2023屆甘肅省永昌四中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知，則的值構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．3．已知集合，則=（）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．6．設(shè)分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線(xiàn)(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．8．已知斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則p＝（）A．1 B． C．2 D．49．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車(chē)，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車(chē)方案．方案一：不乘坐第一輛車(chē)，若第二輛車(chē)的車(chē)序號(hào)大于第一輛車(chē)的車(chē)序號(hào)，就乘坐此車(chē)，否則乘坐第三輛車(chē)；方案二：直接乘坐第一輛車(chē)．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車(chē)的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P210．要排出高三某班一天中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A． B． C． D．11．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．12．已知函數(shù)，對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是 D．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，對(duì)任意，有，且，則______.14．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程是_________．15．戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有_________種（用數(shù)字作答），16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，若，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值.18．（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.20．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)的普通方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求的值.22．（10分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng)．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為；若對(duì)均滿(mǎn)足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿(mǎn)足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.2、C【解析】

對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí)，；為奇數(shù)時(shí)，，則的值構(gòu)成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角式的化簡(jiǎn)，誘導(dǎo)公式，分類(lèi)討論，屬于基本題.3、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為答案.【詳解】由題可知，對(duì)其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.6、C【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，計(jì)算，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.7、A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線(xiàn)的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線(xiàn)的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．8、C【解析】

設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝y(tǒng)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p．【詳解】由已知得F（，0），設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝y(tǒng)，并與y2＝2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則y0（y1+y2）＝，所以p=2,故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦問(wèn)題，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．9、C【解析】

將三輛車(chē)的出車(chē)可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車(chē)的出車(chē)順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車(chē)可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車(chē)可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為種；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午，但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．11、C【解析】略12、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿(mǎn)足條件；又，則，，函數(shù)，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．14、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線(xiàn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15、1080【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，則不同的分配方案有種.故答案為：1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問(wèn)題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.16、127【解析】

已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以，則有，通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）11202.【解析】

（1）由n，，成等差數(shù)列，可得，，兩式相減，由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中的可求出，根據(jù)和求出數(shù)列，中的公共項(xiàng)，分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)閚，，成等差數(shù)列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）根據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)?，，，，，，，，，，，所?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.18、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設(shè)點(diǎn)，，又，當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，即，代入點(diǎn)，得，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，故存在唯一的實(shí)數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設(shè)，所以，令，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時(shí)可證結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即在上恒成立因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的，所以，所以（2）因?yàn)?，所以由?）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以即所以.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．20、（1）；（2）【解析】

(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2)由（1）得，,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，由可得，，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)①，則②，②①得，綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式,考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.21、（Ⅰ）直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為；曲線(xiàn)的普通方程為；（Ⅱ）.【解析】

（I）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（II）將直線(xiàn)參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)的普通方程，可得，而根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】由可得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為由曲線(xiàn)的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得曲線(xiàn)的普通方程為.易知點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線(xiàn)