第一章質(zhì)點力學(xué)

萬里長城

埃及金字塔一、理論力學(xué)的研究意義(是工程技術(shù)的科學(xué)基礎(chǔ)）緒論趙州橋杭州灣跨海大橋是一座橫跨中國杭州灣海域的跨海大橋，它北起浙江嘉興海鹽鄭家埭，南至寧波慈溪水路灣，全長36公里，是目前世界上最長的跨海大橋。

鳥巢和水立方海洋石油鉆井平臺飛機和火箭波音787波音797(概念機)航空母艦中國航母“遼寧艦”二、力學(xué)的分類宏觀系統(tǒng)(h不起作用)微觀系統(tǒng)(h起作用)低速運動——量子力學(xué)高速運動——量子場論（相對論量子力學(xué)）高速運動(v接近c)--相對論力學(xué)低速運動(v遠遠小于c)--經(jīng)典力學(xué)（以觀點分）（以對象分）（以方法分）運動學(xué)動力學(xué)靜力學(xué)質(zhì)點力學(xué)質(zhì)點組力學(xué)剛體力學(xué)牛頓力學(xué)（矢量力學(xué)）分析力學(xué)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)注：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(包括彈性體力學(xué)和流體力學(xué))是研究質(zhì)量連續(xù)分布的可變形物體運動規(guī)律的科學(xué)。說明：(1)

理論力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)的一大部分，但不討論連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。靜力學(xué)不象工科一樣詳盡，而只是作為動力學(xué)的一個特例。經(jīng)典力學(xué)的應(yīng)用范圍是：宏觀、低速物體。(2)理論力學(xué)是四大力學(xué)(理論力學(xué)，量子力學(xué)，電動力學(xué)和熱力學(xué)統(tǒng)計物理)之一，是以確定論的觀點研究物體的運動規(guī)律。(3)理論力學(xué)是在普通物理力學(xué)基礎(chǔ)上，運用高等數(shù)學(xué)工具(微積分和變分)，全面、系統(tǒng)地闡述宏觀機械運動的基本概念和基本規(guī)律，與普通物理力學(xué)相比，理論性更強。要求學(xué)生掌握力學(xué)的理論體系和用高等數(shù)學(xué)知識解決力學(xué)問題的能力。四、理論力學(xué)的研究方法(物理規(guī)律的形成過程)實踐抽象綜合公理數(shù)學(xué)演繹

邏輯推理應(yīng)用定理、結(jié)論三、理論力學(xué)的研究對象理論力學(xué)：是研究宏觀、低速物體機械運動規(guī)律的一門學(xué)科。機械運動：是物體在空間的相對位置隨時間的變化。五、理論力學(xué)的發(fā)展史意大利的達芬奇(1452~1519)研究滑動摩擦、平衡、力矩。波蘭的哥白尼(1473~1543)提出宇宙“日心說”。德國的開普勒(1571~1630)提出行星運動三定律。意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落體規(guī)律、慣性定律及加速度的概念。早在(公元前287~212)古希臘阿基米德著的《論比重》就奠定了靜力學(xué)基礎(chǔ)。英國偉大科學(xué)家牛頓(1643~1727)在1687年版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書總其大成，提出動力學(xué)的三個基本定律，萬有引力定律，天體力學(xué)等，是力學(xué)奠基人。瑞士的伯努利(1667~1748)提出虛位移原理。希臘的托勒密(約90—168)提出宇宙“地心說”。法國達朗伯(1717~1785)出版著作《動力學(xué)專論》，提出達朗伯原理。法國拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力學(xué)》，提出第二類拉格朗日方程。六、《理論力學(xué)教程》的內(nèi)容框架質(zhì)點力學(xué)質(zhì)點組力學(xué)剛體力學(xué)轉(zhuǎn)動參照系分析力學(xué)瑞士的歐拉(1707~1783)出版著作《力學(xué)或運動科學(xué)的分析解說

》和《剛體運動理論》。主要參考書目：1).周衍柏.《理論力學(xué)教程》，高等教育出版社，20092).管靖等.《理論力學(xué)教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，高等教育出版社,20123).梁昆淼.《力學(xué)》(下冊)，人民教育出版社，19804).肖士珣.《理論力學(xué)簡明教程》，人民教育出版社，19835).胡慧玲等.《理論力學(xué)基礎(chǔ)教程》，高等教育出版社，19866).蘇云蓀.《理論力學(xué)》，高等教育出版社，19907).郭士堃.《理論力學(xué)》(上、下冊)，人民教育出版社，19828).胡守信.《理論力學(xué)》，高等教育出版社，19869).劉煥堂.《理論力學(xué)原理與方法》，廈門大學(xué)出版社，199710).陳世民.《理論力學(xué)簡明教程》,高等教育出版社，

200111).盧圣治.《理論力學(xué)基本教程》，北京師范大學(xué)出版社，200412).梅鳳翔等.《分析力學(xué)基礎(chǔ)》，西安交通大學(xué)出版社，198713).哈工大理論力學(xué)教研室,《理論力學(xué)》(I、II),高等教育出版社,201214).H.Goldstein,ClassicalMechanics,2-ndedition,AddisonWesley,1980編寫《理論力學(xué)》教學(xué)資料匯編一套編寫《分析力學(xué)講義》一套理論力學(xué)課題組編寫的輔助教材第一章質(zhì)點力學(xué)§1.1運動的描述方法(絕對時空觀)一、參照系與坐標(biāo)系參照系

