第五章-擴(kuò)散動力學(xué)簡介-Nov-29-2010

第五章、擴(kuò)散動力學(xué)簡介1.菲克定律2.各種擴(kuò)散系數(shù)3.擴(kuò)散系數(shù)的測定方法4.擴(kuò)散機(jī)制5.擴(kuò)散系數(shù)的第一性原理計(jì)算6.獲得擴(kuò)散系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)方法7.擴(kuò)散系數(shù)的DICTRA模擬內(nèi)容菲克第一定律：(，穩(wěn)態(tài)）菲克第二定律：（，非穩(wěn)態(tài)）

J:某一種物質(zhì)的擴(kuò)散通量;c:物質(zhì)的濃度;“—”表示通量的方向與濃度梯度的方向相反。（假設(shè)D與濃度無關(guān)）1.菲克定律2.各種擴(kuò)散系數(shù)1.自擴(kuò)散系數(shù)2.雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)3.本征擴(kuò)散系數(shù)4.化學(xué)擴(kuò)散系數(shù)各種擴(kuò)散系數(shù)介紹示意圖2.1自擴(kuò)散系數(shù)

純金屬元素中的自擴(kuò)散（如圖7a中所示）f:相關(guān)因子，數(shù)值上與晶體結(jié)構(gòu)和擴(kuò)散機(jī)制有關(guān)；

l:原子的跳躍跨度；:晶體中原子在某一位置停留的時間。示蹤自擴(kuò)散系數(shù)(tracerself-diffusion):

元素在固溶體合金相中的自擴(kuò)散(dilutesolution)（如圖7c中所示）自擴(kuò)散系數(shù)(self-diffusion):

在A元素的固體中研究A原子的擴(kuò)散

自擴(kuò)散系數(shù)可通過測量放射性同位素示蹤原子濃度獲得2.2雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)(Impuritydiffusioncoefficient)在B為溶質(zhì)，A為溶劑的溶液中，當(dāng)B濃度非常小時，測量B在純金屬A中擴(kuò)散系數(shù)，稱之為雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)，用表示。如圖7b.2.3化學(xué)擴(kuò)散系數(shù)(相互擴(kuò)散系數(shù))

Chemicaldiffusioncoefficient

化學(xué)擴(kuò)散系數(shù):存在化學(xué)濃度梯度時測定的擴(kuò)散系數(shù),可以表示為

可以由成分-擴(kuò)散厚度曲線推算出來

通常與成分相關(guān)2.4本征擴(kuò)散系數(shù)(intrinsicdiffusioncoefficient)AB合金中的本征擴(kuò)散系數(shù)（組元擴(kuò)散系數(shù)）DA和DB描述了A和B兩種物質(zhì)相對于點(diǎn)陣平面的擴(kuò)散由于A和B的擴(kuò)散系數(shù)不同,因而存在著原子通過點(diǎn)陣平面的凈流量如果點(diǎn)陣位置數(shù)是守恒的,那么點(diǎn)陣平面將沿著樣品中某個固定的軸運(yùn)動,以彌補(bǔ)原子通過點(diǎn)陣平面的不相等的流量，同時點(diǎn)陣位置將在擴(kuò)散帶一側(cè)產(chǎn)生而在另一側(cè)消失點(diǎn)陣位置的產(chǎn)生與消失是通過點(diǎn)缺陷(如空位，間隙原子)的形成與消失來實(shí)現(xiàn)的；點(diǎn)陣平面相對于樣品中某個固定的軸的偏移:

柯肯達(dá)爾效應(yīng).2.4本征擴(kuò)散系數(shù)柯肯達(dá)爾效應(yīng)JA

和JB表示A，B物質(zhì)的擴(kuò)散通量；JM是導(dǎo)致柯肯達(dá)爾偏移l的凈余通量。由于DA>DB,在A側(cè)將產(chǎn)生小孔。在柯肯達(dá)爾效應(yīng)中經(jīng)?？梢杂^察到試樣尺寸的變化2.4本征擴(kuò)散系數(shù)

