H第7章 點的復(fù)合運動

第七章點的合成運動簡單運動：點或剛體相對一個定參考系的運動。合成運動：物體相對于不同參考系的運動是不同的， 但各運動之間存在著必然的聯(lián)系。在一定條件下 ，一種運動可以看作其它幾種運動的合成，該運 動稱為合成運動?！?-1相對運動、牽連運動和絕對運動Oxyz——定參考系

絕對運動：動點相對定系的運動

相對運動：動點相對動系的運動

牽連運動：動系相對定系的運動三種運動作為研究對象的運動點稱為動點一、動點、動系和各種運動O’x’y’z’——動參考系xyMAxyMM’A’vavevrvavrve取M

為動點；動系建在作平動的車廂上牽連：車廂的平動絕對：M點沿旋輪線的運動相對：M點繞車軸的圓周運動取M

為動點動系建在作平動的天車上牽連：天車的平動絕對：M點斜向上的運動相對：M點向著天車的直線運動動點在相對運動中的軌跡、速度和加速度，分別稱為相對軌跡、相對速度（vr）、相對加速度（ar）。動點在絕對運動中的軌跡、速度和加速度，分別稱為絕對軌跡、絕對速度（va）、絕對加速度（aa）。二、相對和絕對速度、加速度三、牽連點·牽連速度、加速度牽連運動是指動系的運動，而并非某一點的運動。所以除非動系作平動，否則其上各點的運動都不完全相同。如果想當(dāng)然地講：牽連運動的速度和加速度就是牽連速度和牽連加速度，則在概念上是錯誤的。曲柄搖桿曲柄滑槽偏心輪推桿同樣的牽連運動——轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動，同樣的相對運動——靜止。但他們所具有的速度并不相同。因為他們每個人在轉(zhuǎn)盤上所站的位置并不相同。1、牽連點某瞬時，在動參考系上與動點相重合的那一點。稱為牽連點，又稱瞬時重合點。正確理解牽連點概念需把握的要點：（1）牽連點是動參考系上的點；（2）牽連點具有瞬時性，動點在不同的瞬時有不同的牽連點。2、牽連速度和牽連加速度牽連點的速度和加速度稱為牽連速度（ve）和牽連加速度（ae）。前一瞬時的牽連點下一瞬時的牽連點現(xiàn)在瞬時的牽連點注：牽連速度、加速度是牽連點的絕對速度和絕對加速度。§7-2點的速度合成定理動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。動點的絕對速度可以由牽連速度與相對速度所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來確定，這個平行四邊形稱為速度平行四邊形。MAvavrveMvavevr定理的證明：定系：Ｏxyz，動系：，動點：Ｍ為牽連點導(dǎo)數(shù)上加“～”表示相對導(dǎo)數(shù)。得

點的速度合成定理：動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。B例：車A和車B分別沿著夾角為的兩條直線公路行駛，已知車A的速度是v1

，車B在車A的右岔路，如果A

、B兩車連線始終與速度v1垂直。試求車B的速度和它相對于車A的速度。xyvave=v1vrAv1解：（1）取車B為動點，將動系固結(jié)在車A上。x’y’（2）分析運動絕對運動：車B沿岔路的直線運動相對運動：車B相對車A的直線運動牽連運動：動系隨車A的直線平動（3）分析速度絕對速度va：沿岔路，大小未知相對速度vr：向右，大小未知牽連速度：ve=v1（4）根據(jù)速度合成定理求解根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，由幾何關(guān)系可知：Bvave=v1vr解題步驟：（1）選取動點和動系（2）分析各種運動和速度（大小和方向是否已知}（3）根據(jù)速度合成定理畫速度平行四邊形，求解Mv1ABv2例：礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，站在地面上觀察礦砂運動的速度為v1=4m/s，方向與鉛直線成300的夾角。已知傳送帶B水平傳動速度v2=3m/s