物質(zhì)的運動是絕對的，運動的描述是相對的。為研究一個物體的運動必須事先選定另一個物體作為參照物，被選為參照物的物體就叫做參照系或參考系。①參照物不同，對同一個物體運動的描述結(jié)果不同；②觀察者是站在參照系的觀察點上；③研究地面附近物體的運動選地球為參照系。說明：為了定量確定物體的空間位置，還必須在參考系上建立坐標(biāo)系。如直角坐標(biāo)系，平面極坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。3、質(zhì)點及位置的描述(1)質(zhì)點：理想模型，有一定質(zhì)量的幾何點（物體形狀可忽略，物體作平動）。在研究物體的機械運動時，不考慮物體的大小和形狀，而只計及其質(zhì)量的力學(xué)模型就叫質(zhì)點。(2)位置描述②坐標(biāo)描述：直角坐標(biāo)系:坐標(biāo)系①質(zhì)點相對某參照系的位置，可由位矢

確定平面極坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系：osP柱面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：二、運動學(xué)方程及軌道1、運動學(xué)方程描述物體在參考空間中任一瞬時位置的數(shù)學(xué)表達式稱為運動學(xué)方程。運動學(xué)方程確定了質(zhì)點在參考空間中任一瞬時的位置，并由此可進一步揭示質(zhì)點運動的幾何性質(zhì)：軌跡、速度和加速度等。寫出質(zhì)點的運動學(xué)方程是研究質(zhì)點運動的首要任務(wù)。一般常用的方程有（1）矢量形式的運動學(xué)方程當(dāng)質(zhì)點運動時是時間t的單值連續(xù)函數(shù)。此方程常用來進行理論推導(dǎo)。（2）直角坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程這是常用的運動學(xué)方程，尤其當(dāng)質(zhì)點的軌跡未知時。它是代數(shù)方程，運算容易。（3）平面極坐標(biāo)下的運動學(xué)方程當(dāng)質(zhì)點在某平面上運動時，在任一瞬時，其位置也可用極坐標(biāo)確定。（4）自然坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程對運動軌跡已知的質(zhì)點，常用此方程。用自然法研究運動，運算比較簡便。說明：通過坐標(biāo)形式的方程(標(biāo)量方程)表示質(zhì)點的運動學(xué)方程，并由此確定質(zhì)點的其它運動量的方法稱為分析方法。（5）柱面坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程（6）球面坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程2、軌道質(zhì)點運動過程中在空間描述出的連續(xù)曲線,標(biāo)量形式的運動學(xué)方程中消去t得軌道方程。三、位移、速度、加速度1、位移：質(zhì)點位置的改變，即位置矢量的增量。路程：質(zhì)點沿軌道走過的長度2、速度：平均速度瞬時速度(速度)3、加速度：平均加速度瞬時加速度(加速度)§1.2速度、加速度分量表示式一、直角坐標(biāo)系1、速度：分量式：速度大?。核俣确较颍嚎捎梅较蛴嘞掖_定

2、加速度：分量式：加速度大小：加速度方向：[例1]設(shè)橢圓規(guī)尺AB的端點A與端點B沿直線導(dǎo)槽ox及oy滑動（如下圖所示），而B以勻速度c

運動，求橢圓規(guī)尺上M點的軌道方程，速度及加速度.設(shè)MA=a,MB=b,.M點速度的方向：M點加速度的方向：解：建立直角坐標(biāo)系，小環(huán)的運動學(xué)方程為：求速度求加速度例2.半徑為R的鐵圈上套一小環(huán)P，直桿OA穿過小環(huán)P并繞鐵圈上O點以勻角速度轉(zhuǎn)動。求小環(huán)P的運動學(xué)方程、軌道方程、速度和加速度。二、平面極坐標(biāo)系確定1、速度：注意:方向都變化，乘積函數(shù)求導(dǎo)。①先求：同理：②速度分量式：速度大?。核俣确较颍?、加速度即：加速度大?。杭铀俣确较颍?、柱坐標(biāo)系中的速度和加速度表達式（平面極坐標(biāo)加垂直的z坐標(biāo)）[例3]已知一質(zhì)點的運動方程為試求其速度與加速度。解：平面極坐標(biāo)系下的運動學(xué)方程的標(biāo)量形式為例4.半徑為R的鐵圈上套一小環(huán)P，直桿OA穿過小環(huán)P并繞鐵圈上O點以勻角速度轉(zhuǎn)動。求小環(huán)P的運動學(xué)方程、軌道方程、速度和加速度。解：建立平面極坐標(biāo)系，設(shè)，小環(huán)P的運動學(xué)方程為：軌道方程為:速度為：加速度為：例5.已知一質(zhì)點作平面運動，其速率為常量c，其位置矢量轉(zhuǎn)動的角速度也為常量，試求質(zhì)點的運動學(xué)方程及軌道方程。解：由已知條件(1)(2)(3)把(1)式代人(2)并分離變量得(4)(3)、(4)二式即為運動學(xué)方程消去t得軌道方程三、自然坐標(biāo)系1、運動學(xué)方程(弧坐標(biāo)方程)引入三個單位矢量2、速度3、加速度4、三個平面(密切平面、法平面和直切平面)密切平面密切平面：軌道上無限接近的3個點確定的平面，或無限接近的兩條切線所確定的平面曲率圓：在密切平面內(nèi)以曲率中心為圓心，以曲率半徑為半徑所畫成的圓，該圓與無限接近的兩條切線都相切。曲率：描述曲線的彎曲程度曲率半徑：曲率圓的半徑法平面直切平面過山車