化學(xué)擴(kuò)散系數(shù)與本征擴(kuò)散系數(shù)之間的相互關(guān)系(不存在凈體積變化)

(存在著凈體積變化)AB二元均相合金中本征擴(kuò)散與自擴(kuò)散系數(shù)之間的關(guān)系(熱力學(xué)因子)=1+lni/lnxi

(rA,rB

表示所謂的空位流因子(vacancywindfactor)3擴(kuò)散系數(shù)的測定方法

直接方法(基于菲克定律)穩(wěn)態(tài)方法非穩(wěn)態(tài)方法

間接方法基于菲克第一定律基于菲克第二定律馳豫方法核分析方法薄層方法擴(kuò)散偶方法(需要測定成分分布)擴(kuò)散偶方法(無需測定成分分布)進(jìn)-出擴(kuò)散方法其他顯微方法測定擴(kuò)散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)方法a)直接測定成分分布b)Residual活度測定c)表面活度遞減測定

a)X射線衍射分析b)電阻分析樣品截面分析盧瑟福背散射電子探針分析核反應(yīng)分析馳豫方法核分析方法NMR

核磁共振譜法Snoek效應(yīng)Gorski效應(yīng)Zener效應(yīng)MBS

穆斯堡爾譜法QENS

準(zhǔn)彈性中子散射測定擴(kuò)散系數(shù)的間接方法

薄層方法通常用于放射性示蹤原子試驗(yàn)中，其中最常用的方法是直接測定成分分布來推算擴(kuò)散系數(shù)D

3.1薄層方法（1）

同位素95Zr通過電化學(xué)沉積涂敷在alpha(Zr)單晶表面

然后分別在不同溫度下擴(kuò)散（退火）不同時間并測量退火后的濃度

繪制ln(濃度)與滲透距離平方的關(guān)系曲線，曲線的斜率相當(dāng)于–1/(4Dt).實(shí)例：通過放射性示蹤劑方法獲得擴(kuò)散系數(shù)3.1薄層方法兩塊金屬或合金通過一個界面緊密接觸,通過這個界面發(fā)生相互擴(kuò)散,發(fā)生擴(kuò)散后得到一個成分漸變的擴(kuò)散層.二元固－固擴(kuò)散偶根據(jù)需要也可以制備三元擴(kuò)散偶，固－液擴(kuò)散偶，固－氣擴(kuò)散偶3.2擴(kuò)散偶方法由擴(kuò)散后獲得的成分分布，可以確定擴(kuò)散系數(shù)

Boltzmann-Matano方法Sauer與Freise方法不需要測定成分分布曲線的方法X射線衍射分析電阻分析方法Boltzmann-Matano方法計(jì)算的基礎(chǔ)Matano平面的確定若?與成分無關(guān),則Matano平面同界面的初始位置重合.若?與成分相關(guān),則不是這樣.3.2擴(kuò)散偶方法Sauer與Freise方法不需要確定Matano平面的位置y為歸一化成分

相互擴(kuò)散時摩爾體積不改變3.2擴(kuò)散偶方法若在成分范圍c1,c2之間,

基本上不變化，則?

相互擴(kuò)散時摩爾體積改變3.2擴(kuò)散偶方法

將細(xì)導(dǎo)線（直徑約0.1cm）放置在一層溶質(zhì)金屬(約10-4cm)上，測定在恒定的退火溫度下導(dǎo)線的電阻隨時間的關(guān)系可以用來推算擴(kuò)散系數(shù)

比較實(shí)驗(yàn)值與固有的理論表達(dá)式之間的關(guān)系，可以推算D值。S.Ceresaraetal.,Phys.StatusSolidi,16(1966)439.AtheoreticalexpressionbasedonFick'ssecondlaw電阻方法3.2擴(kuò)散偶方法

