第4章拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、拉丁方格二、標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格三、n階拉丁方格的個(gè)數(shù)四、正交拉丁方格五、拉丁方格在安排試驗(yàn)中的應(yīng)用六、幾點(diǎn)說明七、拉丁方試驗(yàn)的直觀分析八、拉丁方試驗(yàn)的方差分析一、拉丁方格1.定義：用r個(gè)拉丁字母排成r行r列的方陣，使每行每列中每個(gè)字母都只能出現(xiàn)一次，這樣的方陣叫r階拉丁方或r×r拉丁方。2.N階拉丁方格2階或2×2拉丁方

ABbaBCab

（I）（2）ABCBCA3階或3×3拉丁方CABABCDBCDA4×4拉丁方CDABDABC二、標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格1。定義：方格的第一行和第一列按拉丁字母順序排列。2.N階標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格的個(gè)數(shù)

2×2標(biāo)準(zhǔn)拉丁方只有一個(gè)ABBAI

3×3標(biāo)準(zhǔn)拉丁方只有一個(gè)ABCBCAICAB4×4標(biāo)準(zhǔn)拉丁方有4個(gè)

ABCDABCDABCD

ABCDBADCBADCBCDABDACCDBACDABCDABCABDDCABDCBADABCDCBA

（I）（II）（III）（IV）三、n階拉丁方格的個(gè)數(shù)一、方法：每個(gè)拉丁方格可用標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格對行號或列號隨機(jī)化排列方法得到其它符合要求的拉丁方格二、操作：

1.選中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格，編上行號或列號

2.固定行號，列號用不同排列得到。有n!種

3.固定第二步得到的n!個(gè)方格的列號及第一行行號其它行用不同排列生成(n-1)!方格三、n階拉丁方格的個(gè)數(shù)

4.計(jì)算總數(shù)SS=k·n!·(n-1)!K為標(biāo)準(zhǔn)拉丁方格個(gè)數(shù)三、實(shí)例：

n=2時(shí)，k=1,s=1·2!

·1!=2n=3時(shí)，k=1,s=1·3!

·2!=12n=4時(shí)，k=4,s=4·4!

·3!=576三、3階拉丁方格的個(gè)數(shù):121232311ABC1BCA2BCA2CAB…3CAB3ABC(i)(2)…(6)1232311ABC1BCA3CAB3ABC2BCA2CAB(7)(8)…(12)四、正交拉丁方格組合方格（I）和（7）：先編號再組合A1B1C1A7B7C7A1A7B1B7C1C7B1C1A1C7A7B7

B1C7C1A7A1B7C1A1B1B7C7A7C1B7A1C7B1A7合成方格具有以下性質(zhì)1.A1，B1，C1在各行各列中各出現(xiàn)一次2.A7，B7，C7在各行各列中各出現(xiàn)一次3.A1，B1，C1和A7，B7，C7各組合一次（如對A7：A1A7，B1A7和C1A7

各出現(xiàn)一次）四、正交拉丁方格定義:凡滿足3的兩個(gè)拉丁方格是相互正交的定理：在nxn方格中，當(dāng)n(>2)為素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的冪時(shí)就有n-1個(gè)正交拉丁方格特例：n=2時(shí)，無n=3時(shí)，有n-1=2個(gè)N=4時(shí)，有n-1=3個(gè)：22N=5時(shí)，有n-1=4個(gè)N=6時(shí)，沒有：不為素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的冪N=7時(shí)，有n-1=6個(gè)N=8時(shí)，有n-1=7個(gè)：233X3，4X4正交拉丁方格系

3X34X4IIIIIIIII12312312341234

1234231312214334124321312231341243212143432121433412五、拉丁方格在安排試驗(yàn)中的應(yīng)用消除與試驗(yàn)?zāi)康臒o關(guān)因素的影響例1：考察ABC三種不同水稻品種對畝產(chǎn)量的影響，需安排“單因素三水平”試驗(yàn)

