正四面體與正方體的相關(guān)問題歸納

多面體題根解正方體一、正方體高考十年二、正四面體與正方體三、正方體成為十年大難題四、解正方體五、解正四面體1一、正方體高考十年十年來，立體幾何的考題一般呈“一小一大”的形式.分數(shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一.立幾題的難度一般在0.55左右，屬中檔考題，是廣大考生“上線競爭”時勢在必奪的“成敗線”或“生死線”.十年的立幾高考，考的都是多面體.其中：（1）直接考正方體的題目占了三分之一；（2）間接考正方體的題目也占了三分之一.因此有人說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題.正四面體與正方體例話2解析外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕不能是它的(C)約6倍或(D)約9倍，否定(C)，(D)；也不可能與其近似相等，否定(A)，正確答案只能是(B).（1995年）正方體的全面積為a2，則其外接球的表面積為考題1（正方體與其外接球）3考題2（正方體中的線面關(guān)系）小問題很多，但都不難.熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱AD與后側(cè)面垂直就夠了.說明（1997年）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．（1）證明AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED⊥面A1FD1；（4）設AA1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積.

4考題3（正方體的側(cè)面展開圖）考查空間想象能力.如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題①、②為假，而命題③、④為真，答案是C.解析（2001年）右圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（A）①②③ （B）②④（C）③④ （D）②③④5（2002年）在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是考題4（正方體中主要線段的關(guān)系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故選（A）.解析6（2003年）棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為考題5（正方體與正八面體）解析將正八面體一分為二，得2個正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的，再乘得.答案選C.7考題6（正方體中的三角形）解析在正方體上任選3個頂點連成三角形可得個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線)，共有24個，得，所以選C.

8在三棱錐O—ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的正弦值是考題72006年四川卷第13題——正方體的一“角”如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求證：MN∥面ADD1A1；（2）求二面角P—AE—D的大??；（3）求三棱錐P—DEN的體積.考題82006年四川卷第19題——兩正方體的“并”P9如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m.(Ⅰ)試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3；(Ⅱ)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論.分析：熟悉正方體對角面和對角線的考生，對第(Ⅰ)問，可心算出結(jié)果為m=1/3；對第(Ⅱ)問，可猜出這個Q點在O1點.可是由于對正方體熟悉不多，因此第(Ⅰ)小題成了大題，第(Ⅱ)小題成了大難題.考題9（2006年湖北卷第18題）10

考題10（2006年安徽卷第16題）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上結(jié)論正確的為______________.（寫出所有正確結(jié)論的編號）11二、正四面體與正方體從“正方體高考十年”和“全國熱炒正方體”中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位.在實踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來.我們認定了正方體是多面體的“根基”.我們在思考：（1）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？正四面體與正方體例話12考題1（正四面體化作正方體解）說明本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個小題目了，而是有相當計算量的大題.此時的解法也就淪為拙解.13拙解——硬碰正四面體14聯(lián)想——、、的關(guān)系正四面體的棱長為，這個正四面體豈不是由棱長為1的正方體的6條“面對角線”圍成？則三棱錐B—A1C1D是棱長為的正四面體.于是正四面體問題可化歸為對應的正方體解決.為此，在棱長為1的正方體B—D1中，（1）過同一頂點B作3條面對角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點A1，C1，D依次首尾連結(jié).A1C1DBACA1B1D1C1DB15妙解——從正方體中變出正四面體以長為面對角線，可得邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，這個正方體的體對角線長為，則其外接球的半徑為，則其外接球的表面積為S=4πR2==4π()2＝3π以

為棱長的正四方體B-A1C1D與以1為棱長的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3π.答案為A.16尋根——正方體割出三棱錐在正方體中割出一個內(nèi)接正四面體后，還“余下”4個正三棱錐.每個正三棱錐的體積均為1/6，故內(nèi)接正四面體的體積為1/3.這5個四面體都與正方體“內(nèi)接”而“共球”.事實上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有

-12=58個.至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.17按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在0.4到0.7之間.所以，十年來立幾考題——哪怕是解答題也沒有出現(xiàn)在壓軸題中.從題序上看，立幾大題在6個大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分.然而，不知是因為是考生疏忽，還是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為十年大難題正四面體與正方體例話18命題——將正方體一分為二2003年全國卷第18題，天津卷第18題，河南卷第19題等，是當年數(shù)學卷的大難題.

其難度，超過了當年的壓軸題.在命題人看來，其載體是將正方體沿著對角面一分為二，得到了一個再簡單不過的直三棱柱.圖中的點E正是正方體的中心.19考題如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.側(cè)棱AA1＝２，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(Ⅰ)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(Ⅱ)求點A1到平面AED的距離.20解析（轉(zhuǎn)下頁）考場反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時無法作輔助線.21（轉(zhuǎn)下頁）解析（續(xù)上）考場反饋：按出題人給出的這種解析，無法在原圖上顯示.22解析（續(xù)上）（解畢）閱卷人說：在見到的答卷中，幾乎沒有看到這種“標準答案”.23難點突破：斜二測改圖法，把問題轉(zhuǎn)到正方體中.本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的畫法不標準！24難題（0318）的題圖探究正方體立體圖常見的畫法有兩種：（1）斜二測法（圖右）此法的缺點：A1、B、C三點“共線”導致“三線”重合（2）正等測法（圖右）此法的缺點：A、C、C1、A1“共線”導致“五線”重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對角面置于正前面.25四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個“簡單的正方體”看得太簡單.像數(shù)學中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越簡單的東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東西就越多.我們既然認定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很“簡單”的時候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄個清楚明白！正四面體與正方體例話26正方體，（）個面，線面距轉(zhuǎn)（）面距，（）個頂點（）棱。尋找（）要根據(jù)。頂點連線（）條，異面直線求距離，一頂（）線來相交。確定（）是難題。三頂確定三角形，正方體，是個寶，要求三頂不共（）。各種關(guān)系藏得巧。四頂確定四面體，正四面體（）條棱，要求四頂不共（）。選自6面（）線；三種線段結(jié)數(shù)緣，正八面體（）個頂，根1、根2和（）。6面（）對得準。6812287線面點射影垂足6對角6中心根3關(guān)于正方體你已經(jīng)知道了多少？關(guān)于正方體還有許多許多！例如，8個頂點中，4頂共面的有（）個，4頂異面的（）個。正是4頂異面的個數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個數(shù)。27五、解正四面體統(tǒng)計十年的高考立幾題，除直接考“解正方體”的題目比重最大以外，接下來的就是“解正四面體”的題目了.其實，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)上是正方體的“演生體”，通俗地說：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考“正四面體”中，凡是就“兒子解兒子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解兒子”的辦法都是妙法！正四面體與正方體例話28正四面體棱長設作1，則對應的正方體棱長為①底面正三角形高為（）；②底面正三角形的外半徑為（）；③正三角形的內(nèi)半徑為（）；④正四面體的斜高為（）；⑤斜高在底面上的射影為（）；⑥斜面與底面成角余弦值（）；⑦正四面體高為（）；⑧外接球半徑為（）；⑨內(nèi)切球半徑為（）.一句話小結(jié)正四面體與正方體的對應量只相差一個系數(shù)：（或）29

（2006年湘卷理9）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該