B組第04章 剛體的轉動

第四章剛體的轉動24-1

剛體的定軸轉動4-2

力矩轉動定律轉動慣量4-3

角動量角動量守恒定律本章目錄4-4

力矩作功剛體定軸轉動的動能定理物理學第五版3*4-7

萬有引力的牛頓命題*4-6剛體進動*4-5

剛體的平面平行運動*4-8

經典力學的成就和局限性物理學第五版4

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）剛體的運動形式：平動、轉動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的．說明：4-1

剛體的定軸轉動5

剛體平動質點運動

平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．

特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同．6轉動：分定軸轉動和非定軸轉動剛體的平面運動

7剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉動+的合成8沿逆時針方向轉動一剛體轉動的角速度和角加速度角位移

角坐標沿順時針方向轉動<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.9角加速度

剛體定軸轉動(一維轉動)的轉動方向可以用角速度的正、負來表示.10(1)

每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；(2)

任一質點運動均相同，但不同；定軸轉動的特點

(3)

運動描述僅需一個坐標．11二勻變速轉動公式

剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直線運動

當剛體繞定軸轉動的α=常量時，剛體做勻變速轉動．12三角量與線量的關系13

例1在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉軸旋轉．開始起動時，角速度為零．起動后其轉速隨時間變化關系為：,式中．求：(1)t=6s

時電動機的轉速．(2)起動后，電動機在t=6s

時間內轉過的圈數(shù)．(3)角加速度隨時間變化的規(guī)律．14(2)

電動機在6s內轉過的圈數(shù)為解(1)

將t=6s

代入(3)

電動機轉動的角加速度為15例2在高速旋轉圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動．開始時，它的角速度，經300s

后，其轉速達到18000r·min-1

．轉子的角加速度與時間成正比．問在這段時間內，轉子轉過多少轉？解令，即，積分得16當t=300s

時17由得在300s內轉子轉過的轉數(shù)END18

1

一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經30s

停止轉動．試求：(1)角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數(shù)；(2)制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；(3)t

=6s

時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度．課堂練習：19P*O:力臂

對轉軸Z

的力矩

一力矩用來描述力對剛體的轉動作用．4-2

力矩轉動定律轉動慣量20O討論

（1）若力不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩21O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消．22

例1

有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.QyOxyOhxL23

解設水深h，壩長L，在壩面上取面積元，作用在此面積元上的力yOhxyQyOxL24令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhxyL25QyOyh

對通過點Q的軸的力矩代入數(shù)據(jù)，得：26補充例題一質量為m、長為L的均勻細棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的摩擦因素為,求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小。xodxx27解xodxx28O二轉動定律

（1）單個質點與轉軸剛性連接29（2）剛體

質量元受外力，內力外力矩內力矩O30

剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比.轉動定律定義轉動慣量O31討論（2）（3）（1）

不變轉動定律32三轉動慣量J

的意義：轉動慣性的量度.

轉動慣量的單位：kg·m233

質量離散分布

J的計算方法

質量連續(xù)分布

：質量元34

對質量線分布的剛體：：質量線密度

對質量面分布的剛體：：質量面密度

對質量體分布的剛體：：質量體密度：質量元

質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量35O′O

解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′

為處的質量元

例2一質量為、長為

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.O′O如轉軸過端點垂直于棒36ORO

例3一質量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉動慣量.

解設圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質量所以圓環(huán)對軸的轉動慣量37剛體的轉動慣量與以下三個因素有關：（3）與轉軸的位置有關．（1）與剛體的體密度

有關．（2）與剛體的幾何形狀及體密度

的分布有關．說明38四

平行軸定理

質量為

的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉軸的轉動慣量CO39質量為m，長為L的細棒繞其一端的JP圓盤對P

軸的轉動慣量OO1d=L/2O1’O2O2’40竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？41(2)為瞬時關系(3)轉動中與平動中地位相同(1)

,與方向相同說明

轉動定律應用42

例4

質量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為mB

的物體B上，B

豎直懸掛．滑輪與繩索間無滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計．(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)

物體B

從靜止落下距離y時，其速率是多少？43解

(1)

用隔離法物體分別對各物作受力分析，取坐標如圖．ABCOO44OO45解得：46如令，可得

（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率47穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉動．試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度．例5一長為l、質量為m勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉動．由于此豎直放置的細桿處于非m,lOmgθ48

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得式中得m,lOmgθ49由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND501、一輕繩繞在有水平軸的定滑輪上，滑輪質量為m，繩下端掛一物體，物體所受重力為P,滑輪的角加速度為β1，若將物體去掉而以與P相等的力直接向下拉繩子，滑輪的角加速度β2

將(A)

不變(B)

變小(C)

變大(D)