(a)(b)(c)ABCACACBBBACABCBCACAB五、拉丁方格在安排試驗(yàn)中的應(yīng)用在同樣精度下可減少試驗(yàn)次數(shù)；在同樣試驗(yàn)次數(shù)下可提高結(jié)論的準(zhǔn)確性例2：生產(chǎn)某種染料需三種原料：A-硫磺，B-燒堿，C-二硝基，每種原料均取四個(gè)水平，要找一個(gè)最好的配方，使質(zhì)量又好，成本又低，應(yīng)怎樣安排試驗(yàn)？全面試驗(yàn)：43=64次先考慮A，B兩因素的全面試驗(yàn)，共16次五、拉丁方格在安排試驗(yàn)中的應(yīng)用再安排C：在4X4中取一個(gè)正交拉丁方格，如取第I個(gè)。拉丁方格中的1234分別表示因素C的4個(gè)水平C1，C2，C3，C4，按相應(yīng)位置插到全面試驗(yàn)的相應(yīng)位置如下表問：A1B1C4沒出現(xiàn)，那這個(gè)試驗(yàn)安排會最優(yōu)嗎？B1B2B3B4A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A1B4C4A2A2B1C2A2B2C1A2B3C4A2B4C3A3A3B1C3A3B2C4A3B3C1A3B4C2A4A4B1C4A4B2C3A4B3C2A4B4C1五、拉丁方格在安排試驗(yàn)中的應(yīng)用例3：生產(chǎn)某種染料用四種原料：A-硫磺，B-燒堿，C-二硝基，D-硫化堿，每種原料均取四個(gè)水平，要找最好配方，試驗(yàn)又該怎樣安排？CD用II，III正交拉丁方格B1B2B3B4A1A1B1C1D1A1B2C2D2A1B3C3D3A1B4C4D4A2A2B1C3D4A2B2C4D3A2B3C1D2A2B4C2D1A3A3B1C4D2A3B2C3D1A3B3C2D4A3B4C1D3A4A4B1C2D3A4B2C1D4A4B3C4D1A4B4C3D2六、幾點(diǎn)說明由前知，4X4正交拉丁方只有3個(gè)，對具4水平的因素，用正交拉丁格安排試驗(yàn)最多只能安排2+3=5個(gè)因素。用正交拉丁格安排試驗(yàn)的前提：各因素間無交互作用。優(yōu)點(diǎn)：使用簡單，搭配均衡。思考三水平能安排幾個(gè)因素的試驗(yàn)？A，B兩因素的全面試驗(yàn)?zāi)苡?X4的兩個(gè)正交方格組成嗎？答案4個(gè)1。A和B的全面試驗(yàn)2。C與D的3X3正交方格的組合3。1和2的組合可以。只要各因素的4個(gè)水平與另一個(gè)因素的4個(gè)水平各相遇一次，搭配均勻即可。七、拉丁方試驗(yàn)的直觀分析例：煙灰磚折斷力試驗(yàn)試驗(yàn)?zāi)康模簩ふ易罴压に嚄l件,折斷力是指標(biāo)因素水平：生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知應(yīng)選如下：因素水平A(％)成型水分B(分)碾壓時(shí)間C(公斤)一次碾壓料重1873402101037031213400用拉丁方安排試驗(yàn)B1B2B3A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2B1B2B3KAikAiKCkkCkA116.818.916.552.217.458.919.6A218.823.420.262.420.861.820.6A326.221.924.172.224.066.122.0KBj61.864.260.8RA=6.6RC=2.4kBj20.621.420.3RB=1.1RA>RC>RB七、拉丁方試驗(yàn)的直觀分析1.由RB<RC<RA由知對折斷力影響從主到次的因素排序?yàn)锳，C，B2.由kA3>kA2>kA1由知A的水平3好；同理….最佳工藝條件為A3B2C33.當(dāng)最佳點(diǎn)在試驗(yàn)范圍的邊界時(shí)，要擴(kuò)大試驗(yàn)范圍。如A3，C3工還可取水分14，碾壓重取340kg.4.A3B2C3在試驗(yàn)中沒有安排，但拉丁方卻具備找出的此類結(jié)果的能力。5.實(shí)際上這是一個(gè)極差分析法。八、拉丁方試驗(yàn)的方差分析在研究對蝦的配合飼料試驗(yàn)時(shí)，需要比較5種配方的效果，現(xiàn)有5臺飼料機(jī)和5個(gè)操作人員，這些機(jī)器的性能和操作人員的技術(shù)有所差異，在試驗(yàn)中必須消除由這兩個(gè)外來變源造成的影響。對于這個(gè)問題可以按下面的方法進(jìn)行試驗(yàn)。用每臺機(jī)器做所有的5種配方，5個(gè)操作人員每人也做所有的5種配方，用這個(gè)設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)，得到的結(jié)果（增重）如表。表中拉丁字母A、B、C、D、E表示5種配方。拉丁方設(shè)計(jì)可以在不增加試驗(yàn)次數(shù)的條件下，同時(shí)克服兩個(gè)外來的變源的影響，但它要求試驗(yàn)總次數(shù)為該因素所設(shè)水平數(shù)的平方，且要求該因素與這兩個(gè)方向上的劃區(qū)作為因素來看，彼此間沒有交互作用。對蝦飼料配方問題的拉丁方試驗(yàn)結(jié)果機(jī)器操作者（k列）12345Ti..T.j.12345A=12B=10C=11D=13E=11B=10C=12D=15E=14A=13C=11D=15E=13A=13B=10D=12E=13A=13B=11C=15E=12A=17B=11C=11D=1557676362646852607063T..k5764626466T=313T..k23249409638444096435619641解：1.拉丁方設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)模型是

Xijk=u+ai+bj+ck+eijk

i,j,k=1,2,…,p,