解:因，求速度在切線方向的投影式中求加速度所以[例6]一質(zhì)點沿圓滾線的弧線運動，如為一常數(shù)，則其加速度亦為一常數(shù)，試證明之。為圓滾線某點P上的切線與水平線(x軸)所成的角度，為P點與曲線最低點之間的曲線弧長。解:先在直角坐標(biāo)系中求速度和加速度

[例7]設(shè)質(zhì)點P沿螺旋線運動，試求速度、加速度及軌道的曲率半徑。

例8.半徑為R的鐵圈上套一小環(huán)P，直桿OA穿過小環(huán)P并繞鐵圈上O點以勻角速度轉(zhuǎn)動。求小環(huán)P的運動學(xué)方程、軌道方程、速度和加速度。解：軌道已知，可建立平面自然坐標(biāo)系，選O1為原點，并規(guī)定弧長正方向如圖所示，運動學(xué)方程為速度為加速度為說明:(1)不同坐標(biāo)系中軌道方程、速度和加速度的表達形式不同，但它們對描述質(zhì)點運動是等價的；(2)不同坐標(biāo)系中速度和加速度的大小和方向是相同的四、球面坐標(biāo)系質(zhì)點P的空間位置由坐標(biāo)確定引入三個單位矢量§1.3平動參照系二、絕對速度、相對速度與牽連速度

選取兩個參考系其中為

相對于靜系

的速度，稱為絕對速度。一、時空關(guān)系為P相對于動系

的速度，稱為相對速度。為在

系帶動下P相對于靜系

的速度,稱為牽連速度。

說明：P點同時參與兩種運動：相對于動系的運動;被動系帶著一起以

運動三、絕對加速度、相對加速度與牽連加速度由得:若動系相對于靜系

做勻加速直線運動絕對加速度(質(zhì)點P相對于靜系的加速度)相對加速度牽連加速度【例題1】某人以4km/h向東前進,感覺風(fēng)從正北吹來,以8km/h向東前進,感覺風(fēng)從東北吹來,求風(fēng)速和風(fēng)向.解：1、分析是否為相對運動問題，選擇動系和靜系，并明確研究對象研究對象：風(fēng);靜系：地面;動系：人2、用速度合成關(guān)系列方程

:人行走速度，

：風(fēng)速(相對于地)，:風(fēng)相對于人的速度由：得：風(fēng)速：風(fēng)向：以矢量方式求解：西北風(fēng)確定靜系和動系解：靜系：河岸動系：河流研究對象：小船【例2】小船M被水流沖走后，用一繩將它拉回岸邊A點，假定水流速度沿河寬不變，而拉繩子的速度則為，如小船可以看成一個質(zhì)點，求小船的軌跡.由速度合成關(guān)系：設(shè):絕對速度，:相對速度,

:牽連速度得：兩式相除得：分離變量得：得：§1.4質(zhì)點運動定律一、牛頓運動定律(經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ))1.牛頓第一定律(慣性定律)任何物體(質(zhì)點)如果沒有受到其他物體的作用，都將保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)。由伽利略發(fā)現(xiàn)只適用于慣性系Law1:Everybodyperseveresinitsstateofrest,orofuniformmotioninarightline,unlessitiscompelledtochangethatstatebyforcesimpressedthereon.(每個物體都保持其靜止、或勻速直線運動的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使他改變那個狀態(tài))Lawofinertia:Abodyatrestremainsatrestandabodyinmotioncontinuestomoveatconstantvelocityalongastraightline,unlessacteduponbyanexternalforce.

(如果沒有外力作用，靜止物體將保持靜止，運動物體將不斷做勻速直線運動)2.牛頓第二定律(核心地位)當(dāng)一個物體(質(zhì)點)受到外力作用時，該物體所獲得的加速度和外力成正比，和物體本身的質(zhì)量成反比，加速度的方向和外力的方向一致。力的獨立作用原理Law2:Thealterationofmotioniseverproportionaltothemotiveforceimpressed;andismadeinthedirectionoftherightlineinwhichthatforceisimpressed.(運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向)3.牛頓第三定律力：物體間的相互作用具體表現(xiàn)為推或拉，吸引或排斥，支撐或擠壓等引力—由于物體的質(zhì)量(引力質(zhì)量)引起的力電力和磁力—起源于靜止的或運動的電荷核力—原子核內(nèi)部粒子間相互作用接觸力—在物體相接觸處所呈現(xiàn)的力，例如摩擦力Law3:Toeveryactionthereisalwaysopposedanequalreaction;orthemutualactionsoftwobodiesuponeachotherarealwaysequal,anddirectedtocontraryparts.(每一種作用都有一個相等的反作用；或者，兩個物體間的相互作用總是相等的，而且指向相反)二、相對性原理1.慣性參考系和非慣性參考系(只能通過觀察和實驗判斷)慣性參考系：牛頓運動定律能成立的參考系非慣性參考系：牛頓運動定律不能成立的參考系當(dāng)一個物體A對另一個物體B有一個作用力的同時，另一個物體B同時也對該物體A有一個反作用力，作用力與反作用力的量值相等，方向相反，并且在同一直線上。3.力學(xué)相對性原理(伽利略相對性原理)在所有的慣性參考系中力學(xué)規(guī)律都相同只存在近似的慣性參考系常見的慣性參考系地球當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時，地球不再是慣性參考系(在赤道附近產(chǎn)生的加速度為3×10-2米/秒2)地心系當(dāng)考慮地球公轉(zhuǎn)的影響時，地心系不再是慣性參考系(地球繞太陽公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的加速度為6×10-3米/秒2)日心系當(dāng)考慮太陽繞銀河系中心運動時，日心系不再是慣性參考系(加速度為3×10-10米/秒2)FK4系以選定的1535顆恒星的平均靜止位形作為基準(zhǔn)的參考系§1.5質(zhì)點運動微分方程

