傳熱學(xué)第四章 熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

第四章

熱傳導(dǎo)問題

的數(shù)值解法1、重點(diǎn)內(nèi)容：

①掌握穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值解法的基本思路；②利用熱平衡法建立節(jié)點(diǎn)的離散方程。2、掌握內(nèi)容：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的離散方程的建立。

3、了解內(nèi)容：了解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的兩種差分格式及其穩(wěn)定性。

基本要求分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：

?

相同點(diǎn)：根本目的是相同的，即確定①t=f(x，y，z)；②導(dǎo)熱量

。?

不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。?

數(shù)值解法的實(shí)質(zhì)

對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。該方法稱為數(shù)值解法。

這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。

§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想

§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解

§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法以二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例一、問題提出1、對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，可用理論法求解2、若不滿足，二維導(dǎo)熱，如圖

3、二維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程式（a）

此式求理論解困難，邊界復(fù)雜時(shí)則不可能

用數(shù)值法求解

區(qū)域離散化

建立離散方程

求離散點(diǎn)的溫度值

溫度場(chǎng)（分布）

§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想

建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否二、導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題例題條件（a）

如圖（a）所示二維矩形域內(nèi)無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題采用數(shù)值解法的步驟如下：

（1）建立控制方程及定解條件

針對(duì)圖示的導(dǎo)熱問題，它的控制方程（即導(dǎo)熱微分方程）為：

（a）（b）xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、步長(zhǎng)、控制容積（元體）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題（2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）

用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))

，節(jié)點(diǎn)的位置用該節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)方向上的標(biāo)號(hào)m，n表示。

相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的距離稱步長(zhǎng)，△x，△y。如圖(b)所示。xynm(m,n)MN控制容積：節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)域（3）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）

節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。其過程如下：?

首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；?

其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；?

最后，代數(shù)方程組的形成。

對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時(shí)，有：

（b）（4）設(shè)立迭代初場(chǎng)

代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過程中不斷改進(jìn)。（5）求解代數(shù)方程組

求解時(shí)遇到的問題：

①線性；

②非線性；

③收斂性等。如圖（b），除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不再變化；

xynm(m,n)MN2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不斷更新。

3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。（6）解的分析

通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。

§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法這是導(dǎo)熱問題數(shù)值計(jì)算的關(guān)鍵一步。要得出節(jié)點(diǎn)的離散方程，首先要了解該節(jié)點(diǎn)是哪種類型。如圖所示共給出了6種不同的節(jié)點(diǎn)：（1）具有對(duì)流邊界條件的外角頂；（2）具有對(duì)流邊界條件的平直邊界節(jié)點(diǎn)；（3）具有對(duì)流邊界條件和對(duì)稱絕熱角頂；（4）具有絕熱邊界條件的平直邊界節(jié)點(diǎn)；（5）具有對(duì)流邊界條件的內(nèi)角頂；（6）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。1、Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法：2、控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)

能量守恒建立方法一、泰勒級(jí)數(shù)展開法根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m－1,n)的溫度tm-1,n將以上兩式相加可得將上式改寫成的表達(dá)式，有同樣可得：表示未明確寫出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的ΔX的最低階數(shù)為2（4-1a）（4-1b）

根據(jù)導(dǎo)熱問題的控制方程(導(dǎo)熱微分方程)若△x=△y則有

得（4-2）P164（b）在穩(wěn)態(tài)下，流向任何節(jié)點(diǎn)的熱量總和必定為0二、控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：是傅里葉導(dǎo)熱定律和能量守恒定律的體現(xiàn)。對(duì)每個(gè)元體，可用傅里葉導(dǎo)熱定律寫出其能量守恒的表達(dá)式。流入控制體的總熱流量+控制體內(nèi)熱源生成熱=流出控制體的總熱流+控制體內(nèi)能的增量如圖所示，

從節(jié)點(diǎn)(m-1,n)通過界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)(m,n)的熱流量：

同理：通過界面e,n,s

傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)（m,n

）的熱流量也可求得（省略）（垂直紙面方向取單位長(zhǎng)度）其中，規(guī)定：導(dǎo)入元體（m,n

）的熱流量為正；導(dǎo)出元體（m,n

）的熱流量為負(fù)。在未知溫度高低的情況下一律以周圍節(jié)點(diǎn)或流體溫度都高于該節(jié)點(diǎn)溫度來列方程。

對(duì)元體(m,n).根據(jù)能量守恒定律可知：

說明：①上述分析與推導(dǎo)是在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的；②熱平衡法概念清晰，過程簡(jiǎn)捷；③熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。

§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解對(duì)于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟龋蓪⑵湟詳?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對(duì)于第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應(yīng)對(duì)位于該邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源(不必均勻分布)。如圖所示邊界節(jié)點(diǎn)(m,n)只能代表半個(gè)元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw

