第4章拉丁方試驗設(shè)計與分析

拉丁方試驗設(shè)計一、拉丁方格二、標準拉丁方格三、n階拉丁方格的個數(shù)四、正交拉丁方格五、拉丁方格在安排試驗中的應用六、幾點說明七、拉丁方試驗的直觀分析八、拉丁方試驗的方差分析一、拉丁方格1.定義：用r個拉丁字母排成r行r列的方陣，使每行每列中每個字母都只能出現(xiàn)一次，這樣的方陣叫r階拉丁方或r×r拉丁方。2.N階拉丁方格2階或2×2拉丁方

ABbaBCab

（I）（2）ABCBCA3階或3×3拉丁方CABABCDBCDA4×4拉丁方CDABDABC二、標準拉丁方格1。定義：方格的第一行和第一列按拉丁字母順序排列。2.N階標準拉丁方格的個數(shù)

2×2標準拉丁方只有一個ABBAI

3×3標準拉丁方只有一個ABCBCAICAB4×4標準拉丁方有4個

ABCDABCDABCD

ABCDBADCBADCBCDABDACCDBACDABCDABCABDDCABDCBADABCDCBA

（I）（II）（III）（IV）三、n階拉丁方格的個數(shù)一、方法：每個拉丁方格可用標準拉丁方格對行號或列號隨機化排列方法得到其它符合要求的拉丁方格二、操作：

1.選中一個標準拉丁方格，編上行號或列號

2.固定行號，列號用不同排列得到。有n!種

3.固定第二步得到的n!個方格的列號及第一行行號其它行用不同排列生成(n-1)!方格三、n階拉丁方格的個數(shù)

4.計算總數(shù)SS=k·n!·(n-1)!K為標準拉丁方格個數(shù)三、實例：

n=2時，k=1,s=1·2!

·1!=2n=3時，k=1,s=1·3!

·2!=12n=4時，k=4,s=4·4!

·3!=576三、3階拉丁方格的個數(shù):121232311ABC1BCA2BCA2CAB…3CAB3ABC(i)(2)…(6)1232311ABC1BCA3CAB3ABC2BCA2CAB(7)(8)…(12)四、正交拉丁方格組合方格（I）和（7）：先編號再組合A1B1C1A7B7C7A1A7B1B7C1C7B1C1A1C7A7B7

B1C7C1A7A1B7C1A1B1B7C7A7C1B7A1C7B1A7合成方格具有以下性質(zhì)1.A1，B1，C1在各行各列中各出現(xiàn)一次2.A7，B7，C7在各行各列中各出現(xiàn)一次3.A1，B1，C1和A7，B7，C7各組合一次（如對A7：A1A7，B1A7和C1A7

各出現(xiàn)一次）四、正交拉丁方格定義:凡滿足3的兩個拉丁方格是相互正交的定理：在nxn方格中，當n(>2)為素數(shù)或素數(shù)的冪時就有n-1個正交拉丁方格特例：n=2時，無n=3時，有n-1=2個N=4時，有n-1=3個：22N=5時，有n-1=4個N=6時，沒有：不為素數(shù)或素數(shù)的冪N=7時，有n-1=6個N=8時，有n-1=7個：233X3，4X4正交拉丁方格系

3X34X4IIIIIIIII12312312341234

1234231312214334124321312231341243212143432121433412五、拉丁方格在安排試驗中的應用消除與試驗目的無關(guān)因素的影響例1：考察ABC三種不同水稻品種對畝產(chǎn)量的影響，需安排“單因素三水平”試驗