一、運動微分方程的建立1.自由質(zhì)點的運動限制質(zhì)點運動的條件稱為約束，不受約束的質(zhì)點稱為自由質(zhì)點。(1)直角坐標(biāo)系三個二階常微分方程構(gòu)成微分方程組，給出初始條件：積分可得到質(zhì)點的運動規(guī)律。(2)平面極坐標(biāo)2.非自由質(zhì)點的約束運動將約束的作用歸結(jié)為力的作用。約束對質(zhì)點的作用力為約束力(約束反作用力),約束力是未知的,取決于約束本身的性質(zhì)、主動力和質(zhì)點的運動狀態(tài),故稱約束力為被動力。若質(zhì)點被限制在某一曲線或曲面上運動，該曲線或曲面稱為約束(目前只討論固定的幾何約束)，其方程為約束方程。約束公理：當(dāng)其約束的作用用相應(yīng)的約束力代替之后，我們就不再考慮約束的存在而將非自由質(zhì)點視為自由質(zhì)點來處理。換言之，用約束力代替約束之后，即可將約束解除。質(zhì)點的運動微分方程：一般采用自然坐標(biāo)系求解。(1)光滑約束：約束力在軌道的法平面內(nèi)，即沿質(zhì)點運動方向沒有分量

(1)式求出運動規(guī)律,(2)和(3)解出約束力,方便之處在于運動規(guī)律和約束力可分開求解.(2)非光滑約束:約束力在質(zhì)點運動方向有分量(如摩擦力)四個未知數(shù)運動規(guī)律和約束力無法分開求解二、運動微分方程的求解動力學(xué)的兩類基本問題：（1）已知力，求運動(主要問題)1.力僅是時間的函數(shù),即解：自由電子(視為經(jīng)典粒子)受電場力作用，第一類問題的解題步驟：（3）寫出運動微分方程，選坐標(biāo)系投影；（4）解方程，分析解的物理意義。（2）作圖，受力分析；（2）已知運動，求力（1）明確研究對象，選擇適當(dāng)?shù)膮⒖枷道?:研究自由電子在沿

軸的振蕩電場中的運動電子的運動微分方程為：積分得假設(shè)初始速度:分離變量得上式可寫為假設(shè)初始位置最后得小結(jié)：這類問題最容易解決，只需進行兩次積分，就可以得到全部運動規(guī)律。在普通物理力學(xué)中，研究質(zhì)點在重力場中的運動時忽略了空氣阻力。斜拋體：自由落體：yxo2.力只是速度的函數(shù),即軌道方程：但在速度較大或者物體形狀較大時，空氣阻力都是不能忽略的。而空氣阻力比較復(fù)雜，與物體形狀、速度、空氣密度、溫度都有關(guān)。━腔外彈道學(xué)運動微分方程為：(1)式除以(2)式得運動微分方程：例2.考慮質(zhì)點在重力場中運動時有阻力的情況。把拋射體簡化為質(zhì)點，則阻力

標(biāo)量方程：先解方程(1)再積分：類似地：消去x和y中的t,得到軌道方程:即在阻力很小(b→0)或距離很短(x→0)時結(jié)果分析：(1)若阻力b很小或者x很小時，結(jié)果中的三次方及以上可以忽略,軌道近似為拋物線。

(2)

當(dāng)x→mvx0/b時，y→-∞，因此

x有一個極限值mvx0/b【例3】質(zhì)量為m的質(zhì)點，在有阻力的空氣中無初速地自離開地面為h的地方豎直下落。如阻力與速度正比，試研究其運動。2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程即：解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系hx令：得分離變量得4.解方程5.分析解的物理意義

t增大,v接近極限速度-g/k,運動幾乎為勻速直線運動?！纠?】在例3中，若阻力與速度平方成正比，試研究該質(zhì)點的運動。2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程hx解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系(1)即(2)令(3)(2)

