高中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí) 函數(shù) 新課標(biāo) 人教 必修1(A)

函數(shù).一一映射映射函數(shù)奇偶性單調(diào)性應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu).（一）知識(shí)點(diǎn)歸納1、映射、函數(shù)、函數(shù)的三要素、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性。2、反函數(shù)，互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。3、指數(shù),對(duì)數(shù);指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)（二）典例分析（三）單元測(cè)試.例1函數(shù)y=log(x2-2x+3)的定義域?yàn)開____值域?yàn)開____，單調(diào)增區(qū)間為______，減區(qū)間為______。解：x2-2x+3>0∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2

∴y=log(x2-2x+3)≤-1單調(diào)增區(qū)間為（-∞,1]，減區(qū)間為[1,+∞）.例2y=log2的值域?yàn)開______，增區(qū)間為______，減區(qū)間為_______。解：-(x2-6x+5)>0x2-6x+5<01<x<5∴y=log2

≤log22=1

∴值域?yàn)閥≤1增區(qū)間為（1，3]減區(qū)間為[3，5）.例3函數(shù)y=log(x2-ax-a)在區(qū)間(-∞,1-)上是增函數(shù)則a的范圍是_______。（f(x)=log(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是減函數(shù)則a范圍為______）。解：∵x2-ax-a=(x-)2--a∵y=log(x2-ax-a)在(-∞,1-)上是增函數(shù)∴≥1-(1-)2-a(1-)-a≥0∴2-2≤a≤2.例4當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，則a的范圍是________。解：令y1=(x-1)2y2=logax當(dāng)曲線y=logax過A(2,1)時(shí)1=loga2

∴a=2欲使x∈(1,2](x-1)2<logax恒成立必須使1<a≤2A(2,1)12xyO.例5函數(shù)y=log2x+logx單調(diào)減區(qū)間為___。解：令t=logxy=t2+t=(t+)2-∴l(xiāng)ogx≥-∴0<x≤∴函數(shù)y=log2x+logx單調(diào)減區(qū)間為(0,].例6設(shè)0<a<1，x，y滿足logax+3logxa-logxy=3若y有最大值為，求此時(shí)a值及x的值。解：logxy=logax+-3

∴l(xiāng)ogay=log2ax-3logax+3

a=∴a=

∴l(xiāng)ogx=∴x=()=.例7函數(shù)y=logax(0<a<1)x≥1的圖象上有A、B、C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為t，t+2，t+4。（1）若△ABC面積為S，求S=f(t)。（2）判斷S=f(t)的單調(diào)性。（3）求S=f(t)的最大值。0SttABCt+2t+4A′

B′

C′

.解：A(t,logat)B(t+2,loga(t+2))C(t+4,loga(t+4))S=SAA′BB′+SBB′CC′-SAA′C′C=(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|)-2(|logat|+|loga(t+4)|)∴t≥1∴S=logaS=loga(1-)在[1+∞)上為減函數(shù)（3）∴當(dāng)t=1時(shí)S大=loga.例8當(dāng)0<a<1時(shí)方程a|x|=|logax|解的個(gè)數(shù)為_____個(gè)。例9方程ax+1=-x2+2x+2a(a>0,且a≠1)解的個(gè)數(shù)為______。解：-x2+2x+2a=-(x-1)2+2a+12a+1>a+1AByx10xyx=120.例10已知x1是方程x+lgx=4的解，x2是方程x+10x=4的解，則x1+x2=_____。（A）5（B）4（C）3（D）1法1：∵x1+lgx1=4又x2+10x2=4∴3<x1<40<x2<1∴3<x1+x2<5∴選B.法2lgx=4-x10x=4-x∴x1+x2=4法3令lgx1=t則x1+t=4x1=10t

∴10t+t=4又∵x2+10x2=4∴t=x2∴x1+x2=4xyx2x1(2,2).例11已知關(guān)于θ的方程sin2θ+acosθ-2a=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的范圍。解：原方程可化為：cos2θ-acosθ+2a-1=0令cosθ=t-1≤t≤1t2-at+2a-1=0.法1令f(t)=t2-at+2a-1△≥0f(1)·f(-1)≤0-1≤