，該元體具有內(nèi)熱源，據(jù)能量守恒定律對(duì)該元體有：

1.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)（4-4a）（4-4b）(2)外部角頂點(diǎn)如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中(A.B.C.D.E點(diǎn)），該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅代表1/4個(gè)以為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為：

（4-5b）（4-5a）(3)內(nèi)部角點(diǎn)如圖所示內(nèi)部角點(diǎn)F代表了3/4個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下有（4-6b）（4-6a）討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：

（1）絕熱邊界即令上述各式即可。

（2）值不為零流入元體，取正，流出元體，取負(fù)使用上述公式（3）對(duì)流邊界此時(shí)，將此表達(dá)式代入上述各方程，并將此項(xiàng)中的與等號(hào)前的合并。對(duì)于的情形有（4-6b）（a）平直邊界（b）外部角點(diǎn)（c）內(nèi)部角點(diǎn)（4-7）（4-8）（4-9）3.代數(shù)方程的求解方法

2）迭代法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許誤差為止的方法，稱迭代計(jì)算收斂。1）直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。

迭代法目前應(yīng)用較多的是：

1）高斯——賽德爾迭代法：每次迭代計(jì)算，均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。2）用雅可比迭代法：每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。雅可比迭代法高斯——賽德爾迭代法設(shè)有一三元方程組：

其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。采用高斯——賽德爾迭代法的步驟：

（1）將三元方程變形為迭代方程：

（2）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為：并代入迭代方程求得第一次解每次計(jì)算均用最新值代入。

（3）以新的初場(chǎng)重復(fù)計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計(jì)算終止。判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三公式比較好(4-10)說明：

1）對(duì)于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方程式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱迭代過程發(fā)散；2）對(duì)于常物性導(dǎo)熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，結(jié)果一定收斂。這一條件數(shù)學(xué)上稱主對(duì)角線占優(yōu)（對(duì)角占優(yōu)）；

3）采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時(shí)，若每一個(gè)方程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點(diǎn)的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。之所以除以2是因?yàn)?mm寬的電熱帶在該元體上只有一半作業(yè)P1884-9熱傳導(dǎo)內(nèi)容總結(jié)基本概念導(dǎo)熱的定義、機(jī)理、特點(diǎn)熱流量和熱流密度導(dǎo)熱系數(shù)和導(dǎo)溫系數(shù)肋效率、過余溫度定解條件:幾何、物理、時(shí)間、邊界熱阻和接觸熱阻穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特點(diǎn)、畢渥數(shù)和傅立葉數(shù)、集總參數(shù)法控制體積、節(jié)點(diǎn)、步長(zhǎng)定量分析和計(jì)算1、傅立葉定律2、導(dǎo)熱微分方程式熱流密度矢量導(dǎo)熱微分方程式（λ為常數(shù)）非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：

穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源：

穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：（2-9）

（2-10）

（2-11）

一般形式：

（2-8）

（2-7）

導(dǎo)熱微分方程式（λ為變量）3、一維導(dǎo)熱計(jì)算平壁：圓管：肋片的計(jì)算（2-39）

（2-41）（1）肋端溫度

（2）通過肋根的熱流量（肋的散熱量）

（2-40）

4、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算(1)畢渥數(shù)定義：把導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個(gè)無因次的數(shù)。（3-6）

（3-7）

(2)集總參數(shù)法采用集總參數(shù)法的判斷條件（3-10）

其中

，長(zhǎng)圓柱

，大平板

，球體

，平板

，圓柱體

，球體

與

的關(guān)系：數(shù)值計(jì)算的熱平衡法討論橡膠的導(dǎo)熱系數(shù)小于不銹鋼或鋁試用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言說明導(dǎo)熱、對(duì)流換熱及輻射換熱三種熱傳遞方式之間的聯(lián)系和區(qū)別。答：導(dǎo)熱和對(duì)流的區(qū)別在于：物體內(nèi)部依靠微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱量傳遞現(xiàn)象，稱為導(dǎo)熱；對(duì)流則是流體各部分之間發(fā)生宏觀相對(duì)位移及冷熱流體的相互摻混。聯(lián)系是：在發(fā)生對(duì)流換熱的同時(shí)必然伴生有導(dǎo)熱。導(dǎo)熱、對(duì)流這兩種熱量傳遞方式，只有在物質(zhì)存在的條件下才能實(shí)現(xiàn)，而輻射可以在真空中傳播，輻射換熱時(shí)不僅有能量的轉(zhuǎn)移還伴有能量形式的轉(zhuǎn)換。以熱流密度表示的傅立葉定律、牛頓冷卻公式及斯忒藩－玻耳茲曼定律是應(yīng)當(dāng)熟記的傳熱學(xué)公式。試寫出這三個(gè)公式并說明其中每一個(gè)符號(hào)及其意義。導(dǎo)熱系數(shù)、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及傳熱