高二（上學(xué)期）期末考試數(shù)學(xué)試卷

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)高二（上學(xué)期）期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若，則n=（

）A．1 B．8 C．9 D．102．期末考試結(jié)束后，某班要安排節(jié)課進(jìn)行試卷講評(píng)，要求課程表中要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物共六節(jié)課，如果第一節(jié)課只能排語(yǔ)文或數(shù)學(xué)，最后一節(jié)不能排語(yǔ)文，則不同的排法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．一臺(tái)型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8，有4臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是（

）A． B． C． D．4．某市氣象部門根據(jù)2021年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：℃）數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：那么，下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個(gè)D．從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值都呈下降趨勢(shì)5．若，則，，已知，則（

）A． B． C． D．6．為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過(guò)計(jì)算，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有1%的人認(rèn)為該欄目?jī)?yōu)秀；B．有1%的把握認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系；C．有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系；D．沒(méi)有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系.7．若，則的值為．A． B． C． D．8．關(guān)于的二項(xiàng)展開式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為B．的二項(xiàng)展開式的第五項(xiàng)與的二項(xiàng)展開式的第五項(xiàng)相同C．的二項(xiàng)展開式的第三項(xiàng)系數(shù)為D．的二項(xiàng)展開式第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為9．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)3×2×3的長(zhǎng)方體框架，一個(gè)建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為（

