《理論力學》4摩擦

靜力學摩擦§4–4滾動摩擦的概念§4–3考慮滑動摩擦時的平衡問題§4–2滑動摩擦性質靜力學第四章摩擦§4–1滑動摩擦的概念第四章摩擦§4–1滑動摩擦的概念

滑動摩擦的概念滑動摩擦的分類

(1)按二物體接觸面間是否有潤滑分類干摩擦：由固體表面直接接觸而產(chǎn)生的摩擦。濕摩擦：固體表面之間存在某種液體，則這時出現(xiàn)的摩擦。半干摩擦：當潤滑油不足時，固體表面將部分保持直接接觸，這種在中間狀態(tài)下出現(xiàn)的摩擦。2.滑動摩擦的分類當一物體沿著另一物體的表面（或接觸面）滑動或具有滑動的趨勢時，該表面會產(chǎn)生切向阻力的現(xiàn)象稱為滑動摩擦，簡稱摩擦。這個切向阻力稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。§4–1

滑動摩擦的概念1.滑動摩擦的概念靜（滑動）摩擦：僅出現(xiàn)相對滑動趨勢而未發(fā)生運動時的摩擦。(2)

按二物體接觸點（面）之間有無相對速度分類動（滑動）摩擦：已發(fā)生相對滑動的物體間的摩擦。摩擦的分類§4–1

滑動摩擦的概念§4–2

滑動摩擦的性質靜摩擦力的性質靜摩擦力極限摩擦定律動摩擦定律摩擦角、摩擦錐、自鎖摩擦力的大小有如下變化范圍：0≤F≤FmaxFNGFNGFFPmaxFN=－G極限值Fmax稱為極限摩擦力（最大摩擦力）。當推力FP增加到等于Fmax時的平衡稱為臨界平衡狀態(tài)。FP=－F摩擦力的方向總是和物體的相對滑動趨勢的方向相反?！?–2

滑動摩擦的性質1.靜摩擦力的性質

靜摩擦力的最大值Fmax與物體對支承面的正壓力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fmax=fs

FN

fs

:

靜摩擦因數(shù)2.靜摩擦力極限摩擦定律動摩擦力的方向總是和物體的相對滑動的速度方向相反。動摩擦力Fd與物體對支承面的正壓力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fd

=fdFNfd

:

動摩擦因數(shù)3.動摩擦定律§4–2

滑動摩擦的性質摩擦角

全反力FFNFR全反力

FR=FN+F最大全反力FR對法向反力FN的偏角f。FmaxFNFRmf最大全反力

FRm=FN+Fmax4.摩擦角、摩擦錐、自鎖由此可得重要結論：摩擦角的正切=靜摩擦系數(shù)摩擦角最大全反力FRm對法向反力FN的偏角f。FmaxFNFRmf最大全反力

FRm=FN+Fmax§4–2

滑動摩擦的性質以支承面的法線為軸作出的以2f

為頂角的圓錐。摩擦錐§4–2

滑動摩擦的性質性質：當物體靜止在支承面時，支承面的全反力的偏角不大于摩擦角。

摩擦錐的性質摩擦角更能形象的說明有摩擦時的平衡狀態(tài)。物體平衡時有0≤F≤Fmax則有0≤

≤f所以物體平衡范圍0≤F≤Fmax也可以表示為0≤

≤f?！堋堋?–2

滑動摩擦的性質●兩個重要結論①如果作用于物體的主動力合力的作用線在摩擦錐內，則不論這個力多大，物體總能平衡。FPFRf這種現(xiàn)象稱為自鎖。§4–2

滑動摩擦的性質②如果作用于物體的主動力合力的作用線在摩擦錐外，則不論這個力多小，物體都不能保持平衡。FPFRf●兩個重要結論§4–2

滑動摩擦的性質利用摩擦角測定靜摩擦系數(shù)§4–2

滑動摩擦的性質螺旋千斤頂§4–2

滑動摩擦的性質斜面自鎖條件GαFNFGsinα

≤fsGcosα由

F≤Fmax=fsFN平衡時F=Gsinα,FN=Gcosαα≤f≤§4–2

滑動摩擦的性質§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題臨界平衡狀態(tài)分析非臨界平衡狀態(tài)分析1.