≤1∴a·3a≤0∴a=0f(-1)≥0f(1)≥0∴0≤a≤4-2xyO-11xyO-11或.法2a==4-(+2-cosθ)≤4-2∴0≤a≤4-2法3原方程可化為：cos2θ-1=a(cosθ-2)t2-1=a(t-2)0≤a≤4-2ty0.例12某廠1、2、3月的產(chǎn)量分別為1，1.2，1.3（萬(wàn)件）日產(chǎn)量是月份的函數(shù)，模擬函數(shù)可以為二次函數(shù)，也可以為函數(shù)g(x)=a·bx+c。已知4月份產(chǎn)量為1.37（萬(wàn)件）問用哪一個(gè)函數(shù)模擬好？解：設(shè)f(x)=px2+qx+r由題設(shè)知：p+q+r=14p+2q+r=1.29p+3q+r=1.3.∴p=-0.05q=0.35r=0.7f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3又ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3∴a=-0.8b=0.5c=1.4∴g(x)=-0.8·0.5x+1.4g(4)=-0.8·0.54+1.4=1.35∴用g(x)好。.例13設(shè)a>0，a≠1為常數(shù)，函數(shù)f(x)=loga（1）討論f(x)在區(qū)間(-∞,-5)內(nèi)的單調(diào)性，并給予證明。（2）設(shè)g(x)=1+loga(x-3)如果方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a的范圍。解：設(shè)U(x)=x1<x2<-5則U(x1)-U(x2)==.∵x1<x2<-5∴x1-x2<0x1+5<0x2+5<0∴U(x1)-U(x2)<0∴U(x)在(-∞,-5)上是增函數(shù)。當(dāng)a>1時(shí)f(x)=loga在(-∞,-5)上是增函數(shù)。當(dāng)0<a<1時(shí)f(x)=loga在(-∞,-5)上是減函數(shù)。.（2）loga=1+loga(x-3)有大于5的實(shí)根∴a(x-3)=a[(x-5+2]=令x-5=t(t>0)a(t+2)=∴==t++12≥12+4∴a≤=∴0<a≤。.單元測(cè)試一、單選題1）若指數(shù)函數(shù)y=f(x)反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,-1)，則此指數(shù)函數(shù)是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，則f()=-的解為（）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,2]，則函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的定義域是（）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2].4）設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，則在映射下，象(2,1)的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是(-∞,0),那么函數(shù)y=f(-x)的圖像一定位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限.6）如果0<a<1,0<x2<x1，則下列各式中正確的是（B）（A）1<ax2<ax1（B）ax1<ax2<1（C）ax2<ax1<1（D）ax1<1<ax27）若函數(shù)f(x-1)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)()(A)以x=1為對(duì)稱軸(B)以x=-1為對(duì)稱軸(C)以y軸為對(duì)稱軸(D)不具有對(duì)稱性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（）（A）-5（B）5（C）-3（D）3.9）已知函數(shù)f(x)，(x∈R)滿足：(1)f(1+x)=f(1-x)；(2)在[1,+∞)上為增函數(shù)；(3)x1<0,x2>0，且x1+x2<-2，則f(-x1)與f(-x2)的大小關(guān)系是（）(A)f(-x1)>f(-x2)(B)f(-x1)=f(-x2)(C)f(-x1)<f(-x2)(D)無(wú)法確定10）若f(x)為奇函數(shù)，且在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù)，又f(-2)=0，則x·f(x)<0的解集為（）(A)(-2,0)∪(0,2)(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,0)∪(2,+∞).11）若f(x),g(x)均為奇函數(shù)，且F(x)=af(x)+bg(x)+1在(0,+∞)上有最大值4，則F(x)在(-∞,0)上有最小值（）（A）-4（B）-2（C）-1（D）312）定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b的圖像與y=f-1(x+a)+b的圖像間的關(guān)系是（）(A)關(guān)于直線y=x+a+b對(duì)稱(B)關(guān)于直線x=y+a+b對(duì)稱(C)關(guān)于直線y=x+a-b對(duì)稱(D)關(guān)于直線x=y+a-b對(duì)稱.二、填空題13）已知函數(shù)f(x)=ax2+b(x<0)的圖像過點(diǎn)(-2,11),f(x)的圖像過點(diǎn)(2,-1)，則a=___，b=___。14）已知logx3<logy3<0，則0,1,x,y之間的大小關(guān)系是_________。15）已知0<a<1，則方程a|x|=|logx|。實(shí)根的個(gè)數(shù)是____個(gè)。16）設(shè)函數(shù)g(x)=是奇函數(shù)，則a=__。.三、解答題17）設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上遞增，若有f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)，求a的取值范圍。解：∵2a2+a+1>03a2-2a+1>0∴2a2+a+1>3a2-2a+1a2-3a<00<a<3.18）已知常數(shù)a>1，變數(shù)x,y之間有關(guān)系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，試求以a,t表示y的表達(dá)式；（2）若t的變化范圍為[1,+∞)此時(shí)y的最小值為8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3

∴=logax+-3

∴l(xiāng)ogay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）當(dāng)t=時(shí)y小=a=8

∴a=8=16此時(shí)x=16=64.19）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx，其中a,b,c滿足a>b>c,a+b+c=0（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A，B；（2）求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0∴△>0∴兩函數(shù)圖象交于兩個(gè)不同點(diǎn)。.（2）設(shè)方程兩個(gè)根分別為x1,x2則x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0a>-a-c>c

∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)<|A1B1|<2.20）如圖所示，鐵路線上AB段長(zhǎng)100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米，現(xiàn)在要在AB上某一點(diǎn)D處，向C修一條公路，已知鐵路與公路的每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省。D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解：設(shè)|AD|=x鐵路上每噸千米運(yùn)費(fèi)為3k，公路為5k。總運(yùn)費(fèi)y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC.令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0∴t≥80當(dāng)t=80時(shí)x=15時(shí)，即D取在距A15千米處，總運(yùn)費(fèi)量省。法2設(shè)∠ACD=a則總運(yùn)費(fèi)量y=3(100-20tana)+5×=300+()小=此時(shí)tana=∴AD=15（千米）.21）已知函數(shù)f(x)=3x且f-1(18)=a+2，g(x)=3ax-4x的定義域?yàn)閰^(qū)間[0,1]。（1）求g(x)的解析式；（2）求g(x)的單調(diào)區(qū)間，確定其增減性并試用定義證明；（3）求g(x)的值域。解：（1）∵f(x)=3x且f-1(18)=a+2∴f(a+2)=3a+2=183a=2∴g(x)=2x-4x.（2）令t=2g(t)=t-t2=-(t-)2+t∈[1,2]

∵g(t)在[1,2]上單