無法判斷Pβ1β2RR課堂練習：51

2、如圖：一定滑輪兩端分別懸掛質量都是m的物塊A和B，圖中R和r，已知滑輪的轉動慣量為J，求A、B兩物體的加速度及滑輪的角加速度．mmrRT1T2ABβ523

一轉動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉動，起初角速度為0

，設它所受阻力矩為M=-k

(k為常數(shù))，求圓盤的角速度從0變?yōu)?/2

所需的時間．解53

力的時間累積效應：沖量、動量、動量定理．

力矩的時間累積效應：沖量矩、角動量、角動量定理．4-3

角動量角動量守恒定律54一質點的角動量定理和角動量守恒定律質點運動描述剛體定軸轉動描述551質點的角動量

質量為的質點以速度在空間運動，某時對

O

的位矢為，質點對O的角動量大小

的方向符合右手法則角動量單位：kg·m2·s-156

質點以作半徑為

的圓運動，相對圓心

作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點O

的角動量隨時間的變化率.2

質點的角動量定理57質點角動量定理的推導58

質點的角動量定理：對同一參考點O，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量.

恒矢量

3

質點的角動量守恒定律沖量矩59

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內.一質量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A

(該點在通過環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點開始下滑．設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計．求小球滑到點B

時對環(huán)心O

的角動量和角速度．60

解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理61考慮到得由題設條件積分上式62

課堂練習人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，地球位于橢圓的一個焦點O上。如圖，問衛(wèi)星經過近地點P1和遠地點P2時，哪一時刻的速度大？（要求定量回答）63二剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律1剛體定軸轉動的角動量O64對定軸轉的剛體，2

剛體定軸轉動的角動量定理質點mi受合力矩Mi(包括Mi

ex、Mi

in

)合外力矩65剛體非定軸轉動的角動量定理3

剛體定軸轉動的角動量守恒定律，則若=常量

對定軸轉的剛體，受合外力矩M，從到內，角速度從

變?yōu)?/p>

，積分可得：66

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內力矩不改變系統(tǒng)的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.討論

在沖擊等問題中常量67

許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣滑冰跳水運動員跳水

直升飛機的尾翼為什么要安裝螺旋槳？68請看：貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？69

例3

質量很小長度為l

的均勻細桿，可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動．當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處，并背離點O

向細桿的端點A

爬行．設小蟲與細桿的質量均為m．問：欲使細桿以恒定的角速度轉動，小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?l/4O（不講）70解蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒71由角動量定理考慮到72

例4一雜技演員M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來．問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh73設蹺板是勻質的，長度為l，質量為

，蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內轉動，演員的質量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞．解碰撞前M落在

A點的速度碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度74M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒ll/2CABMNh75解得演員N以u起跳，達到的高度：END761

輕繩一端系著質量為m的質點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔O用力拉著，質點原來以等速率作半徑為r的圓周運動，問當拉動繩子向正下方移動到半徑為r/2時，質點的角速度多大？mrr/2O補充例題：77解m轉動中，所受力矩M=0．得常矢量mrr/2O78

被中香爐慣性導航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術中的應用

79自然界中存在多種守恒定律

動量守恒定律—空間平移對稱能量守恒定律—時間平移對稱角動量守恒定律—空間轉動對稱電荷守恒定律—量子力學的相移對稱質量守恒定律宇稱守恒定律—空間反演對稱801、陀螺若，則在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于板面的軸轉動，即倒地。(2)當時，重力矩將改變的方向，而不改變的大小(因)。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉—

旋進旋進角速度三、旋進—角動量定理的應用舉例（不講）812.車輪的旋進（演示）討論：

改變的方向，旋進方向是否改變？改變配重G，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？823.回轉儀實驗：如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋轉時，移動平衡物B，桿不會傾斜，而是在水平面內繞O旋轉。這種運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產生的回轉效應。834、拋體的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質的磁化的本質；…...84力的空間累積效應：

力的功、動能、動能定理．力矩的空間累積效應：

力矩的功、轉動動能、動能定理．4-4

力矩作功剛體定軸轉動的動能定理85力矩的功一力矩作功86二力矩的功率比較三轉動動能87四剛體繞定軸轉動的動能定理——剛體繞定軸轉動的動能定理比較

88

例1

留聲機的轉盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率ω作勻速轉動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉盤一起轉動．設唱片的半徑為R，質量為m，它與轉盤間的摩擦系數(shù)為μ，求：(1)唱片與轉盤間的摩擦力矩；(2)唱片達到角速度ω時需要多長時間；(3)在這段時間內，轉盤的驅動力矩做了多少功？89Rrdrdlo

解(1)

如圖取面積元ds=drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為90

于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo91(3)

由

可得在0

到t的時間內，轉過的角度為(2)

由轉動定