臨界平衡狀態(tài)分析

●應用Fmax=fsFN

作為補充方程。

考慮摩擦時的平衡問題的分析與前面相同。但要特別注意摩擦力的分析，其中重要的是判斷摩擦力的方向和大小?！窀鶕?jù)物體的運動趨勢來判斷其接觸處的摩擦力方向，不能任意假設。在許多情況下其結果是一個不等式或范圍?！?–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題兩種情況考慮摩擦時的平衡問題的分析與前面相同。但要特別注意摩擦力的分析，其中重要的是判斷摩擦力的方向和大小。兩種情況2.非臨界平衡狀態(tài)分析（平衡范圍分析）●應用F≤fs

FN

作為補充方程?！癞斘矬w平衡時，摩擦力F和支承面的正壓力FN彼此獨立。

摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程決定。§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題2.列平衡方程。

1.取物塊A為研究對象，受力分析如圖。解:yAxαGFFNFsαAF§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-1例4-1小物體A重G=10N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N的力,α=30°，試求作用在物體上的摩擦力。例題

4-13.聯(lián)立求解。最大靜摩擦力yAxαGFFNFs因為所以作用在物體上的摩擦力為§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-1物體不再處于平衡狀態(tài)，將水平向右滑動。若

fs

=0.2,動摩擦因數(shù)

fd=0.19。求作用在物體上的摩擦力。由得比較得作用在物體上的動摩擦力為yAxαGFFNFs§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-1

討論αGF取物塊為研究對象。

1.設F值較小但仍大于維持平衡的最小值Fmin，受力分析如圖。列平衡方程解:αGFFsyxFN

例4-2在傾角α大于摩擦角f

的固定斜面上放有重G的物塊，為了維持這物塊在斜面上靜止不動，在物塊上作用了水平力F。試求這力容許值的范圍。§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-2例題

4-2聯(lián)立求解得αGFFsyxFN將代入上式得≤≤在平衡范圍內所以解得使物塊不致下滑的F值≤≥（a）≥§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-2

2.設F

值較大但仍小于維持平衡的最大值Fmax，

受力分析如圖。αGFFNFsxy聯(lián)立求解列平衡方程在平衡范圍內所以≤≤≤§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-23.綜合條件（a）和（b），得所求為了維持這物塊在斜面上靜止不動，在物塊上所作用水平力F的容許值范圍αGFFNFfxy≤≤解得使物塊不致上滑的力F值將代入上式得≤（b）≤§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-2≤hdBAFx§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-3例4-3一活動支架套在固定圓柱的外表面，且h=20cm。假設支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù)fs

=0.25。問作用于支架的主動力F

的作用線距圓柱中心線至少多遠才能使支架不致下滑（支架自重不計）。例題

4-32.列平衡方程。3.聯(lián)立求解。

1.取支架為研究對象,受力分析如圖。解析法解:FAFNBFNAABCFxxyhOFB補充方程§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-3支架受力分析如圖所示。由幾何關系得解得幾何法FDFRBFRAABCxfh1h2f§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-3例4-4

圖示勻質木箱重G=5kN，它與地面間的靜摩擦因數(shù)

fs

=0.4。圖中h=2a=2m，α

=30°。（1）問當D處的拉力F=1kN時，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。haαADGF§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4例題

4-4解:因為

Ff<Fmax

，所以木箱不滑動。解方程得取木箱為研究對象，受力分析如圖。（1）不發(fā)生滑動，即Ff≤Fmax=fsFN

。木箱與地面之間的最大摩擦力為hdaαADGFfFNF列平衡方程

1.判斷木箱是否平衡§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4又因為d=0.171m>0

，所以木箱不會翻倒。解方程得（2）不繞點A翻倒，即

d>0

。hdaαADGFfFNF§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4

2.求平衡時最大拉力，即求滑動臨界與翻倒臨界時的最小力F。列平衡方程解得木箱發(fā)生滑動的條件為

Ff=Fmax=fsFN木箱繞A點翻倒的條件為d=0，則F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力為hdaαADGFfFNF§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4列平衡方程解得補充方程

Ff=Fmax=fsFNhaαADGFfFNF也可以如下分析：(1)木箱有向左滑動趨勢§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4

討論列平衡方程解得F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力為haαADGFfFNF(2)木箱處于繞A點翻倒的臨界平衡狀態(tài)§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-4§4–4

滾動摩阻的概念滾動摩阻的定義滾動摩阻性質與產(chǎn)生原因滾動摩阻定律ARO當一物體沿著另一物體的表面滾動或具有滾動的趨勢時，除可能受到滑動摩擦力外，還受到一個阻力偶的作用。這個阻力偶稱為滾動摩阻。

2.滾動摩阻性質與產(chǎn)生原因FPFfWFNWAROFPW，F(xiàn)N組成阻止?jié)L動的力偶，即滾阻力偶

Mr。由平衡條件得W=－FN

，F(xiàn)f=－FPAOFRWFPdFfFN§4–4滾動摩阻的概念1.滾動摩阻的定義AOMrFfFNWFPMr=FNdMr,max=FNδWAROFPAOFRWFPdFfFN滾動摩阻性質§4–4滾動摩阻的概念