(a)(b)(c)ABCACACBBBACABCBCACAB五、拉丁方格在安排試驗中的應用在同樣精度下可減少試驗次數(shù)；在同樣試驗次數(shù)下可提高結(jié)論的準確性例2：生產(chǎn)某種染料需三種原料：A-硫磺，B-燒堿，C-二硝基，每種原料均取四個水平，要找一個最好的配方，使質(zhì)量又好，成本又低，應怎樣安排試驗？全面試驗：43=64次先考慮A，B兩因素的全面試驗，共16次五、拉丁方格在安排試驗中的應用再安排C：在4X4中取一個正交拉丁方格，如取第I個。拉丁方格中的1234分別表示因素C的4個水平C1，C2，C3，C4，按相應位置插到全面試驗的相應位置如下表問：A1B1C4沒出現(xiàn)，那這個試驗安排會最優(yōu)嗎？B1B2B3B4A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A1B4C4A2A2B1C2A2B2C1A2B3C4A2B4C3A3A3B1C3A3B2C4A3B3C1A3B4C2A4A4B1C4A4B2C3A4B3C2A4B4C1五、拉丁方格在安排試驗中的應用例3：生產(chǎn)某種染料用四種原料：A-硫磺，B-燒堿，C-二硝基，D-硫化堿，每種原料均取四個水平，要找最好配方，試驗又該怎樣安排？CD用II，III正交拉丁方格B1B2B3B4A1A1B1C1D1A1B2C2D2A1B3C3D3A1B4C4D4A2A2B1C3D4A2B2C4D3A2B3C1D2A2B4C2D1A3A3B1C4D2A3B2C3D1A3B3C2D4A3B4C1D3A4A4B1C2D3A4B2C1D4A4B3C4D1A4B4C3D2六、幾點說明由前知，4X4正交拉丁方只有3個，對具4水平的因素，用正交拉丁格安排試驗最多只能安排2+3=5個因素。用正交拉丁格安排試驗的前提：各因素間無交互作用。優(yōu)點：使用簡單，搭配均衡。思考三水平能安排幾個因素的試驗？A，B兩因素的全面試驗能用4X4的兩個正交方格組成嗎？答案4個1。A和B的全面試驗2。C與D的3X3正交方格的組合3。1和2的組合可以。只要各因素的4個水平與另一個因素的4個水平各相遇一次，搭配均勻即可。七、拉丁方試驗的直觀分析例：煙灰磚折斷力試驗試驗目的：尋找最佳工藝條件,折斷力是指標因素水平：生產(chǎn)經(jīng)驗知應選如下：因素水平A(％)成型水分B(分)碾壓時間C(公斤)一次碾壓料重1873402101037031213400用拉丁方安排試驗B1B2B3A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2B1B2B3KAikAiKCkkCkA116.818.916.552.217.458.919.6A218.823.420.262.420.861.820.6A326.221.924.172.224.066.122.0KBj61.864.260.8RA=6.6RC=2.4kBj20.621.420.3RB=1.1RA>RC>RB七、拉丁方試驗的直觀分析1.由RB<RC<RA由知對折斷力影響從主到次的因素排序為A，C，B2.由kA3>kA2>kA1由知A的水平3好；同理….最佳工藝條件為A3B2C33.當最佳點在試驗范圍的邊界時，要擴大試驗范圍。如A3，C3工還可取水分14，碾壓重取340kg.4.A3B2C3在試驗中沒有安排，但拉丁方卻具備找出的此類結(jié)果的能力。5.實際上這是一個極差分析法。八、拉丁方試驗的方差分析在研究對蝦的配合飼料試驗時，需要比較5種配方的效果，現(xiàn)有5臺飼料機和5個操作人員，這些機器的性能和操作人員的技術(shù)有所差異，在試驗中必須消除由這兩個外來變源造成的影響。對于這個問題可以按下面的方法進行試驗。用每臺機器做所有的5種配方，5個操作人員每人也做所有的5種配方，用這個設(shè)計進行試驗，得到的結(jié)果（增重）如表。表中拉丁字母A、B、C、D、E表示5種配方。拉丁方設(shè)計可以在不增加試驗次數(shù)的條件下，同時克服兩個外來的變源的影響，但它要求試驗總次數(shù)為該因素所設(shè)水平數(shù)的平方，且要求該因素與這兩個方向上的劃區(qū)作為因素來看，彼此間沒有交互作用。對蝦飼料配方問題的拉丁方試驗結(jié)果機器操作者（k列）12345Ti..T.j.12345A=12B=10C=11D=13E=11B=10C=12D=15E=14A=13C=11D=15E=13A=13B=10D=12E=13A=13B=11C=15E=12A=17B=11C=11D=1557676362646852607063T..k5764626466T=313T..k23249409638444096435619641解：1.拉丁方設(shè)計的統(tǒng)計模型是

Xijk=u+ai+bj+ck+eijk

i,j,k=1,2,…,p,