高中數(shù)學(xué) 3.1《空間向量及其運(yùn)算》五 新人教A選修21

3.1.4

空間向量的坐標(biāo)表示.提問(wèn):

我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,平面上任意一點(diǎn)的位置都有唯一的坐標(biāo)來(lái)表示.

那空間中任意一點(diǎn)的位置怎樣用坐標(biāo)來(lái)表示?.墻墻地面

下圖是一個(gè)房間的示意圖,我們來(lái)探討表示電燈位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)一、空間直角坐標(biāo)系.oxyz

從空間某一個(gè)定點(diǎn)０引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系０－xyz．

點(diǎn)Ｏ叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和Zox平面．.oxyz

在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．說(shuō)明:

☆我們一般建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系..空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法:oxyz1.X軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸（或z軸）的單位長(zhǎng)度的一半．.

有了空間直角坐標(biāo)系，那空間中的任意一點(diǎn)Ａ怎樣來(lái)表示它的坐標(biāo)呢？oxyzＡabc(a,b,c)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于三點(diǎn)，三點(diǎn)在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)a,b,c組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b,c)叫做點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)記為：Ａ（a,b,c).在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)（５,４,６）.例１分析：oxyzＯ從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)５個(gè)單位Ｐ1Ｐ1沿與y軸平行的方向向右移動(dòng)４個(gè)單位Ｐ2Ｐ2沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)６個(gè)單位ＰＰ（５,４,６）Ｐ１５Ｐ2４６.例２．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A`B`C`D`的邊長(zhǎng)為AB=12,AD=8,AA`=5.以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)Ａ為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB,AD,AA`分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．xyzAOA`BB`CC`DD`.

在空間直角坐標(biāo)系中,x軸上的點(diǎn)、xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？１．x軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)就是與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都是０．２．xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的豎坐標(biāo)為０，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別是點(diǎn)向兩軸作垂線交點(diǎn)的坐標(biāo)．.單位正交基底：

如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且大小都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用來(lái)表示.因此我們可以類似平面直角坐標(biāo)系,建立空間直角坐標(biāo)系.

在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O—xyz.x

軸、y

軸、z軸，都叫做叫做坐標(biāo)軸,點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面.xyzOkij

對(duì)空間任一向量,由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使空間直角坐標(biāo)系.

在空間直角坐標(biāo)系O–x

y

z

中，對(duì)空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標(biāo)，就是點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).xyzOA(x,y,z)ijk

也就是說(shuō),以O(shè)為起點(diǎn)的有向線段(向量)的坐標(biāo)可以和點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.

我們說(shuō),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z),記作A(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)..空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)規(guī)律:,則設(shè).練習(xí)1:已知

求解:.結(jié)論：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)

空間一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

如果知道有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo),那么有向線段表示的向量坐標(biāo)怎樣求?

空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷空間