）A． B． C． D．10．三棱錐中PA?PB?PC兩兩互相垂直，，，則其體積（

）A．有最大值4 B．有最大值2 C．有最小值2 D．有最小值4二、填空題11．最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則___________.12．某班舉行的聯(lián)歡會(huì)由5個(gè)節(jié)目組成,節(jié)目演出順序要求如下:節(jié)目甲不能排在第一個(gè),并且節(jié)目甲必須和節(jié)目乙相鄰.則該班聯(lián)歡會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有____種.13．若隨機(jī)變量X的概率分布如表，則表中a的值為______.14．設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2，p)，若P(ξ≥1)=，則D(ξ)的值為_________.15．已知等差數(shù)列中，，則和乘積的最大值是______.16．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了5個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為___________.17．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04則該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí)，至少有2人排隊(duì)的概率是_____．18．點(diǎn)A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距離為，則該球的體積為___________.19．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)在線段是否存在點(diǎn)，使得面？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）求二面角的大小.20．四根繩子上共掛有10只氣球,繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,4，每槍只能打破一只球,而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球,則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是________.三、解答題21．已知集合，定義上兩點(diǎn)，的距離.（1）當(dāng)時(shí)，以下命題正確的有__________（不需證明）：①若，，則；②在中，若，則；③在中，若，則;（2）當(dāng)時(shí)，證明中任意三點(diǎn)滿足關(guān)系；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，.求滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于.22．今年4月，教育部辦公廳印發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)義務(wù)教育學(xué)校作業(yè)管理的通知》，規(guī)定初中學(xué)生書面作業(yè)平均完成時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)90分鐘．某市為了更好地貫徹落實(shí)“雙減”工作要求，作教育決策，該市教育科學(xué)研究院就當(dāng)前全市初三學(xué)生每天完成書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)抽樣調(diào)查，結(jié)果是學(xué)生書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）都在區(qū)間內(nèi)，書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖如下：(1)若決策要求：在國(guó)家政策范圍內(nèi)，若當(dāng)前初三學(xué)生書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)估計(jì)值大于或等于平均數(shù)（計(jì)算平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）估計(jì)值，則減少作業(yè)時(shí)長(zhǎng)；若中位數(shù)估計(jì)值小于平均數(shù)，則維持現(xiàn)狀．請(qǐng)問(wèn)：根據(jù)這次調(diào)查，該市應(yīng)該如何決策？(2)調(diào)查統(tǒng)計(jì)時(shí)約定：書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)的為層次學(xué)生，在區(qū)間內(nèi)的為層次學(xué)生，在區(qū)間內(nèi)的為層次學(xué)生，在其它區(qū)間內(nèi)的為層次學(xué)生．現(xiàn)對(duì)書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)在70分鐘以上（含70分鐘）的初三學(xué)生，按作業(yè)時(shí)長(zhǎng)出現(xiàn)的頻率用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)這3人來(lái)自個(gè)不同層次，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．23．國(guó)家文明城市評(píng)審委員會(huì)對(duì)甲?乙兩個(gè)城市是否能入圍“國(guó)家文明城市”進(jìn)行走訪調(diào)查.派出10人的調(diào)查組.先后到甲?乙兩個(gè)城市的街道?社區(qū)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，然后打分（滿分100分）.他們給出甲?乙兩個(gè)城市分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示：(1)請(qǐng)你用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)分析哪個(gè)城市更應(yīng)該入圍“國(guó)家文明城市”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)從甲?乙兩個(gè)城市的打分中各抽取2個(gè)，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分?jǐn)?shù)都小于80分的概率；(3)從對(duì)乙城市的打分中任取2個(gè)，設(shè)這2個(gè)分?jǐn)?shù)中不小于80分的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.參考答案：1．B【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】由得，，又，所以，解得，所以正整數(shù)n為8．故選：B.2．B【分析】對(duì)第一節(jié)課的安排進(jìn)行分類討論，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①若第一節(jié)課安排語(yǔ)文，則后面五節(jié)課的安排無(wú)限制，此時(shí)共有種；②若第一節(jié)課安排數(shù)學(xué)，則語(yǔ)文可安排在中間四節(jié)課中的任何一節(jié)，此時(shí)共有種.綜上所述，不同的排法共有種.故選：B.3．D【詳解】設(shè)在一個(gè)小時(shí)內(nèi)有ξ臺(tái)機(jī)床需要工人照看，則ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝(0.8)4＋(0.8)3×0.2＋(0.8)2×(0.2)2＝0.9728.故選D4．D【分析】利用折線圖可以判斷選項(xiàng)ABC正確，從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】解：由2021年各月的每天最高氣溫平均值和最低氣溫平均值（單位：數(shù)據(jù)，繪制出的折線圖，知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個(gè)，故C正確；在D中，從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯(cuò)誤.故選：D．5．C【分析】由題意，得，再利用原則代入計(jì)算即可.【詳解】∵，由，，∴.故選：C6．C【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理即可求出答案．【詳解】解：∵表示“電視欄目是否優(yōu)秀與改革沒(méi)有關(guān)系”的概率，∴有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本應(yīng)用，準(zhǔn)確的理解判斷方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．D【詳解】分析：令，再求f(-1)的值得解.詳解：令，．故答案為．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理中的系數(shù)求法問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.(2)二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于，，.8．A【分析】利用賦值法求出展開式各項(xiàng)系數(shù)和，即可判斷A，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，即可判斷B、C、D；【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為，故第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故D錯(cuò)誤；第三項(xiàng)的系數(shù)為，故C錯(cuò)誤；的展開式的第五項(xiàng)為，的展開式的第五項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；令則，即的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，故A正確；故選：A9．B【解析】將問(wèn)題抽象成“向左三次，向前兩次，向上三次”，計(jì)算出總的方法數(shù)，然后利用插空法計(jì)算出最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從的方向看，行走方向有三個(gè)：左、前、上.