式變?yōu)?.求解方程分離變量得(4)利用不定積分公式(5)得(6)(6)式變?yōu)榧?7)反雙曲正切再積分6.討論下面列出投影方程，上升時2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系mgyo【例5】質(zhì)量為m的小球以初速v0豎直上拋，空氣的阻力為求：（1）上升的最大高度；（2）返回到地面時小球的速度。利用：做定積分：得(1)下降時R=kmv2mg利用：積分：得(2)將（1）代入（2），得3.力只是坐標(biāo)的函數(shù)：F=F(x)

(1)一維諧振動求解：本征方程通解為令則其中，(2)三維諧振動（3）阻尼振動、受迫振動:說明：在物理學(xué)中，有時會遇到一些微分方程沒有解析解，只能用數(shù)值計算求它們的近似解。4.約束運動問題一般選自然坐標(biāo)系【例6】小環(huán)的質(zhì)量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為x2=4ay。試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。解：1.研究對象：小環(huán)參考系：地面2.作圖，受力分析4.選取自然坐標(biāo)系（如圖），投影5.求解-dyds-dx3.列出方程即對（2）對（1）積分得滑至頂點時：求頂點處曲線的曲率半徑，滑至頂點時，x=0,y=0【例7】質(zhì)點在光滑球面上滑動，當(dāng)它在頂點A時水平初速度為，試問質(zhì)點滑到何處脫離球面？欲使質(zhì)點在A處就脫離球面，速度值是多大？解:(1)分析約束：球面對質(zhì)點的約束是單面的，質(zhì)點在球面上滑動，球面阻止質(zhì)點向球內(nèi)運動，所以球面對質(zhì)點的約束反作用力應(yīng)指向球外。(2)研究對象：質(zhì)點，參考系：球面(3)受力分析：(4)列出質(zhì)點的動力學(xué)方程(5)求解動力學(xué)方程先求解方程(1)(1)式變?yōu)閷ι鲜椒e分得將(3)代人(2)得如果質(zhì)點離開球面(即解除了球面對它的約束)，條件是R=0若在A點就脫離球面，則例8.一質(zhì)量為m的小環(huán)在半徑為r的水平圓環(huán)上，設(shè)小環(huán)的初速度為，小環(huán)與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為，求小環(huán)經(jīng)過多少弧長后停止運動。解：1.

研究對象：小環(huán)3.

受力分析：4.

列運動微分方程:2.

參考系：地面坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系聯(lián)立方程(1)、(2)和(3)得分離變量得：兩邊求定積分得【例9】質(zhì)量為m的質(zhì)點在一個傾角為的固定粗糙斜面上滑動，求質(zhì)點的運動規(guī)律以及斜面對質(zhì)點的約束反作用力。解：(1)分析約束：質(zhì)點受非光滑約束(固定幾何約束)(2)研究對象：質(zhì)點，參考系：斜面(3)受力分析：(4)列質(zhì)點的運動微分方程：(4)建立如圖所示的坐標(biāo)系，運動微分方程的投影式約束方程：(5)解方程積分并結(jié)合初始條件，勻變速下滑(6)討論【例10】一內(nèi)壁光滑的直管，在水平面內(nèi)繞過其端點O的豎直軸以角速度做勻角速轉(zhuǎn)動。管內(nèi)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，初始時距O點的距離為，相對管靜止。試求質(zhì)點沿管的運動規(guī)律和質(zhì)點對管在水平方向的壓力。解：1.研究對象：質(zhì)點4.列質(zhì)點運動微分方程

2.參考系：地面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系3.受力分析：受光滑約束例11.

一質(zhì)點穿在一光滑拋物線軸線上方h處，并從此處無初速地滑下，拋物線的方程為，p為常數(shù)。問滑至何處，曲線對質(zhì)點的反作用力將改變符號？Aoxy解：1.研究對象：質(zhì)點2.參考系：地面坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系3.

受力分析4.列質(zhì)點運動微分方程

(5)解方程由(1)得在R=0處，反作用力將改號，由(2)得(3)式變?yōu)椋赫淼眉锤奶柼幍脃為方程(4)的根。方程(5)的三個根可由卡爾丹公式給出§1.6非慣性系動力學(xué)(一)

---動系相對與靜系作加速平動絕對加速度、相對加速度和牽連加速度之間滿足如下關(guān)系對于質(zhì)點P，在慣性系S中慣性力將(1)代入(2)得說明：

(1)慣性力不是相互作用的力，不存在施力物體，只有在非慣性系中質(zhì)點才會受這一力的作用?！纠?】火車在平直軌道上以勻加速a0向前行駛，在火車中用線懸掛著一小球，懸線與豎直線成θ角而靜止,求θ。解：方法一（慣性系),

選地面為參考系1.受力分析

(2)解動力學(xué)問題時應(yīng)清楚所選擇的參考系是慣性系還是非慣性系。3.選取平面直角坐標(biāo)系,寫出標(biāo)量方程2.列出方程4.解之得方法二（非慣性系），選火車為參照系而：即：解之得：投影方程：yxTmg【例2】質(zhì)量為m和2m的兩個質(zhì)點,被一不可伸長的輕繩連接,繩掛在光滑的滑輪上.在m的下端又用固有長度為a、倔強系數(shù)k=mg/a的彈性繩掛上質(zhì)量為m的另一質(zhì)點，在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩處于固有長度上。由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這一運動是簡諧振動,并求其振動周期T及任何時刻兩段繩中的張力。解：

