an分別為0，1，2，…，n，若n=5，根據(jù)該算法計(jì)算當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式的值，則輸出的結(jié)果為（）A．248 B．258 C．268 D．278參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的功能求出當(dāng)x=2時(shí)的值，即可得解．【解答】解：該程序框圖是計(jì)算多項(xiàng)式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=2時(shí)的值，而f（2）=258，故選：B．3.已知集合,集合,,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略4.將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)﹐它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)O為中心﹐其中﹐分別為原點(diǎn)O到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量﹒若將原點(diǎn)O到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量﹐都寫成為a+b的形式﹐則a+b的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用；平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，得出求a+b的最大值時(shí)﹐只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，分別求出即得結(jié)論．【解答】解：因?yàn)橄肭骯+b的最大值﹐所以考慮圖中的6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可；討論如下﹕（1）因?yàn)?﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因?yàn)?+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因?yàn)?+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因?yàn)?++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因?yàn)?+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因?yàn)?﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值為3+2=5﹒故選：D﹒【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5.設(shè)，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設(shè)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】A

∵P（x，y）是函數(shù)y=+lnx圖象上的點(diǎn)，則x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1-+=，

令f′（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．且f′（1）=0．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=3．

故選：A．【思路點(diǎn)撥】P（x，y）是函數(shù)y=+lnx圖象上的點(diǎn)，則x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．7.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影外部（曲線C為正態(tài)分布的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（

）A．3413

B．1193

C．2718

D．6587附：若,則，參考答案：D【知識點(diǎn)】正態(tài)分布幾何概型【試題解析】由題知：陰影的面積為

所以落入陰影的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：個(gè)，

所以落入陰影外部的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為：10000-3413=6587個(gè)。

故答案為：D8.（

）A．

B．

C．2

D．不存在

參考答案：B9.一枚硬幣連擲三次至少出現(xiàn)一次正面朝上的概率是（

）.(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D10.記不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，則c的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，﹣1]參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先畫出平面區(qū)域，由對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即求﹣x+2y的最小值，利用其幾何意義求得即可．【解答】解：由已知得到可行域如圖：由圖可知，對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即c≤﹣x+2y恒成立，即c≤（﹣x+2y）min，當(dāng)直線z=﹣x+2y經(jīng)過圖中A（1，0）時(shí)z最小為﹣1，所以c≤﹣1；故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某地球儀上北緯30°緯線的長度為12cm,該地球儀的半徑是

cm,表面積是

cm2.參考答案：答案：

19212.已知對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足.若方程有2011個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2011個(gè)實(shí)數(shù)解之和為

參考答案：0略13.若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=

．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，化簡所求表達(dá)式，通過分段函數(shù)求解即可．解答： 解：函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．14.已知平面a與平面b交于直線l，P是空間一點(diǎn)，PA⊥a，垂足為A，PB⊥b，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點(diǎn)A在b內(nèi)的射影與點(diǎn)B在a內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到l的距離為________.參考答案：答案：

15.已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的值為__________.參考答案：略16.已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A∈C，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2的平分線．則|AF2|=

.參考答案：6.本題主要考查了雙曲線的基本定義和三角形內(nèi)角平分線定理，難度較高。

由題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)：、，,由角平分線定理得：,①

由雙曲線定義得：②

聯(lián)立得.17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．參考答案：2【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，由線性規(guī)劃的知識求得t=2x﹣y的最大值，由此求出z的最小值．【解答】解：作出約束條件，如圖所示；由解得點(diǎn)B（1，3）；作出直線2x﹣y=0，對該直線進(jìn)行平移，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)t=2x﹣y=2×1﹣3=﹣1，此時(shí)取得最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線，的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)，在曲線上，求的值．參考答案：解：（I）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入，得，即，所以曲線的方程為（為參數(shù)），或.

設(shè)圓的半徑為,由題意,圓的方程為,(或).將點(diǎn)代入,得,即.

(或由,得,代入,得),所以曲線的方程為,或.

…6分

（II）因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上,

所以,,

所以.

…10分略19.為降低汽車尾氣的排放量，某廠生產(chǎn)甲乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從甲乙兩種節(jié)排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示．節(jié)排器等級及利潤如表格表示，其中綜合得分k的范圍節(jié)排器等級節(jié)排器利潤率k≥85一級品a75≤k＜85二級品5a270≤k＜75三級品a2（1）若從這100件甲型號節(jié)排器按節(jié)排器等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一級品的概率；（2）視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計(jì)總體，則①若從乙型號節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；②從長期來看，骰子哪種型號的節(jié)排器平均利潤較大？參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一級品的概率．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節(jié)排器隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．②由題意分別求出甲型號節(jié)排器的利潤的平均值和乙型號節(jié)排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．【解答】解：（1）至少有2件一級品的概率．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節(jié)排器隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列為ξ0123P所以數(shù)學(xué)期望（或）．②由題意知，甲型號節(jié)排器的利潤的平均值，乙型號節(jié)排器的利潤的平均值，，又，所以投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．20.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)

求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)

證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。參考答案：解析：方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（II）證明：因?yàn)椋↖II）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得

（I）

所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：

，（III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為21.設(shè)函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間;（2）若，k為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，。若，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。......5分（Ⅱ）由，有，當(dāng)時(shí)，(x－k)f′(x)+x+1>0等價(jià)于，（）......7分令，則。由（Ⅰ）知，在內(nèi)單調(diào)遞增，而，，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則。.....10分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)的最小值為，又有，可得，所以。所以。整數(shù)的最大取值為2。......12分22.（本小題滿分14分）已知兩圓的圓心分別為，為一個(gè)動點(diǎn)，且直線的斜率之積為

（1）求動點(diǎn)的軌跡M的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線l與軌跡M交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）兩圓的圓心坐標(biāo)分別為和

（1分）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為,則直線的斜率分別為和

(3分)由條件得，即

所以動點(diǎn)的軌跡M的方程為

（6分）

注：無“”扣