從到的最近的行走線路，需要向左三次，向前兩次，向上三次，共次.所以從到的最近的行走線路，總的方法數(shù)有種.不連續(xù)向上攀登的安排方法是：先將向左、向前的安排好，再對(duì)向上的方法進(jìn)行插空.故方法數(shù)有：.所以最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查有重復(fù)的排列組合問(wèn)題，考查插空法，屬于中檔題.10．B【分析】依題意可得再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B11．65【分析】由最小二乘法得到的線性回歸方程過(guò)點(diǎn)，代入即可解決【詳解】由可知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，又線性回歸方程過(guò)點(diǎn)，所以，故故答案為：6512．42【分析】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個(gè)，再根據(jù)甲、乙相鄰，分別計(jì)算.【詳解】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個(gè)，當(dāng)甲排在第二、三、四個(gè)時(shí)，甲乙相鄰，有種排法，將甲乙當(dāng)做一個(gè)整體，剩下三個(gè)節(jié)目全排列，共3××=36種當(dāng)甲排在第五個(gè)時(shí)，甲乙相鄰，只有一種排法，剩下三個(gè)節(jié)目全排列，共=6種綜上，編排方案共36+6=42種【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，分類時(shí)要注意不重不漏；解決排列問(wèn)題時(shí)，相鄰問(wèn)題常用捆綁法，特殊位置要優(yōu)先考慮.13．0.2【解析】利用概率和為1可求出答案.【詳解】由隨機(jī)變量X的概率分布表得：，解得.故答案為：0.2【點(diǎn)睛】本題考查的是分布列的性質(zhì)，較簡(jiǎn)單.14．【分析】由二項(xiàng)分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~B(2，p)，且P(ξ≥1)=，所以P(ξ≥1)===.解得：.所以D(ξ).故答案為：15．9【分析】設(shè)出公差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，表示出，再列式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，可得，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)d=0，即時(shí)，取得最大值.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.16．##0.04608【分析】認(rèn)真分析該選手所有可能的答題情況，是本題的關(guān)鍵【詳解】由該選手恰好回答了5個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，說(shuō)明他第4、第5兩個(gè)問(wèn)題是連續(xù)答對(duì)的，第3個(gè)問(wèn)題沒(méi)有答對(duì)，第1和第2兩個(gè)問(wèn)題也沒(méi)有全部答對(duì)，即他答題結(jié)果可能有三種情況：或或，根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為故答案為：0.0460817．0.74【詳解】試題分析：表示人數(shù)，.考點(diǎn)：互斥事件的概率.18．【分析】根據(jù)截面圓性質(zhì)，先求出截面圓半徑，然后由求得球半徑，從而求得體積．【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以三角形外接圓半徑，又球心O到截面的距離為，所以球的半徑為．球體積為．故答案為：．19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得，然后由面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)果；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，利用中位線定理可得，進(jìn)而得出面；（Ⅲ）利用二面角的定義先確定是二面角的平面角，易求得，從而求得二面角的平面角為的度數(shù)．試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．（Ⅱ）?dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，有面，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槊妫?，所以?（Ⅲ）因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，所以面，所以面，所以，，所以是二面角的平面角，易得，所以二面角的平面角?5°.考點(diǎn)：1、線面垂直的判定；2、線面平行的判定；2、二面角．【方法點(diǎn)睛】立體幾何中的探索性問(wèn)題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性問(wèn)題的探究．解決這類問(wèn)題時(shí)一般根據(jù)探索性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在假設(shè)下進(jìn)行推理，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)．20．12600【詳解】問(wèn)題等價(jià)于編號(hào)為的10個(gè)小球排列，其中號(hào)，號(hào)，號(hào)的排列順序是固定的，據(jù)此可得：將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.21．（1）①；（2）證明見解析；（3），證明見解析．【解析】（1）①根據(jù)新定義直接計(jì)算．②根據(jù)新定義，寫出等式兩邊的表達(dá)式，觀察它們是否相同，即可判斷；③由新定義寫出等式的表達(dá)式，觀察有無(wú)；（2）由新定義，寫出不等式兩邊的表達(dá)式，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)證明；（3）根據(jù)新定義，及絕對(duì)值的性質(zhì)得點(diǎn)是以為對(duì)角線的正方體的表面和內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，把它們分布在五個(gè)平面上，這五個(gè)面一個(gè)面取3個(gè)點(diǎn)，相鄰面上取一個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)構(gòu)成三棱錐（能構(gòu)成時(shí)），棱錐的體積不超過(guò)，然后任取11點(diǎn)中如果沒(méi)有4點(diǎn)共面，但至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)．根據(jù)這3點(diǎn)所在平面分類討論可得．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，①若，，則，①正確；②在中，若，則，設(shè)，所以而，，但不一定成立，②錯(cuò)誤；③在中，若，在②中的點(diǎn)坐標(biāo)，有，但不一定成立，因此不一定成立，從而不一定成立，③錯(cuò)誤．空格處填①（2）證明：設(shè)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)有，，所以．,（3），，所以，當(dāng)且僅當(dāng)以上三個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，又由已知，∴，又，∴，，點(diǎn)是以為對(duì)角線的正方體內(nèi)部（含面上）的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，．這125個(gè)點(diǎn)在這五面內(nèi)．這三個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)面上取不共線的3點(diǎn)，相鄰面上再取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．則這個(gè)三棱錐的體積最大為，現(xiàn)在任取11個(gè)點(diǎn)，若有四點(diǎn)共面，則命題已成立，若其中無(wú)4點(diǎn)共面，但11個(gè)點(diǎn)分在5個(gè)平面上至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)（顯然不共線），若這三點(diǎn)在這三個(gè)平面中的一個(gè)上，與這個(gè)面相鄰的兩個(gè)面上如果有一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與平面上的三點(diǎn)這四點(diǎn)可構(gòu)成三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，其體積不超過(guò)，否則還有8個(gè)點(diǎn)在平面和上，不合題意，若這三個(gè)點(diǎn)在平面或上，不妨設(shè)在平面，若在平面在一個(gè)點(diǎn)，則同樣四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過(guò)，否則剩下的8個(gè)點(diǎn)在三個(gè)平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一種分布都有四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過(guò)，綜上，任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題新定義距離，解題關(guān)鍵是利用新定義轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的性質(zhì)解決一些問(wèn)題．本題還考查了抽屜原理，11個(gè)放在5個(gè)平面上，至少有一個(gè)平面內(nèi)至少有3點(diǎn)，由此分類討論可證明結(jié)論成立．22．(1)該市應(yīng)該作出減少作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的決策；(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合頻率