小波變換和圖像壓縮

MMTYANGZHOUDAXUE物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第八講、小波變換和圖像壓縮第1節(jié)小波變換簡介設(shè)有信號f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：=++Ψ（t）1/2Ψ（2t-t0）2/3Ψ（4t-t1）像Ψ(t)這樣，有限長且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：由一個母小波函數(shù)，通過平移和縮放，可得到一系列函數(shù)，組成一個小波函數(shù)系。其中a為縮放參數(shù)，b為平移參數(shù)。將函數(shù)用一個小波函數(shù)系的線性組合表示就是小波反變換。為Ψ(x)的傅里葉變換。為小波系數(shù)。求得小波系數(shù)的算式就是小波正變換。該式也可以理解為f(x)和Ψa,b(x)內(nèi)積，小波系數(shù)表示二者的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少。小波系數(shù)有a和b兩個自變量，分別代表不同的尺度（時間）和頻率，所以小波分析屬于時頻分析。第2節(jié)離散小波變換（HAAR小波）（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）連續(xù)Haar小波對應(yīng)的離散Haar小波離散小波變換就是做向量的內(nèi)積。例：對（64，2，3，61，60，6，7，57）做Haar小波變換：Haar小波變換第二種做法：Haar小波反變換：Haar小波反變換第二種做法：第3節(jié)圖像小波變換圖像是二維數(shù)據(jù)，所以要分別對行和列做小波變換。行列的順序不影響變換結(jié)果。JPEG2000標(biāo)準(zhǔn)中建議的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。對圖像的小波變換可能有損也可能無損。圖像小波變換除了應(yīng)用在圖像壓縮上，還廣泛用于圖像分析。第4節(jié)EZW編碼（1992）將圖像的小波系數(shù)用樹結(jié)構(gòu)表示。例：8×8小波系數(shù)掃描次序EZW編碼的術(shù)語P：正重要節(jié)點(diǎn)，本節(jié)點(diǎn)絕對值大于閾值，且為正數(shù)。N：負(fù)重要節(jié)點(diǎn)，本節(jié)點(diǎn)絕對值大于閾值，且為負(fù)數(shù)。Z：孤立零，本節(jié)點(diǎn)絕對值小于閾值，但其子節(jié)點(diǎn)中有重要節(jié)點(diǎn)。T：零樹根，本節(jié)點(diǎn)及其所有子節(jié)點(diǎn)絕對值都小于閾值。掃描：按次序掃描各小波系數(shù)，判斷其為何種節(jié)點(diǎn)。第一次掃描編碼結(jié)果：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010EZW編碼舉例：第一次掃描:初始閾值設(shè)為32。得到重要節(jié)點(diǎn)，對零樹根的子節(jié)點(diǎn)不做掃描。對重要節(jié)點(diǎn)編碼。

第二次掃描編碼結(jié)果：NPTTTTTTTTTTTTTTT100110第二次掃描:閾值設(shè)為16。第二遍掃描對第一遍的重要節(jié)點(diǎn)不掃描。對第一第二遍掃描的重要節(jié)點(diǎn)編碼。第三次掃描編碼結(jié)果：PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000第三遍掃描:閾值設(shè)為8。第三遍掃描對之前掃描的重要節(jié)點(diǎn)不掃描。對所有的重要節(jié)點(diǎn)編碼。EZW解碼：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010NPTTTTTTTTTTTTTTT100110PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000原始小波系數(shù)和原始數(shù)據(jù)解碼誤差分析：小波反變換：第一次解碼誤差：小波反變換：根據(jù)第一次掃描結(jié)果解碼第二次解碼誤差：根據(jù)第二次掃描結(jié)果解碼小波反變換：第三次解碼誤差：根據(jù)第三次掃描結(jié)果解碼小波反變換：JPEG2000是一個新的圖像標(biāo)準(zhǔn)，目的是利用當(dāng)前的壓縮技術(shù)，提供一種新的圖像編碼體系。第5節(jié)JPEG2000其中，小波變換采用5/3或9/7小波，編碼采用EBCOT(1999)編碼。JPEG2000的文件采用擴(kuò)展名".j2k"。JPEG2000有兩種編碼模式：基于DCT的編碼模式：基于JPEG。基于小波變換的編碼模式：包括無損和有損變換。JPEG2000有下述優(yōu)點(diǎn)：(1)JPEG2000作為JPEG升級版，其壓縮率比JPEG高30%左右。(2)JPEG2000同時支持有損和無損壓縮。無損壓縮對保存一些重要圖片十分有用。(3)JPEG2000能實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)傳輸。先傳輸圖像的輪廓，然后逐步傳輸數(shù)據(jù)，不斷提高圖像質(zhì)量，讓圖像由朦朧到清晰顯示，而不必是像現(xiàn)在的JPEG一樣，由上到下慢慢顯示。(4)JPEG2000支持“感興趣區(qū)域（ROI，regionofinterest）”特性，可以任意指定影像上感興趣區(qū)域的壓縮質(zhì)量，還可以選擇指定的部份先解壓縮?？梢院芊奖愕耐怀鲋攸c(diǎn)。

漸進(jìn)傳輸實(shí)例：ROI實(shí)例：小結(jié)小波變換屬于時頻分析數(shù)學(xué)工具，不同于單純的時域分析和頻域分析。圖象的小波變換屬于二維離散