X射線衍射分析原理:測定擴(kuò)散物質(zhì)表面成分的遞減在約2*10-2cm厚的薄膜上沉積一層約10-5cm的物質(zhì)，擴(kuò)散物質(zhì)的濃度可以由X衍射分析得出，用X射線線位置的偏移來確定成分，成分大概在1％至3％之間變化。這種方法確定的擴(kuò)散系數(shù)非常類似于雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)。3.2擴(kuò)散偶方法Snoek效應(yīng):

在體心立方金屬中的間隙位置(八面體或四面體)具有四方對稱性。間隙位置填充的C,N,O原子可以引起馳豫現(xiàn)象，這就是所謂的Snoek效應(yīng)。3.3馳豫方法Gorski效應(yīng):

任何外來的原子在溶劑中都會產(chǎn)生點(diǎn)陣膨脹(latticedilatation)

diffusion:宏觀應(yīng)力梯度而導(dǎo)致滯彈性松弛(anelasticrelaxation)

只有擴(kuò)散系數(shù)足夠大的情況下，才能夠觀測到Gorski效應(yīng)。

到目前為止，Gorski效應(yīng)只用于氫原子在金屬中的擴(kuò)散研究。

3.3馳豫方法Zener效應(yīng):在替換型AB合金中，溶質(zhì)－溶劑原子對在外加應(yīng)力的影響下發(fā)生重排，從而引起滯彈性松弛重新排布動力學(xué)跳躍頻率（JumpFrequency）擴(kuò)散系數(shù)

3.3馳豫方法(a)NMR(核磁共振譜法)3.4核分析方法Nuclearmagneticrelaxationtime(b)MBS(穆斯堡爾譜法)

圖23(a)：多晶樣品中-Fe與-Fe自擴(kuò)散的穆斯堡爾譜穆斯堡爾源是室溫時Rh中的57Co線寬隨著溫度增加而增加，這是因?yàn)镕e原子的擴(kuò)散。3.4核分析方法圖23(b)鐵的自擴(kuò)散系數(shù)由圖23(a)中穆斯堡爾試驗(yàn)數(shù)據(jù)推算而來。圓圈代表穆斯堡爾譜的試驗(yàn)結(jié)果直線給出了示蹤法測定的數(shù)據(jù)以便比較.(b)MBS(穆斯堡爾譜法)

3.4核分析方法365.7K下測定的鈉單晶的準(zhǔn)彈性中子散射譜虛線表示中子散射方程對應(yīng)的曲線圓圈代表實(shí)測的數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于鈉原子的擴(kuò)散運(yùn)動，實(shí)測的線條發(fā)生寬化(c)QENS準(zhǔn)彈性中子散射3.4核分析方法測定方法范圍說明直接方法電子探針顯微分析用于研究宏觀擴(kuò)散樣品中的相互擴(kuò)散盧瑟福背反射主要應(yīng)用于輕元素基體中重元素的擴(kuò)散分析核反應(yīng)分析適于某些輕核子電阻分析接近于雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)X射線分析接近于雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)間接方法

Gorskieffect到目前為止只用于金屬中氫的擴(kuò)散核磁共振譜法尤其適于故態(tài)或液態(tài)金屬中自擴(kuò)散的測定穆斯堡爾譜法57Fe,119Sn,151Eu,161Dy準(zhǔn)彈性中子散射Na自擴(kuò)散和金屬中的氫擴(kuò)散各種測定擴(kuò)散系數(shù)方法的范圍比較Tracer

放射性示蹤原子方法SIMS

次離子質(zhì)量譜分析AES

俄歇電子譜分析

EMPA

電子探針顯微分析AE

機(jī)械或磁滯效應(yīng)IF

內(nèi)損耗Gorski

Gorski效應(yīng)