。求礦砂相對于傳送帶B的速度。vrva=v1ve

=v2600M解：以礦砂為動點，動系固定在傳送帶上運動分析（略）速度分析：vavevr大小v1v2×方向OKOK×vrva=v1ve

=v2600M根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，利用余弦定理可得：利用正弦定理可得vr與va間的夾角為：BO1O2CDAvAvevavr例：鉸接四邊形機構(gòu)，已知O1A=O2B=10cm，O1O2=AB，且O1O2處于水平。桿O1A以勻角速度 繞軸O1轉(zhuǎn)動。桿AB上有一套筒，該套筒與CD桿的C端鉸接，機構(gòu)各部位都在同一鉛垂面內(nèi)。求當(dāng)時，導(dǎo)桿CD的速度。解：取套筒C為動點，將動系取在桿AB上運動分析（略）速度分析：vavevr大小×vA×方向OKOKOK根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，BO1O2CDABO1O2CDAvAvevavrvAvevavr由幾何關(guān)系可知：所以桿CD的速度為vCD=0.1m/s解法（二）：取桿AB上的C點為動點，將動系取在桿CD上(或套筒C上）運動分析（略）速度分析：vavevr大小vA××方向OKOKOK所以桿CD的速度為vCD=0.1m/sOO1AB例：刨床的急回機構(gòu)，曲柄的一端A與滑塊用鉸鏈連接，當(dāng)曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊A在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA=r，兩軸間距離OO1=l。求當(dāng)曲柄在水平位置時，搖桿的角速度。OO1ABvavrve解：取滑塊A為動點，以桿O1B為動系(即將動系取在桿O1B上)速度分析：vavevr大小vA××方向OKOKOK根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，討論：能否取桿O1B上的A點為動點、桿OA為動系？急回機構(gòu)OO1ABA’B’前進行程后退行程選取動點、動系的目的和原則：目的：所選的動系應(yīng)能將動點的運動分解成為相對運動和牽連運動。原則：動點和動系不能選在同一物體上；一般應(yīng)使相對運動易于想象，其軌跡為明確的直線或曲線。常見錯誤及原因OABCDEvvavevr錯誤原因：混淆了在各種速度表示中，不同下標的確切含義。ABCDM錯誤原因：牽連速度的概念不清。牽連點是動系（桿ACD）上的M點，該繞A轉(zhuǎn)動，而不是繞C轉(zhuǎn)動。vrveva動點、動系的選取一、機構(gòu)中存在滑塊、銷釘、小環(huán)等滑動構(gòu)件的情況ACDOvACDOvvrveva 一般選滑塊、銷釘、小環(huán)為動點，動系固連于與之發(fā)生相對滑動的構(gòu)件上。vrvavevBAOCDvavevrOO1BAvavrveOABCDEvvevavrBOO1AvavevrOAO1BvevavrABCDMvrvevaOABDCEvvrvaveOABCvDAOBCvvavrvevavevr二、機構(gòu)中兩相對滑動構(gòu)件直接接觸的情況 以其中一構(gòu)件上的接觸點為動點，動系固連于另一構(gòu)件。此時，必須注意使動點的相對運動明確。三、機構(gòu)中兩相對滑動構(gòu)件始終保持相切的情況 以其中的盤狀構(gòu)件的圓心為動點，動系固連于另一構(gòu)件。此時，須明確牽連點的概念。OCABDEvAOO1CBvevrvavavevr四、搖塊機構(gòu)中動點、動系的選取 以主、從動構(gòu)件的鉸接點為動點，動系固連于搖塊。此時，須注意牽連點的位置。OABCvavevrOABCvavevr曲柄搖塊機構(gòu)曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)搖塊機構(gòu)可看作是由導(dǎo)桿機構(gòu)演化而成的O1OABCvavevrOO1ABCvavevrOACBDvvavevrOAO1CBvavevr組合機構(gòu)的運動學(xué)問題求解將兩個或幾個基本機構(gòu)聯(lián)接而成的機構(gòu)，稱為組合機構(gòu)。vBCO2vvO1ABCvavevrvevavr例：圖示平面機構(gòu)，已知曲柄O1A以勻角速度轉(zhuǎn)動，求圖示瞬時搖桿O2C的轉(zhuǎn)動角速度O1ABCO2vavevrvevavr解：（1）取滑塊A為動點，將動系取在槽桿BC上速度分析：vAavAevAr大小OK××方向OKOKOK根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，vO1ABCO2vCevCavCrvAevAavAr可解得vAe于是：v=vAe（2）取滑塊C為動點，將動系取在搖桿O2C上速度分析：vCavCevCr大小v××方向OKOKOK根據(jù)速度合成定理：作速度的平行四邊形，可解得vCe于是：AOO1DABOO1CDvDBO1CvvAavAevArvBavBevBrvAavAevArvBavBevBr例：圖示平面機構(gòu)，已知曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動，求圖示瞬時桿BC的速度具有兩個輸入的運動學(xué)問題求解OAMBCMvOABCMvv1ev1rv2ev2rv1ev1rv2ev2r自由度例自由度的概念自由度：確定系統(tǒng)位置所需要的獨立（最少）參數(shù)的個數(shù)。OABCMvO1ABCO2組成復(fù)雜的機構(gòu)，其自由度不一定多。OAM600bOAM600bOM600bv1ev1rv2ev2r例：圓盤和桿的角速度分別為=9rad/s

