高中數(shù)學(xué) 第一章《統(tǒng)計》用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 北師大必修3

法門高中教學(xué)樓用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征北師大版高中數(shù)學(xué)必修3第一章《統(tǒng)計》1.一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋。（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識。2、過程與方法：在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。3、情感態(tài)度與價值觀：會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。難點(diǎn)：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題。三、教學(xué)方法：探究歸納，思考交流四、教學(xué)過程2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)3.（一）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即

x=4.

練習(xí):在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?單位:米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)

解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；5.

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是答：17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.6.頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：

（二）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。7.

2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為2.03t.頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)8.說明:

2.03這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.9.下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù):x=1.973頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).n個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:給出10.（三）、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)

1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.11.

2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。12.

3、由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計時可靠性降低。13.

（四）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用例某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒周工資2200250220200100人數(shù)165101（1）指出這個問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？

解：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。14.標(biāo)準(zhǔn)差15.

平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是平均有時也會使我們作出對總體的片面判斷．因?yàn)檫@個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽的．因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)．如：有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價?如果看兩人本次射擊的平均成績,由于

兩人射擊的平均成績是一樣的.那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎?16.(甲)45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3頻率(乙)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)直觀上看,還是有差異的.如:甲成績比較分散,乙成績相對集中(如上圖所示).因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計圖表時提到過的極差.17.甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個最高分,去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略.

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：18.由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算標(biāo)準(zhǔn)差．一個樣本中的個體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示:考慮一個容量為2的樣本:19.

顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.用計算器可算出甲,乙兩人的的成績的標(biāo)準(zhǔn)差由可以知道,甲的成績離散程度大,乙的成績離散程度小.由此可以估計,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系可用圖直觀地表示出來.45678910a20.例題1:畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖,說明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8;解:四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖是:頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=0.00(1)21.12345678頻率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.490.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)頻率o12345678S=0.82頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.8322.四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.00,0.82,1.49,2.83.雖然它們有相同的平均數(shù),但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如:在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868

所以23.例2甲乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm)甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?24.分析:每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體,由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.00mm的差異在時質(zhì)量低,差異小時質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時,總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時候質(zhì)量低.這樣比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是這兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣體數(shù)據(jù),然后比較這兩個樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個總體之間的估計值.解:用計算器計算可得:25.

從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于從上述例子我們可以看到,對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑(總體)的質(zhì)量判斷,與我們抽取的內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關(guān).顯然,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本(為什么?).這樣,盡管總體是同一個,但由于樣本不同,相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差等都會發(fā)生改變,這就會影響到我們對總體情況的估計.如果樣本的的代表性差