NMR

核磁共振MBS

穆斯堡爾譜法QENS

準(zhǔn)彈性中子散射各種測定擴(kuò)散系數(shù)方法的范圍比較(直接)填隙機(jī)制對于氫，碳，氮，氧等微小雜質(zhì)原子在金屬中擴(kuò)散的情況而言直接交換和環(huán)形機(jī)制這種機(jī)制目前還沒有相應(yīng)的實(shí)例，是一種理論機(jī)制空位機(jī)制雙空位機(jī)制推填子機(jī)制填隙-替換機(jī)制4.擴(kuò)散機(jī)制4.1(直接)填隙機(jī)制

*C,N,O,andH

*(直接)填隙機(jī)制中所溶解的填隙原子的運(yùn)動不包括材料本身點(diǎn)缺陷(如，空位，雙空位，自填隙原子）作為載體的運(yùn)動*直接填隙機(jī)制的擴(kuò)散速度比替換原子擴(kuò)散的速度更快4.2直接交換和環(huán)形機(jī)制

此類擴(kuò)散機(jī)制產(chǎn)生時所需的能量可能較高，所以目前還沒有發(fā)現(xiàn)有關(guān)此擴(kuò)散機(jī)制的實(shí)際現(xiàn)象。4.3-4空位機(jī)制

空位機(jī)制很容易在合金和金屬的擴(kuò)散中觀察到?？瘴缓腿芙獾耐鈦碇脫Q原子之間的相互作用和外來原子的擴(kuò)散系數(shù)相關(guān)。相互作用吸引力越大，則擴(kuò)散系數(shù)越大；相互作用排斥越明顯，則擴(kuò)散系數(shù)越小。4.4推填子機(jī)制圖a中，點(diǎn)陣中存在一個自填隙原子(空心圓)和一個外來原子(實(shí)心圓)。外來原子落在晶格點(diǎn)陣位置上；圖b中，自填隙原子將外來原子擠出點(diǎn)陣晶格，外來原子成為了一個填隙原子，原來的自填隙原子通過占據(jù)點(diǎn)陣位置而消失；圖c中，外來填隙原子繼續(xù)與另外一個點(diǎn)陣晶格上的原子作用，將其中的某個點(diǎn)陣晶格中的原子擠出，使其變?yōu)樽蕴钕对印?.5填隙-替換機(jī)制此機(jī)制分為兩種離解機(jī)制(Frank-Turnbull機(jī)制或Longini機(jī)制)Kick-out機(jī)制5.自擴(kuò)散系數(shù)的第一性原理計(jì)算中南大學(xué)粉末冶金國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室材料設(shè)計(jì)與應(yīng)用研究中心軟件：VASP,ATAT,MATLAB趙冬冬、杜勇目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果自擴(kuò)散系數(shù)通過下式來描述：自擴(kuò)散系數(shù)關(guān)聯(lián)因子(對fcc體系為,0.7815)晶格常數(shù)(全弛豫和E-V曲線擬合)空位濃度振動頻率空位振動熵空位形成焓空位遷移熵空位遷移焓有效頻率因子有效頻率1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果2.簡諧近似及空位振動熵簡諧近似Harmonicapproximation簡諧近似描述的亥姆霍茲自由能如下：對應(yīng)的焓和熵如下：基于此近似計(jì)算空位振動熵：含有1個空位和31個Al原子的體系的振動熵不含空位的32個Al原子體系的振動熵空位振動熵目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果將被剔除的Al原子Al原子被剔除后空位形成焓計(jì)算公式108個Al原子107個Al原子和一個空位3.空位形成焓含有1個空位和31個Al原子的體系的結(jié)合能不含有空位的32個Al原子體系的結(jié)合能空位形成焓目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果4.有效頻率與振動頻率振動頻率的定義：上式中v*為有效頻率，w為振動頻率.由過渡態(tài)理論TST(TransitionStateTheory):