，=3rad/s

，b=0.1m；銷子M可在它們的導(dǎo)槽中滑動；求圖示瞬時銷子M的速度v1ev1rv2ev2r解：取銷子為動點，分別以圓盤和桿為動系根據(jù)速度合成定理：可得方程：xy將此方程向x軸投影，可得由此解出：v2r

，所以銷子的速度為v1ev1rv2ev2r§7-3牽連運動是平動時點的加速度合成定理在點的合成運動中，加速度的合成關(guān)系與動系的運動情況有關(guān)。 當(dāng)牽連運動為平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。vavevr證明：所以對求導(dǎo)，得其中：所以AOaaear例：小車沿水平方向向右作勻加速運動，其加速度為a=2.0m/s2

。在小車上有一半徑為

r=0.5m的輪繞軸O勻速轉(zhuǎn)動，角速度為 。圖示瞬時，輪緣上的一點A恰好在輪心O的上方，求此時點A的加速度。aa解：取點A為動點，以小車為動系。作加速度分析：根據(jù)動系平動時點的加速度合成定理aaaear大小×aan方向×OKOK作出加速度合成圖，由幾何關(guān)系得aa

與水平方向夾角為450

。例：凸輪在水平面上向右作減速運動。設(shè)凸輪半徑為R，圖示瞬時的速度和加速度分別為v和a。求桿AB在圖示位置時的加速度。ABCCABCABCCvaRvavrve解：以AB桿上的A點為動點，以平動的凸輪C作動系。（1）先作速度分析根據(jù)速度合成定理：作速度平行四邊形解得：（2）作加速度分析根據(jù)動系平動時點的加速度合成定理：ABCC所以其中n上面方程投影在法向n，得解得：例：已知滑塊在圖示瞬時的速度和加速度，求此瞬時桿上A點的速度和加速度解：動點：桿上A點動系：滑塊運動分析絕對運動：直線運動相對運動：圓周運動牽連運動：直線平移求：絕對速度絕對加速度ABr分析：速度分析：AB加速度分析：BA例：已知圖示瞬時圓盤的角速度

和角加速度

，求桿上A點的速度和加速度解：動點：盤心C

動系：桿運動分析絕對運動：圓周運動相對運動：直線運動牽連運動：直線平移求：牽連速度牽連加速度OAc分析：OAcOAc速度分析：加速度分析：解：動點：桿上B點動系：半圓滑道運動分析絕對運動：圓周運動相對運動：圓周運動牽連運動：曲線平移求：B點的絕對速度絕對加速度例：已知鉛垂搖桿在圖示瞬時的角速度為

，角加速度為

，求此瞬時AB桿的角速度和角加速度AB分析：AB加速度分析：AB速度分析：例：車A和車B分別沿各自的道路勻速行駛，求圖示瞬時,1)

坐在車A上的人觀察到車B的速度和加速度2）坐在車B上的人觀察到車A的速度和加速度。ABo解：1）

動點：車B

動系：車A運動分析絕對運動：圓周運動相對運動：曲線運動牽連運動：直線平移求：相對速度和加速度求相對速度ABo求相對加速度解：2）動點：車A，

動系：車B運動分析絕對運動：直線運動相對運動：曲線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動求：相對速度和加速度ABoABo§7-4動系為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理v1av1ev1rM1v2av2rv2eM2其中由動系的轉(zhuǎn)動與相對運動共同產(chǎn)生牽連運動是轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理科氏加速度 當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。vrac900P是定軸轉(zhuǎn)動剛體上的任意一點證明：因為得令稱為科氏加速度例：已知滑塊以勻速u平動，求圖示位置時，桿的角速度和角加速度解：動點：板上與桿的接觸點B點動系：OA桿運動分析絕對運動：直線運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動求：牽連速度和牽連加速度OBOB速度分析：加速度分析：aa=0其中其中由幾何關(guān)系可得：于是：同時可得：即將上面方程投影與軸：于是：AOBCvvavrve例：在凸輪頂桿機構(gòu)中，凸輪半徑為r，偏心距為e，以等角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，求當(dāng)OC⊥OA瞬時，頂桿AB的速度與加速度。解：取