2021-2022學(xué)年湖南省婁底市測(cè)水中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省婁底市測(cè)水中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1、F2為雙曲線C︰x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=（

）A． B． C． D．參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì)H6設(shè)|PF1|=2|PF2|=2a=2，PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4，|PF2|=2∵|F1F2|=2∴cos∠F1PF2==【思路點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．2.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則2xy的最大值為（）A．25 B．49 C．12 D．24參考答案：A【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象知y≤10﹣2x，則2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=5時(shí)，取等號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)（，5）在可行域內(nèi)，故2xy的最大值為25，故選：A．3.若方程的取值范圍是A．(－∞，－1) B．[0，1) C．[，＋∞) D．(－∞，－1)∪(，＋∞)參考答案：D略4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐（也可以看成是一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體），代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其底面S=（1+2）×1=，高h(yuǎn)=1，故體積V==，故選：D也可以看成是一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，同樣得分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的表面積和體積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．5.設(shè)集合(

)A． B． C． D．參考答案：B6.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.參考答案：D試題分析：，．所以的虛部為．故D正確．7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則的值為（

）（A）4

（B）5

（C）

6

（D）7參考答案：B試題分析：設(shè)數(shù)列的公比為q，∴，∵，∴，∴，解得或（舍），∴，∵，∴，∴，解得，故選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.8.函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是

（

）

參考答案：答案:D9.若集合A={}，B={}，則集合等于(

)．

(A){}

(B){}(C){}

(D){}參考答案：D10.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.特別是當(dāng)時(shí)，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B由題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若b=2，B=且sin2A+sin(A+C)=sinB，則△ABC的面積為

。參考答案：，12.有如下四個(gè)命題：①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.②相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱.③若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值,那么有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān).④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指.

以上命題“錯(cuò)誤”的序號(hào)是

.參考答案：13.已知命題.若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：因?yàn)槊}為假命題，所以。當(dāng)時(shí)，，所以不成立。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，則有，即，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是。14.已知拋物線y2=x上一定點(diǎn)B（1，1）和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先假設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用BP⊥PQ，可得=0，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：設(shè)P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)∴必須有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考考查取值范圍問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用=0構(gòu)建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進(jìn)行求解．15.設(shè)

則__________.參考答案：16.甲、乙兩位同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為，甲、乙下和棋的概率為，則乙獲勝的概率為

▲

.參考答案：為了體現(xiàn)新的《考試說(shuō)明》，此題選擇了互斥事件，選材于課本中的習(xí)題。17.曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi)_________．參考答案：y=2x

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F(xiàn)分別為棱AA1，A1B1，AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若異面直線AA1與EF所成角為30°時(shí)，求三棱錐C1﹣DCB的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）要證EF∥平面BCC1B1，可證EF所在平面平行于平面BCC1B1，取AB的中點(diǎn)O，連接FO，EO，由棱柱的性質(zhì)可得FO∥BC，EO∥BB1，再由面面平行的判定得到平面EFO∥平面BCC1B1，則答案得到證明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEO異面直線AA1與EF所成角，得到∠FEO=30°，進(jìn)一步得到BC⊥平面ACC1A1，再由已知求出EO的長(zhǎng)度，把三棱錐C1﹣DCB的體積轉(zhuǎn)化為B﹣CDC1的體積求解．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接FO，EO，∵E，F(xiàn)分別為棱A1B1，AC的中點(diǎn)，∴FO∥BC，EO∥BB1，F(xiàn)O∩EO=O，BC∩BB1=B，F(xiàn)O，EO?平面EFO，BC，BB1?平面BCC1B1，∴平面EFO∥平面BCC1B1，又EF?平面EFO，∴EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO異面直線AA1與EF所成角，∴∠FEO=30°，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴EO⊥平面ABC，則EO⊥FO，∵，∴，由∵AC⊥BC，CC1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴=．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．19.如圖，在海岸線一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米。公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元。設(shè)∠，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元。⑴寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；⑵問(wèn)中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最??？參考答案：

略20.某高三年級(jí)在一次理科綜合檢測(cè)中統(tǒng)計(jì)了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化學(xué)的成績(jī)制成下列散點(diǎn)圖（物理成績(jī)用表示，化學(xué)成績(jī)用表示）（圖1）和生物成績(jī)的莖葉圖（圖2）.

（圖1）

（圖2）

（1）若物理成績(jī)高于90分，我們視為“優(yōu)秀”，那么以這20人為樣本，從物理成績(jī)優(yōu)秀的人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；（2）若化學(xué)成績(jī)高于80分，我們視為“優(yōu)秀”，根據(jù)圖1完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為優(yōu)秀率與住校有關(guān)；

住校非住校優(yōu)

秀

非優(yōu)秀

附：（,其中）（3）若生物成績(jī)高于75分，我們視為“良好”，將頻率視為概率，若從全年級(jí)學(xué)生中任選3人，記3人中生物成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）由圖（1）可知20人中物理成績(jī)優(yōu)秀的有5人，其中住校生2人?！?分記“從物理成績(jī)優(yōu)秀的5人中隨機(jī)抽取2人，至少有1人是住校生”為事件A，則；

……4分（2）列聯(lián)表為

住校非住校優(yōu)

秀84非優(yōu)秀26……5分計(jì)算，

………………6分經(jīng)查表

……7分故沒(méi)有95%的把握認(rèn)為優(yōu)秀率與住校有關(guān)；

……8分

（3）由圖（2）可知，20人中生物成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生有12人，則從樣本中任取一人生物成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡母怕蕿?，……?分故從全年級(jí)學(xué)生中任選3人，生物成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，分布列為（或）：0123

……………11分?jǐn)?shù)學(xué)期望為。

…………12分21.在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，成等差數(shù)列．（1）若，，求的值；（2）求的取值范圍．參考答案：解：(1)成等差數(shù)列,

即

，即

，所以

（2）

的取值范圍是

略22.如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得山頂P在北偏東15°（∠BAC=15°）方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，測(cè)得山頂P位于北偏東60°方向上，此時(shí)測(cè)得山頂P的仰角60°，若山高為千米，（1