使用上式,v*可以通過Γ-點(diǎn)的振動頻率計(jì)算得到.由于篇幅原因，這里我們不再計(jì)算遷移熵和有效頻率因子，二者的計(jì)算可以使用double-wellapproach來實(shí)現(xiàn)！目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)NEB(NudgedElasticmethod)是計(jì)算能量最小路徑(MEP,minimumenergypath)的一種方法，使用此方法可以準(zhǔn)確計(jì)算得到始態(tài)與過度態(tài)之間的能量差值.以下是使用該方法計(jì)算得到的遷移焓：圖1.Al的空位遷移焓(GGA-PW91)圖2.Al的空位遷移焓(LDA)目錄:2.簡諧近似及空位振動熵1.自擴(kuò)散系數(shù)的描述3.空位形成焓4.有效頻率與振動頻率5.遷移焓及NEB(NudgedElasticmethod)6.結(jié)果圖1.純Al,單空位Al以及過渡態(tài)的三種不同構(gòu)型的聲子態(tài)密度(GGA-91)圖2.純Al,單空位Al以及過渡態(tài)的三種不同構(gòu)型的聲子態(tài)密度(LDA)圖3.空位振動熵隨溫度的變化(GGA-91)圖4.空位振動熵隨溫度的變化(LDA)簡諧近似晶格振動結(jié)果第一性原理Al自擴(kuò)散系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值比較(GGA-PW91)第一性原理Al自擴(kuò)散系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值比較(LDA)6.擴(kuò)散系數(shù)結(jié)果StudiesPresentworkPresentworkD0(m2/s)Q(eV)GGA15.314×10-61.2604LDA8.9222×10-61.2816Exp.(3.5,13.7,171,10,17.6)×10-61.25,1.28,1.48,1.33,1.31參考文獻(xiàn)：[1]M.Mantinaetal.,ActaMaterialia(2009).[2]M.Mantinaetal.,PHYSICALREVIEWLETTERS100(2008).[3]A.VanderVen,andG.Ceder,PHYSICALREVIEWLETTERS94(2005).[4]AntonVanderVenetal.,ProgressinMaterialsScience55,61(2010).[5]KarinCarling,andG.Wahnstr?m,PHYSICALREVIEWLETTERS85(2000).[6]DarkoSimonovic,andM.H.F.Sluiter,PHYSICALREVIEWB79(2009).[7]M.Mantinaetal.,PHYSICALREVIEWB80(2009).[8]A.D.LeClaire,JournalofNuclearMaterials69&70,70(1978).6.獲得擴(kuò)散系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)方法SenlinCuiexportPATH=$HOME/bin/python2.6/bin:$PATHexportPYTHONPATH=$HOME/bin/python2.6/site-packages:$HOME/sciwork/tmpenv/lib/python2.6/site-packages:$HOME/bin/python2.6/lib/python2.6/site-packagesD=D0exp(-Q/RT)[1922dus]1.Self-diffusivityandimpurity-diffusivity基本公式:A熔點(diǎn)Q=ATm(Tmismeltingpoint;A=38cal/molforfcc;A=32.5forbcc)[?1971ask]B熔化熱和升華熱Q=16.5Lf(Lfislatentheatoffusion,inkcal/mole)[?1971ask]Q=0.65Ls(Lsislatentheatofsublimation,inkcal/mole)[?1971ask]C壓縮性Q=B/χ(Bisthebindenergy?,χiscompressibility)[1964gib]D線膨脹系數(shù)Q=700/(

iscoefficientoflinearexpansionatroomtemperature,inppm/oC)[1965ask]FQ=(K0+V)RTm[1961she]

(K0isacrystalstructurefactor:14forbcc;17forfccandHcp;21fordiamondstructure;V=valenceofthemetal，V=1.5forgroupIVB(Ti,Zr,Hf);3.0forgroupVB(V,Nb,Ta);2.8forgroupVIB(Cr,Mo,W);2.6forgroupVIIB(Mn,Re);2.5forothertransitionmetals.GQ=RTm(K+1.5V)[1962lec](K=13forbcc,15.5forfccandcph,20fordiamond)Activationenergyforselfdiffusioninliquid/solidmetals,1/5Activationenergyforimpuritydiffusioninliquid/solidCu,1/5.12HActivationenergyforselfdiffusioninliquid/solidraregases,1/5.03Activationenergyforimpuritydiffusioninliquid/solidinAg,1/5.35SeveralapproachestoestimateDoAD0=a2·v·

exp(λ·β·Q/RTm)[1950zen]