(1)對A,B選大地為參考系，建立直角坐標(biāo)系，而對C則選B為非慣性系，建立系。(2)受力分析,如右圖。(3)列質(zhì)點的運動微分方程對方程(4)兩邊對時間求兩次導(dǎo)數(shù)得將(5)、(6)代入(2)和(3)得由(7)得代入(8)、(9)得聯(lián)立(10)、(11)得令令則§1.7功與能

一.功和功率1.質(zhì)點在恒力作用下沿直線運動2.質(zhì)點受變力沿曲線運動功是標(biāo)量，其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。其中，是力的作用點之位移。在直角坐標(biāo)系下在平面極坐標(biāo)系下即合力對質(zhì)點所做的功為各力對質(zhì)點所做功的代數(shù)和。在自然坐標(biāo)系下3.若質(zhì)點受幾個力作用,合力(2)功是力對空間的積累,是過程量,一般與路徑有關(guān).說明:(1)功是標(biāo)量,但有正負(與力和位移的夾角有關(guān)).(3)功的位移指受力點的位移.(4)功和參考系有關(guān)(因為質(zhì)點位移與參考系有關(guān)).slmMf相對地面，子彈所受摩擦力做功相對木塊，子彈所受摩擦力做功二.能物體具有做功的本領(lǐng)，稱它具有一定的能量。力學(xué)中—機械能(動能+勢能)。當(dāng)能量發(fā)生變化時，總有一定數(shù)量的功表現(xiàn)出來—功是能量變化的度量。三.保守力、非保守力、耗散力一般情況下：4.功率(瞬時功率):描述做功快慢的物理量。2.力場分類若質(zhì)點在某空間區(qū)域任意位置上，受到確定的力

，且力是位置的單值有限可微函數(shù)，則該區(qū)域稱為力場，

為場力。如:萬有引力場、靜電力場、彈性力場等。按力場與時間的關(guān)系按力做功與路徑有無關(guān)系1.力場3.保守力的判據(jù)

即：為保守力的充要條件：4.勢能

函數(shù)V(x,y,z)則為質(zhì)點在坐標(biāo)(x,y,z)處的勢能說明：1)勢能函數(shù)加上任意常數(shù)不影響勢能差。2)僅當(dāng)力場為保守力場時才可引入勢能。證明:(1)必要性同理可得根據(jù)斯托克斯定理(2)充分性即做功與路徑無關(guān),解：先驗證力是否為保守力

沿此質(zhì)點沿螺旋線,運行自至?xí)r，力對質(zhì)點所做的功?！纠?】設(shè)作用在質(zhì)點上的力是xyz解法三：選直線路徑積分xyz解法二：用勢能的增量計算做功解法四：沿質(zhì)點運動的路徑積分【例2】在例1中，如果則結(jié)果如何？不存在勢能函數(shù)§1.8質(zhì)點動力學(xué)的基本定理與基本守恒律

一、動量定理與動量守恒定律1.動量:2.動量定理(出發(fā)點：牛頓第二定律)

物理學(xué)中一個非常重要的物理量。在機械運動的范圍內(nèi)，質(zhì)點間運動的傳遞通過動量的交換來實現(xiàn)。動量是機械運動強弱的度量。動量定理的微分形式?jīng)_量：力對時間的積累用沖量表示的動量定理的微分形式元沖量恒力的沖量變力的沖量用沖量表示的動量定理的積分形式3.動量守恒定律即：如果質(zhì)點受到的合外力恒等于零，則其動量守恒。質(zhì)點在x方向上的動量守恒二階微分方程積分一次一階微分方程質(zhì)點的動量守恒定律例如:斜拋體的水平動量守恒x

(3)受力分析：重力，桌面對小球的正壓力(沖力)，用平均正壓力代替解法一：(1)研究對象：小球

(2)參照系：桌面，坐標(biāo)系：ox例1：一質(zhì)量為0.01kg的小球，從的高度處由靜止下落到水平桌面上，反彈后的最大高度為，設(shè)碰撞時間為。求小球與桌面碰撞時對桌面作用的沖量是多少？(4)在小球與桌面碰撞過程中應(yīng)用動量定理投影到x軸得標(biāo)量方程桌面對小球的沖量小球?qū)ψ烂娴臎_量x其中，小球?qū)ψ烂娴臎_量方向豎直向下解法二：將動量定理用于小球下落、與桌面碰撞和上升的整個過程。標(biāo)量方程為其中，例2.當(dāng)質(zhì)點沿水平方向平動時，假設(shè)作用力其中：m為質(zhì)點的質(zhì)量，解：(1)研究對象：質(zhì)點(2)參考系：地面；坐標(biāo)系ox(4)應(yīng)用質(zhì)點動量定理列方程(3)受力分析：推力二.力矩與動量矩1.力矩★力對空間某一點O的力矩:O點稱為矩心★力對空間某一軸線的力矩(力矩矢量沿該軸的投影)O2.動量矩(或稱為角動量)對O點的動量矩：

對x,y,z軸的動量矩：三、動量矩定理與動量矩守恒律(對固定點O)1.動量矩定理(出發(fā)點：牛頓第二定律)動量矩定理的微分形式投影式:2.沖量矩元沖量矩恒力矩的沖量矩變力矩的沖量矩用沖量矩表示的動量矩定理的微分形式