3.滾動摩阻定律

實驗表明：滾動摩阻力偶矩具有極限值Mr,max，力偶矩一旦增大到超過Mr,max，滾子就不能保持平衡。

滾阻力偶矩的極限值（最大值）可表示為

Mr,max=FNδδ稱為滾阻系數(shù)，具有長度量綱。它與滾子以及支承面的材料、硬度等物理因素有關。AOMrFfFNWFPWAROFPAOFRWFPdFfFN§4–4滾動摩阻的概念αFHArOαFHAOαMr,maxGFFNyx

1.取輪子為研究對象,受力分析如圖。解:§4–4滾動摩阻的概念

例題

4-5例4-5勻質輪子的重量G=3kN，半徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成α=30°的斜面勻速向上作純滾動。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)δ=0.05

cm，試求力FH的大小。例題

4-52.列平衡方程。3.聯(lián)立求解。補充方程αFHAOαMr,maxGFFNyx§4–4滾動摩阻的概念

例題

4-5WAROFP1.取輪子為研究對象。2.受力分析如圖。例4-6勻質輪子的重量W=10kN，半徑R=0.5m；已知輪子與地面的滾阻系數(shù)δ=0.005m，摩擦因數(shù)fs=0.2，問輪子是先滾還是先滑？通過比較達到臨界滑動和臨界滾動所需的水平力來判斷。解:AOMr,maxFfFNWFP

例題

4-6§4–4滾動摩阻的概念例題

4-6例題

4-63.列平衡方程。討論滑動：臨界時Ff=Fmax=fsFNFP1=Ff=fsFN=fsW

=0.2

×10=2kN討論滾動：臨界時Mr=Mr,max=δFN比較可知先滾動。AOMr,maxFfFNWFP

例題

4-6§4–4滾動摩阻的概念輪子只滾動而不滑動的條件臨界時

FP2≤FP1

FP1=Ff=fsFN=fsW即實際上所以輪子一般先滾動。AOMr,maxFfFNWFP

例題

4-6§4–4滾動摩阻的概念

討論1.向左滾動趨勢。2.向右滾動趨勢。3.滑動趨勢。例4-7勻質輪子的重量W=300N，由半徑R=0.4m和半徑r=0.1m兩個同心圓固連而成。已知輪子與地面的滾阻系數(shù)δ=0.005m，摩擦因數(shù)fs

=0.2，求拉動輪子所需力FP的最小值。輪子可能發(fā)生的三種運動趨勢：解:WArOFPR

例題

4-7§4–4滾動摩阻的概念例題

4-7列平衡方程1.輪不滑動，處于向左滾動的臨界狀態(tài)。WArOFPRMr,maxFFN臨界時

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m負值說明輪不可能有向左滾動的趨勢。

例題

4-7§4–4滾動摩阻的概念列平衡方程WArOFPRMr,maxFFN臨界時

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m2.輪不滑動，處于向右滾動的臨界狀態(tài)。此時滑動摩擦力為

例題

4-7§4–4滾動摩阻的概念輪子向右滾動。此時靜摩擦力達到最大值F=Fmax=fsFN=fsW=60N遠遠大于滾動所需的力FN值。所以拉動輪子的力最小值FN

=5N。3.輪處于滑動的臨界狀態(tài)。WArOFPRMr,maxFFN

例題

4-7§4–4滾動摩阻的概念例4-8制動器的構造和主要尺寸如圖所示。制動塊與鼓輪表面間的摩擦因數(shù)為fs，試求制動鼓輪轉動所必需的力F1。OABCabcRO1rF1G

例題

4-8§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-8O1CFfFNFFO1xFO1y

1.取鼓輪為研究對象，受力分析如圖。解:列平衡方程解方程得OABCabcRO1rF1G

例題

4-8§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題2.取杠桿為研究對象，受力分析如圖。OABCabcRO1rF1GAOF1FOxFOyB

例題

4-8§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題列平衡方程由于補充方程≤解方程可得或≤≤得≤代入式(d)得≤所以≥≤AOF1FOxFOyB

例題

4-8§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例4-9長為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計。今有一重為G的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角α。αlaABG

例題

4-9§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題例題

4-9

以梯子AB為研究對象，人的位置用距離a表示，梯子的受力如圖。解：使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程（a）（b）（c）由式（b）和（c）得yαlaABxFFNAGFNB同時滿足條件（d）≤由式（a）和（d）得≤≤或（e）≤

例題

4-9§4–3

考慮滑動摩擦時的平衡問題因

0≤a≤l，

當a=l

時，式（e）左邊達到最大值。