(a=latticeparameter;v=vibrationalfrequency;λ

=constant(0.6forbcc,and0.8forfcc);β=0.5)BD0=1.04·10-3Qa2SeveralapproachestoestimateDEstimatetheinterdiffusivityIllustrationofthevalueΔTSReferences:[1971ask]J.Askill,IFI/Plenum,pp.19-26(1971)[1954buf]S.DushmanandI.Langmuir,Phys.Rev.,20:113(1922)[1961she]O.D.SherbyandM.T.Simnad,Trans.ASM,54,227-40(1961)[1980bro]A.M.BrownandM.F.Ashby.ActaMetal.28,1085-1101(1980)[1968vig]A.VignesandG.E.Birchenall,ActaMetal.,16,1117-25(1968)[2003du]YDu,YAChang,BHuang,WGong,ZJin,HXu,ZYuan,YLiu,YHe,FYXie,Mater.Sci.Eng.,A.363,140-51(2003)[2010zha]LZhang,YDu,ISteinbach,QChen,BHuang,ActaMater.,58,3664-75(2010).[2010zha]LZhang,YDu,QChen,ISteinbach,IntJMaterRes,2010.圖1:雜質(zhì)元素在液態(tài)Al中擴(kuò)散激活能與頻率因子關(guān)系圖Y.Du,Y.A.Chang,B.Y.Huangetal.,Mater.Sci.Eng.A,363,140-151(2003).雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)的計(jì)算及預(yù)測圖2:雜質(zhì)元素在液態(tài)Al中擴(kuò)散激活能與價電子數(shù)關(guān)系圖Y.Du,Y.A.Chang,B.Y.Huangetal.,Mater.Sci.Eng.A,363,140-151(2003).雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)的計(jì)算及預(yù)測雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)的計(jì)算及預(yù)測

請根據(jù)圖1和圖2計(jì)算預(yù)測Ti,V,Cr,Mn,Fe,Zn,Fe在液態(tài)Al中的雜雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)圖3:預(yù)測的Zn,Ti,Ge在液態(tài)Al中雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較Y.Du,Y.A.Chang,B.Y.Huangetal.,Mater.Sci.Eng.A,363,140-151(2003).Ge在液體AlTi在液體AlZn在液體Al雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)的計(jì)算及預(yù)測7.擴(kuò)散系數(shù)的DICTRA模擬劉丹丹

、張偉彬、崔森林、杜勇主要內(nèi)容：原子移動性參數(shù)模型的建立◆◆原子移動性參數(shù)模擬與計(jì)算實(shí)例●二元系合金●三元系Co-Fe-Ni合金1、原子移動性參數(shù)模型的建立根據(jù)絕對反應(yīng)速率理論的觀點(diǎn)，元素i的移動性參數(shù)Mi可以分成一個頻率因子和一個激活焓Qi

，即：(1)式中，是一個考慮了鐵磁性轉(zhuǎn)變影響的因子，它是合金成分的函數(shù)，對于無磁性影響的相，=1.（2）是成分、溫度和壓強(qiáng)的函數(shù)，將其用Redlich-Kister展開來表征：式中：（3）自擴(kuò)散或雜質(zhì)擴(kuò)散參數(shù)二元相互作用參數(shù)三元相互作用參數(shù)

對于含n組元的體系，以體積固定為參考系，相互擴(kuò)散系數(shù)和原子移動性參數(shù)有如下關(guān)系：:Kroneckerdelta=0,i≠k.1,i=k.,,分別為摩爾分?jǐn)?shù)，化學(xué)勢，元素的遷移率；第n個被選為非獨(dú)立元素。如果A被選為非獨(dú)立元素，則互擴(kuò)