積分形式3.動量矩守恒定律即：如果質(zhì)點受到的外力矩恒等于零,則其動量矩守恒。即：如果質(zhì)點在某方向上受到的外力矩恒為零,則該方向上的動量矩守恒。二階微分方程積分一次一階微分方程視頻演示動畫演示【例3】質(zhì)點所受的力恒通過某一個定點，則質(zhì)點必在一平面上運動(如地球繞太陽運動，衛(wèi)星繞地球運動等),試證明之。分量式為：x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加,得:經(jīng)過固定點O的平面方程。

解：由于力恒通過一個定點，那么力對該定點的力矩:解：(1)研究對象：小球(2)參考系：地面；坐標(biāo)系oz(4)應(yīng)用質(zhì)點對z軸的動量矩守恒(3)受力分析：四、動能定理與機械能守恒律1.動能定理(出發(fā)點：牛頓第二定律)定義動能質(zhì)點動能的微分等于作用在該點上的力所作的元功積分形式2.機械能守恒定律機械能守恒若

為保守力場，五、勢能曲線若質(zhì)點受一維保守力的作用，則質(zhì)點的勢能是其坐標(biāo)的函數(shù)。則V(x)–x圖形稱為勢能曲線。經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的區(qū)別之一，隧穿效應(yīng)

解:(1)分析用機械能守恒律的可能性重錘受到哪些力？哪些做功哪些不做功？(2)確定初末態(tài)時重錘的總機械能；用機械能守恒定律求出速度

缺點：無法求出T的大小。零勢能【例5】如圖所示，一重錘固定一輕桿末端，將其約束在豎直圓周上運動。假設(shè)初始角度為，忽略空氣阻力，求重錘經(jīng)過最低點的速度。(3)用牛頓運動定律求解受力分析寫出動力學(xué)方程(采用自然坐標(biāo)系)則微分方程變?yōu)椋呵蠼夥匠?1)兩邊積分：求桿對重錘的作用力例6.光滑滑道AB的后部是半徑為a的圓環(huán)，重為P的物體由靜止自高度h沿AB下滑。求：①使物體通過圓環(huán)頂點不脫落的h最小值；②若圓環(huán)上部形成一角的缺口，欲使物體越過缺口仍能通過圓環(huán)，h應(yīng)該多大；欲使h為最小，為？CDEoB零勢能A解：①物體在重力場中沿滑道滑到E點的過程中，不作功，只有重力做功，機械能守恒同時，物體在E點的主法向運動微分方程為在E點，R=0時，h為最小，視頻演示②物體從A到C的過程中，機械能守恒由(3)得欲使物體從點C沿拋物線越過缺口到達D,由射程公式得合并(4)和(5)得整理得軌道方程：討論：物體飛越缺口時的軌道問題2010級云亭班魏學(xué)睿守恒律小結(jié)牛頓第二定律是二階微分方程，守恒律是一階的，稱為第一積分，能量守恒也稱能量積分。用初積分比用運動微分方程運算簡單?；A(chǔ)：§1.9有心力

一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力：運動質(zhì)點受力的作用線始終通過某一定點，該力為有心力，該點叫力心。有心力的大小一般為距離r的函數(shù)。2.質(zhì)點作平面運動質(zhì)點必在垂直于的平面內(nèi)運動。如：月亮繞地球運動、地球繞太陽運動3.運動微分方程(1)直角坐標(biāo)系(2)平面極坐標(biāo)系物理意義:

質(zhì)點對力心的動量矩守恒4.有心力為保守力機械能守恒定律：解決動力學(xué)問題的基本出發(fā)點：二、軌道微分方程-比耐公式通常求軌道：但在有心力中，所有對于時間的微分都可以通過消除，從而得到關(guān)于

與

的微分方程,求解該軌道微分方程可得到軌道方程。用途:比耐公式例6質(zhì)量為m的質(zhì)點在有心力作用下走一心臟線軌跡三、平方反比引力──行星運動引力:代入比耐公式得1.用比耐公式求質(zhì)點的軌道方程以太陽為焦點的圓錐曲線為正焦弦的一半為偏心率在直角坐標(biāo)系中，軌道方程(1)

橢圓

近日點遠日點OCxABrpy(矮行星)OA(2)

拋物線引力斥力(3)

雙曲線2.用動量矩守恒和機械能守恒求質(zhì)點的軌道方程代入方程(1)得由于e是一個幾何量，應(yīng)該找一個物理量作為判據(jù)。由于有心力是保守力，因此行星運動過程中機械能守恒——機械能可否作為判據(jù)？下面計算質(zhì)點在頂點的機械能。先計算A點動能：在A點的向心力：下面計算:下面討論A點的勢能,取無窮遠處為勢能零點

在A點:質(zhì)點的機械能:質(zhì)點機械能決定軌道形狀：計算質(zhì)點在任意位置的速度大小(1)開普勒第一定律(1609年)：行星繞太陽作橢圓運動,太陽位于其中一個焦點。(2)開普勒第二定律(1609年)：矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積相等結(jié)論：引力(有心力)對太陽的力矩為零，則行星對太陽的動量矩守恒dA四、從開普勒定律到萬有引力定律1.開普勒三定律動畫演示(3)開普勒第三定律(1619年)：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與軌道半長軸的立方成正比。計算公轉(zhuǎn)周期:橢圓面積:

公轉(zhuǎn)軌道具有共面性：開普勒第三定律萬有引力定律1687年2.從開普勒三定律推導(dǎo)萬有引力定律開普勒第一定律代入比耐公式1.宇宙速度五、宇宙速度與宇宙航行第一宇宙速度——物體可以環(huán)繞地球表面運行所需的最小速度(環(huán)繞速度).以下計算均不計空氣阻力等次要因素

第二宇宙速度——逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)的最小速度(脫離速度).選地心－恒星慣性參考系；將拋射體和地球視為質(zhì)點系機械能守恒第三宇宙速度——是使物體脫離太陽系所需的最小速度(逃逸速度).設(shè)質(zhì)點以第三宇宙速度拋出時，其動能為這個動能包含兩部分，即脫離地球引力所需的動能Ek1

和脫離太陽系所需的動能Ek2

：下面求脫離太陽系所需的動能Ek2.由類比質(zhì)點脫離太陽引力所需速率應(yīng)該是地球公轉(zhuǎn)速率,質(zhì)點隨地球相對太陽運動的速率設(shè)準(zhǔn)備飛出太陽系的質(zhì)點的發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)的方向相同，射出的質(zhì)點在離開地球時相對地球速率為與此相對應(yīng)的動能為既能擺脫地球引力又能擺脫太陽引力所需要的總能為第三宇宙速度拋體以不同速度拋出時不同類型的運動軌跡.動畫演示2.人造衛(wèi)星(artificialsatellite)科學(xué)衛(wèi)星:進行大氣物理、天文物理、地球物理等實驗或測試的衛(wèi)星

通信衛(wèi)星:做為電訊中繼站

軍事衛(wèi)星:做為軍事照相、偵察之用氣象衛(wèi)星:攝取云層圖和有關(guān)氣象資料資源衛(wèi)星:攝取地表或深層組成之圖像，做為地球資源探勘之用星際衛(wèi)星:可航行至其它行星進行探測照相之衛(wèi)星各國首顆衛(wèi)星發(fā)射

1957年10月4日,蘇聯(lián)發(fā)射了人類首顆人造衛(wèi)星斯普特尼克1號

1958年1月31日,美國發(fā)射了探險者1號

1965年11月26日,法國發(fā)射了試驗衛(wèi)星1號

1970年2月11日,日本發(fā)射了大隅號

1970年4月24日,中國發(fā)射了東方紅1號

1971年10月28日,英國發(fā)射了普羅斯帕羅例7已知一人造地球衛(wèi)星，發(fā)射到離地面320公里的高空時，以8公里/s的速度沿著與位矢垂直的方向運動。試計算軌道各參數(shù)：遠地點，遠地點速度，半長軸和半短軸，偏心率，周期和發(fā)射的能量。解：在地球表面3.人類登月

蘇聯(lián)的月球2號于1959年9月撞擊月球，是首個登陸月球的探測器1969年7月16日-24日,美國阿波羅11號載阿姆斯特朗、科林斯、奧爾德林首次登陸月球

1969年11月14日-24日,阿波羅12號載康拉德、戈登、比恩登月

1970年4月11日-17日,阿波羅13號載洛弗爾、海斯、斯威加特,

由于登月過程中液氧箱爆炸，登月失敗

1971年1月31日-2月9日,阿波羅14號載謝潑德、羅塞、米切爾登月

1971年7月26日-8月7日,阿波羅15號載斯科特、沃登、歐文登月

1972年4月16日-27日,阿波羅16號載約翰·楊、馬丁利、杜克登月

總耗資240億美元,阿波羅計劃取得了巨大的成功，但計劃中也有過幾次嚴(yán)重的危機，包括阿波羅1號測試時的大火造成維吉爾·格里森、愛德華·懷特、羅杰·查菲的死亡；阿波羅13號的氧氣罐爆炸以及阿波羅-聯(lián)盟測試計劃返回大氣層時排放的有毒氣體都幾乎使執(zhí)行任務(wù)的宇航員喪命。1969年7月人類第一次登月阿波羅11號宇宙飛船(矮行星)(Earth)(Moon)(Mars)(Jupiter)(Saturn)(Mercury)(Venus)(Uranus)(Neptune)4.行星探測器

1962年11月，蘇聯(lián)發(fā)射“火星1號”探測器，在飛離地球

1億公里時與地面失去聯(lián)系，從此下落不明，它被看作是人類火星探測的開端。

1965年7月，美國“水手4號”飛近火星，從距離火星1萬公里處拍攝了21幅照片。

1972年，美國“水手9號”飛船沿火星外層空間軌道飛行，成為火星的第一顆人造衛(wèi)星,環(huán)繞火星軌道進行長期考察。

1974年，蘇聯(lián)“火星6號”和“火星7號”探測器在火星著陸，探測結(jié)果沒有公布。

1998年7月，日本發(fā)射“希望”號火星探測器，但以失敗告終。

人類火星探測歷程

2001年4月，美國發(fā)射“奧德賽”號火星探測器，發(fā)現(xiàn)火星表面可能有豐富的冰凍水。

2003年6月，歐洲宇航局的第一個火星登陸器“獵兔犬2”號及其搭乘的“火星